河北定州市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟试卷（三）

**基本信息** 高中数学期末试卷，涵盖复数、立体几何、向量等模块，通过浮标体积计算、湿地距离测量等情境题，融合数学思维与应用意识，梯度设计兼顾基础巩固与创新探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数虚部、球的概念、向量基底、统计图表|第4题圆台体积结合浮标设计，体现空间观念| |填空题|3题/15分|四面体表面积、三角形形状、异面直线成角|第14题通过中点求线段长，考查几何直观| |解答题|5题/77分|向量运算、解三角形应用、概率计算、正方体二面角、仿射坐标系|16题湿地测量情境化，19题仿射坐标系创新，发展创新意识与数学表达|

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．下列说法正确的个数是(　　) ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． A．0　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 3．设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．＋和－ B．3－4和6－8 C．＋2和2＋ D．和＋ 4．如图，某种浮标由两个相同的空心圆台黏合而成，其中圆台高为0.5m，上底面直径为0.4m，下底面直径为0.6m，则此浮标完全浸入水中后排开的水的质量为（水的密度：，忽略浮标的厚度）（    ） A． B． C． D． 5．设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||＝||，则| ·|的值一定等于(　　) A．以，为邻边的平行四边形的面积 B．以，为邻边的平行四边形的面积 C．以，为两边的三角形的面积 D．以，为两边的三角形的面积 6．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是(　　) A．30°　 　 B．45° C．60°　 　 D．90° 8．已知的内角A，B，C所对的边分别为，b，c，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．当，，时，满足条件的三角形共有1个 C．若，则这个三角形的最大角是 D．若，，，动点D在所在平面内且，则动点D的轨迹的长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于非零复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ） A．必为实数 B．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 C． D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 10．如图所示的电路中，A，B，C，D，E 5个盒子表示保险匣，设5个保险匣分别被断开为事件A1，B1，C1，D1，E1.保险匣所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，保险匣之间工作互不影响，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个保险匣串联后畅通的概率为 B．D，E两个保险匣并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个保险匣混联后畅通的概率为 D．当开关闭合时，整个电路畅通的概率为 11．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若为的中点，，与交于点，则的长为 D．若为的外心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 如图，四面体的四个顶点均为长方体的顶点.若四面体各棱长均为，则该四面体的表面积为__________，体积为__________. 12．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是________． 14. 如图，在四面体ABCD中，AC＝BD＝，对棱AC与BD所成的角为60°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围． 16．(15分)某环保监督组织为了监控和保护查干湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点进行测量，在点测得，在点测得，在点测得，并测得，（单位：千米）． (1)求的距离； (2)求的距离． 17．（15分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率都为0.5，购买乙种商品的概率都为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求： (1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率． 18．(17分)如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)求点到面的距离. 19．（17分）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】C 【解析】，所以的虚部为. 2．【答案】　D 【解析】　①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的；球面和球是两个不同的概念，半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故⑤错误，⑥正确． 3．【答案】　B 【解析】　选项B中，6－8＝2(3－4)，∴6－8与3－4共线，∴不能作为基底，选项A、C、D中两向量均不共线，可以作为基底．故选B. 4．【答案】C 【解析】由题得此浮标的体积为 ， 故所求质量为，即.故选：C. 5．【答案】　A 【解析】　设，的夹角为θ，，的夹角为φ.由题知⊥，∴|cos θ|＝|sin φ|，又||＝||，∴| ·|＝|b||||cos θ|＝| ||||sin φ|.故选A. 6．【答案】D 【解析】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 7．【答案】　A 【解析】　如图，连接AC.∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角， tan∠PCA＝＝＝.∴∠PCA＝30°. 8．【答案】D 【解析】对于A，由，可得， 又由正弦定理得，则， 所以为锐角，不能说明为锐角三角形，所以A错误； 对于B，若，，，由正弦定理得， 因为正弦函数的值域为，所以不存在，所以B错误； 对于C，若，由正弦定理得， 设，其中， 又由余弦定理得， 因为，所以，即的最大角为，所以C错误； 对于D，在中，因为，，， 由余弦定理得， 可得，可得， 解得或（舍去）， 因为，且，可得的轨迹是以为弦的一段弧， 如图所示，可得，可得弧所对的圆心角为， 此时的弧长为； 同理，当点在外部时，对应的弧长也是， 综上可得D的轨迹的长度为，所以D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】ACD 【解析】设，为实数，则. 选项A：，是实数，因此必为实数，A正确； 选项B：复平面内，对应点为，对应点为，两点关于实轴对称，不是虚轴对称，B错误； 选项C：，是非零复数，故不同时为0，因此，C正确； 选项D：设 是方程的根，即满足： ， 对等式两边同时取共轭： ，展开化简左边得 ， 代入实系数性质 ，得. 因此必是该方程的根，D正确. 10．【答案】　ACD 【解析】　由题意知，P(A1)＝，P(B1)＝，P(C1)＝，P(D1)＝，P(E1)＝，所以A，B两个保险匣串联后畅通的概率为×＝，因此A正确；D，E两个保险匣并联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此B错误；A，B，C三个保险匣混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，因此C正确；当开关闭合时，整个电路畅通的概率为×＝，因此D正确．故选ACD. 11．【答案】ABD 【解析】由题意，，不妨设. 由余弦定理可得，，，选项A正确. 又，.则. 的周长为，选项B正确. 如图所示，为的中点.   ，. 设，. ，解得，，，选项C错误. 如图所示，取的中点，记为，是的外心. ，结合平面向量数量积的几何意义可知： . 选项D正确.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 【答案】 【解析】若四面体各棱长均为，则长方体为棱长为1的正方体，且四面体为正四面体， 所以， . 12．【答案】　等腰三角形 【解析】　∵(＋－2)·(－) ＝[(－)＋(－)]·(－) ＝(＋)·(－)＝－ ＝||2－||2＝0， ∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形． 14. 【答案】　或 【解析】　如图，取BC的中点E，连接EN，EM. 因为M为AB的中点，所以ME∥AC，且ME＝AC＝. 同理EN∥BD，且EN＝， 所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角． 在△MEN中，EM＝EN， 若∠MEN＝60°， 则△MEN为等边三角形，所以MN＝. 若∠MEN＝120°，则MN＝. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）【解析】（1）由向量，，得， 所以. （2）依题意，，由，得，解得， 因此，所以. （3）由与的夹角是钝角，得且与不共线， 因此且，解得且， 所以实数k的取值范围是. 16．(15分)【解析】（1）由已知，在中，，，， 则， 由正弦定理，有， 所以，， 所以的距离为千米． （2）由已知，在中， ， 则，则， 在中，，，， 再由余弦定理，得，即， 所以的距离为3千米． 17．（15分）【解析】　记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5； 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6； 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”； 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”； 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”． (1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知D＝(A)∪(B)，则P(D)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. (3)易知＝ ，则P()＝P( )＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2.故P(E)＝1－P()＝0.8. 18．(17分)【解析】（1）在正方体中，,,所以. 根据正方形的性质，其对角线互相垂直，所以， 因为正方体中相对面的面对角线平行，所以，故, 又因，, 所以平面； （2）连接，交于点，设与交于点，连接，. 作的中点，连接交于点，，    由（1）得，平面 因为，，，则， 又，所以. 易知 平面,则 那么就是二面角的平面角, 由中位线定理得 已知正方体棱长为4，则. 在中，根据勾股定理，得. 根据正弦函数的定义，在中，， 所以，二面角的平面角的正弦值为 . （3）设点到面的距离为，点到面的距离为， 因为 所以， 又的面积， 的面积，， 所以，解得：， 所以点到面的距离为. 19．（17分）【解析】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以． （2）由，，得，，且， 所以，，                   则， ， 因为与的夹角为，所以， 解得． （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则． 学科网（北京）股份有限公司 $