精品解析：河北省保定市定州市河北定州中学2024-2025学年高一下学期6月期末质量检测数学试题

2024～2025年高一年级第二学期期末质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败.计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果.据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数，若，则实数a值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 4. 在某市举办的“非遗技艺传承考核”中，15名候选人的考核成绩(满分100分)从小到大排列如下：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，87，88，89，94，98.则这15人考核成绩的上四分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，且其图象过点.则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量与向量在上的投影向量均为，其中为坐标原点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据的平均数为，现加入一个新数据，且，组成一组新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ） A. 平均数不变 B. 众数的个数减少 C. 极差变小 D. 中位数变小 10. 在2025年世界园艺博览会上，某展馆展出了300盆花卉.经统计，花朵为红色的花卉有120盆，花瓣层数超过5层的花卉有100盆，花朵为红色且花瓣层数超过5层的花卉有40盆.设事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵为红色”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互为对立事件 D. 事件与事件既不互斥也不对立 11. 如图，正方体的棱长为2，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为 B. 三棱锥体积为定值 C. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 殴拉（1707-1783）是数学史上最多产数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式______． 13. 在“城市文化创意大赛”中，对参赛的团队作品评分后发现，创意类作品组（共25个作品）的平均得分和方差分别为62和40，传统融合类作品组（共20个作品）的平均得分和方差分别为80和50.则据此估算这两类作品中所有参赛作品得分的方差为___________. (附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为；，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差为). 14. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，，P为BS的中点，设圆O的半径为r，圆锥高SO为h，且，圆锥SO的体积为． （1）求圆锥SO的表面积； （2）求异面直线SA与PD所成角的正切值． 16. 在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了20个沉浸式体验项目.甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了12个项目；乙成功通关了8个项目；丙成功通关了个项目. （1）已知，若丙成功通关的项目中有4个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率； （2）任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率； （3）任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值. 17. 某宠物医院为了解客户对宠物医院服务的满意程度，医院对1000位客户进行了服务评价调查，满分为100分.根据客户的评分数据（评分都在[40，100]之间），将其按照[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]划分为6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值，并估算本次服务评价调查的平均得分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）若宠物医院准备对给出高评价（将评分从高到低排序，排在前的视为高评价）的客户赠送宠物护理礼包，那么获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到多少分？ （3）若通过分层随机抽样的方式从“评分最低组”[40，50)和“评分最高组”[90，100]中抽取6人，再从这6人中随机抽取2位客户进行回访，求进行回访的2人都来自“评分最高组”的概率. 18. 如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O．，，，． （1）求的值； （2）求CO； （3）求四边形ABDC的面积． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． （1）求； （2）若平面，求三棱锥体积； （3）若二面角的大小为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025年高一年级第二学期期末质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败.计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果.据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出12组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数据，由此计算所求的概率值． 【详解】用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中， 模拟产生了的12组随机数为：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257， 表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436， 故所求的概率值为． 故选：A． 2. 已知i为虚数单位，复数，若，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法有，结合复数的性质列不等式求参数. 【详解】由，所以复数z为实数， 所以，解得． 故选：A 3. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，其中，，，则平面图形ABCD的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法确定原图为直角梯形并确定相关边长，再求出面积. 【详解】由题设，原图为直角梯形，且， 由斜二测画法知，，， 所以平面图形ABCD的面积为. 故选：C 4. 在某市举办的“非遗技艺传承考核”中，15名候选人的考核成绩(满分100分)从小到大排列如下：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，87，88，89，94，98.则这15人考核成绩的上四分位数是（ ） A. 86 B. 87 C. 88 D. 89 【答案】C 【解析】 【分析】由上四分位数的定义和百分位数的计算法则计算可得. 【详解】因为，所以上四分位为从小到大第12个数，即88. 故选：C 5. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，可得，再根据向量的加法运算数量积运算计算即可. 【详解】因为，所以， 即，故， 所以. 故选：C 6. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，且其图象过点.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦型函数的周期公式和函数一个周期内的图象得出和；再根据函数的图象过点得出，从而得到函数的解析式；最后利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由可得：函数的最小正周期为. 由函数的图象过点可得：. 由函数的图象可得：，整理得：. 则，即. 又因为，， 所以，， 则. 所以. 故选：B. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，该正四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象作出正四棱台的高，根据边长及点为正四棱台外接球的球心利用勾股定理可求正四棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解. 【详解】 如图，正四棱台，分别为上下底面的中心. 由题意知正四棱台的上、下底面边长分别为2，3，则. 又因为该四棱台的所有顶点都在球的球面上，且球心是下底面的中心， 可知，得， 即正四棱台的高为. 又上底面的面积，下底面的面积， 则该四棱台的体积为. 故选：D. 8. 已知平面向量与向量在上的投影向量均为，其中为坐标原点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由条件结合投影向量定义可得，由此证明，再根据数量积的坐标运算求的取值范围. 详解】设，，则，， 又，故，，，， 平面向量与向量在上的投影向量均为， 所以，故， 所以，故， 又，， 所以，所以或， 又， 当时，， 当时等号成立， 当时，， 当时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据的平均数为，现加入一个新数据，且，组成一组新的样本数据，与原样本数据相比，新的样本数据可能（ ） A. 平均数不变 B. 众数的个数减少 C. 极差变小 D. 中位数变小 【答案】BD 【解析】 【分析】利用平均数，众数，极差和中位数的概念判断. 【详解】原平均数为，新平均数为，因为，所以，故A错误； 如原数据中存在两个众数，，设，则众数值域有一个，故正确； 原极差为，当或时，极差变大，当t在之内时，极差不变，故C错误； 原中位数为，当时，新中位数为第5和第6的平均数，可能小于， 如原数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，加入，则新的中位数为，故D正确； 故选：BD 10. 在2025年世界园艺博览会上，某展馆展出了300盆花卉.经统计，花朵为红色的花卉有120盆，花瓣层数超过5层的花卉有100盆，花朵为红色且花瓣层数超过5层的花卉有40盆.设事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵为红色”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层”，则下列说法正确的是（ ） A 事件与事件相互独立 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互为对立事件 D. 事件与事件既不互斥也不对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式，分别求出各事件的概率，根据相互独立和互斥事件的判断方法，分别判断各选项的正误. 【详解】 如图所示，根据题干可作图，共300盆花卉， 红色的花卉有120盆，则， 花瓣层数超过5层的花卉有100盆，则， 花朵为红色且花瓣层数超过5层的花卉有40盆，则， 则，所以A正确， 花瓣层数不超过5层有200盆，则， 不超过5层且花瓣为红色的有80盆，则， 则，所以B正确， 花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层120盆，所以， ，所以C错误， 事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花瓣层数不超过5层”，事件为“随机选取一盆花卉，该花卉花朵不是红色且花瓣层数不超过5层”，可知事件为事件的子事件，所以事件与事件既不互斥也不对立，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为2，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于B，只需证明平面，即可判断；对于C，连接，证得和，得到，即可判断；对于D，分别取的中点，构造长方体，结合正方体的性质和球的表面积公式，即可判断. 【详解】对于A，如图所示，当点为的中点时， 因为M，N，P分别是，，的中点， 所以，所以， 所以直线PQ与MN所成角的余弦值的最大值为1，故A错误； 对于B，如图所示，因为，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离为定值，且三角形的面积也为定值， 从而三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C中，如图所示，在正方体中，连接， 因为分别是的中点，所以, 又因为，所以，所以四点共面， 即当与点重合时，四点共面，所以C正确； 对于D中，分别取的中点，构造长方体， 则经过四点的球即为长方体的外接球， 设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径， 即， 所以经过四点的球的表面积为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据欧拉公式可得，结合复数的加法可得. 【详解】，，所以． 故答案为：. 13. 在“城市文化创意大赛”中，对参赛的团队作品评分后发现，创意类作品组（共25个作品）的平均得分和方差分别为62和40，传统融合类作品组（共20个作品）的平均得分和方差分别为80和50.则据此估算这两类作品中所有参赛作品得分的方差为___________. (附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为；，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差为). 【答案】 【解析】 【分析】先明确，这两组数值，再计算出两类作品的总体的样本平均数为，将所有数据代入总体样本方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意知创意类作品组的， 传统融合类作品组的， 所以两类作品的总数即总样本量为， 两类作品总体的样本平均数， 所以总体样本方差为 . 故答案为： 14. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角可求得，利用锐角三角形求出，根据正弦定理，结合三角恒等变换公式可得，根据的范围可求得结果. 【详解】由正弦定理，可得， ，即，又，， ，得. 因为是锐角三角形， 所以，即，解得， 又，则， ， ，，所以， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，圆锥SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，，P为BS的中点，设圆O的半径为r，圆锥高SO为h，且，圆锥SO的体积为． （1）求圆锥SO的表面积； （2）求异面直线SA与PD所成角的正切值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式及扇形的面积公式即可求解； （2）由可得为异面直线与所成角，由线面垂直的判定定理可得平面，继而可得，继而即可求解. 【小问1详解】 圆锥的体积，即． 又因为，解得，所以， 由上可知，侧面积为，底面积为， 所以该圆锥的表面积为． 【小问2详解】 连接，因为P，O分别为的中点，所以， 所以为异面直线与所成角或其补角， 因为，，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为． 16. 在以“未来城市生活”为主题的科技嘉年华活动中，主办方精心打造了20个沉浸式体验项目.甲、乙、丙三位科技爱好者分别参与体验，甲成功通关了12个项目；乙成功通关了8个项目；丙成功通关了个项目. （1）已知，若丙成功通关的项目中有4个属于太空生活舱体验类别，若从丙成功通关的项目中任选一个，求选到太空生活舱体验类项目的概率； （2）任选一个项目，求甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率； （3）任选一个项目，若甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关的概率为，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）设“任选一个项目甲成功通关”，“任选一个项目乙成功通关”，由求解； （3）设“任选一个项目丙成功通关”，“甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关”，，由求解. 【小问1详解】 由题意得丙成功通关的项目中有4个是太空生活舱体验类， 而丙成功体验了8个项目，所以概率. 【小问2详解】 设“任选一个项目甲成功通关”，“任选一个项目乙成功通关”. 则，故， “甲、乙两人中恰有一人成功通关”，且与互斥. 每人独立体验，故互相独立，则与，与，与均相互独立. 所以. 即任选一个项目，甲、乙两人中恰有一人成功通关的概率为. 【小问3详解】 设“任选一个项目丙成功通关”，“甲、乙、丙三人中至少有一人成功通关”， ，则. 所以， 解得. 17. 某宠物医院为了解客户对宠物医院服务的满意程度，医院对1000位客户进行了服务评价调查，满分为100分.根据客户的评分数据（评分都在[40，100]之间），将其按照[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]划分为6组，其频率分布直方图如图所示. （1）求图中的值，并估算本次服务评价调查的平均得分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）若宠物医院准备对给出高评价（将评分从高到低排序，排在前的视为高评价）的客户赠送宠物护理礼包，那么获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到多少分？ （3）若通过分层随机抽样的方式从“评分最低组”[40，50)和“评分最高组”[90，100]中抽取6人，再从这6人中随机抽取2位客户进行回访，求进行回访的2人都来自“评分最高组”的概率. 【答案】（1），71分 （2）88分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值；再由频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （2）先确定排在前的高评价客户所在的区间，设评分至少要达到分，然后根据小长方形的面积和等于列式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出在评分最高组和最低组中应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得； ， 所以本次服务评价调查的平均得分为71分； 【小问2详解】 设获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到分， 因为，对应的频率分别为， 所以排在前的高评价客户应在区间内， 所以，解得， 故获得宠物护理礼包的客户评分至少要达到88分； 【小问3详解】 设在“评分最高组”和“评分最低组”抽取的人数分别为， ∴. ∴由分层随机抽样在“评分最高组”中抽取4人，在“评分最低组”中抽取2人. 设“评分最高组”中的4人分别用表示；“评分最低组”中的2人分别为表示. 从中抽取两人进行回访的所有结果为共15种. 进行回访的两人均来自“评分最高组”的所有结果为共6种， 故进行回访的两人都来自“评分最高组”的概率为. 18. 如图，在平面凸四边形ABDC中，对角线AD与CB相交于点O．，，，． （1）求的值； （2）求CO； （3）求四边形ABDC面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可； （2）由（1）求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出； （3）取CD中点E，连接BE，求得， 则再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，所以CB为∠ACD的平分线， 则． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又因为， 所以， 所以，解得． 【小问3详解】 取CD中点E，连接BE，因为，所以， 所以， 所以 ． 19. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，平面，点在棱上． （1）求； （2）若平面，求三棱锥的体积； （3）若二面角的大小为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平面得平面平面，从而可得平面，故为直角三角形，从而可求； （2）可证为的中点，从而可利用等积转化求三棱锥的体积； （3）过点作的平行线交于点，可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可求的值 . 【小问1详解】 ∵平面，平面，∴平面平面， 又∵，平面，平面平面，∴平面， 又∵平面，∴，∴为直角三角形， ∴，即． 【小问2详解】 连接与交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，可知为的中点，而平面平面，故， 在中，，，， ∴，，， ∴ ． 【小问3详解】 由题意知平面，过点作的平行线交于点， ∴平面，再作（为垂足）， 因为平面，故，而平面， 所以平面，而平面，故， ∴为二面角的平面角，， 由（2）可知，∴是等腰直角三角形， 同理也是等腰直角三角形，从而， 在中，，，∴， 不妨设，，则且， ∴，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$