福建泉州市四校（泉州外国语、南安华侨、石狮八中、城东中学）2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题

**基本信息** 高一下学期期中数学卷聚焦复数、立体几何、解三角形等核心知识，通过正四棱柱线面角、三棱锥外接球及离散曲率新定义问题，考查空间观念、运算能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|8|复数模、线面平行判定、圆台体积|结合正四棱柱模型考查空间角，体现几何直观| |多选|3|异面直线判定、三棱锥体积|正方体截面周长计算，强化空间想象| |填空|3|向量投影、异面直线夹角余弦值|圆锥侧面最短路径，融合空间展开与运算| |解答|5|向量夹角、复数分类、解三角形、三棱锥面面垂直|离散曲率新定义问题，培养创新思维与数学表达|

2025-2026学年高一下学期期中考试卷 高一年数学科参考答案 一．选择题（共8小题） 1．已知，则|z|＝（　　） A． B． C．2 D． 【解答】解：1+i， 所以．故选：A． 2.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β 【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误； 在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误； 在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故C正确； 在D中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C． 3．一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（　　） A．32π B．26π C．78π D．86π 【解答】解：因为圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5， 所以圆台的高为， 所以圆台的体积为．故选：B． 4．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，，则BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为在△ABC中，A＝45°，AC＝4，， 由余弦定理得， 所以， 设BC边上的高为h，所以三角形的面积S， 所以．故选：D． 5.如图，正四棱柱中，，若直线 与直线所成的角为，则直线与平面所成的 角为(     ) A. B. C. D. 【解答】解：连接与交于点，， 所以即为直线与直线所成的角，即， 依题意，，所以，得， 连接， 在正四棱柱中，，且，， 所以，且，平面， 所以平面， 则即为直线与平面所成的角，， 所以．故选：． 6.如图，在中，，，为 上一点，且满足，若，， 则的值为(     ) A. B. C. D. 【解答】解：因为，所以，所以， 因为三点共线，所以，即，所以， 又， 所以 ．故选：． 7．已知四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝3，AB⊥BC，三角形ABC的外接圆半径是，则球O的表面积为（　　） A． B．18π C．21π D． 【解答】解：在四面体PABC中，PC的中点为M， ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB， ∴BC⊥PB，故△PBC为直角三角形，且PC为斜边， ∴MB＝MC＝MP， ∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， ∴PA⊥AC，故△PAC为直角三角形，且PC为斜边， ∴MA＝MC＝MP，∴MA＝MB＝MC＝MP， ∴四面体PABC的外接球的球心为M，故点M与点O重合， 由已知，PA＝3，∴， ∴球O的半径， ∴球O的表面积S＝4πr2＝21π．故选：C． 8.如图，在中，，，， D是BC的中点，，AD与CE交于点F. 则（   ） A． B． C． D． 【解答】解：由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 二．多选题（共3小题） 9.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是(     ) A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数 D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 9.【解析】解：由题，， 所以的虚部为，A正确； ，B正确；的共轭复数，C错误； 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，D错误．故选AB． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截正方体所得截面的图形的周长为 10.【解析】解：对于A，因为平面，平面，， 所以直线与为异面直线，A正确； 对于B，因为在正方体中，，平面，平面，所以平面，B正确； 对于C，则由正方体的性质可得为等腰直角三角形，所以的面积为2，故三棱锥的体积为，C错误； 对于D，连接,则平面即为平面，截面图形为等边三角形，所以平面截正方体所得截面的图形的周长为，D正确. 11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若且有两解，则的取值范围为 C. 若且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若且，为的内心，则的面积为 11.【解析】解：因为， 由余弦定理可得， 整理可得，故或舍去， 对于，，且，可以得到， 设为外接圆的半径，由正弦定理知：， 所以，所以外接圆的面积为，所以A错误； 选项B，若，三角形有两解，则，即，所以， 所以的取值范围为，故B正确 选项C，若，由正弦定理，得，即， 因为为锐角三角形，所以，即所以， 所以，故C正确 对于，若且，则， 又因为则， 由正弦定理可以得到，即， 即， 即， 中，，即， ，则不是最大角，则为锐角，即，， 则，即，则，，由得到，， 设为内切圆的半径，由，得到， 所以，所以D正确．故选：． 三．填空题（共3小题） 12.已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为          用表示 12.【解析】解：， 在方向上的投影向量为，故答案为：． 13.在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为         ． 13.【解析】解：连接，， 正四棱柱中，有且，四边形为平行四边形， 则有， 则就是异面直线与所成的角． 设，则， 中，由余弦定理得． 14．（本题5分）如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从到的最短路径长度为__________. 14.【解析】解：圆锥的底面半径为， 由于， 所以为钝角，且，所以. 圆锥的侧面展开图如图， 沿母线展开的圆锥的侧面展开图中弧所对的圆心角为， 连接，可得从到的最短路径长度为： . 故答案为： 四．解答题（共5小题） 15.本小题分已知向量， （1）（6分）若，求的值； （2）（7分）若，求向量与夹角的大小． 15.【解析】解：（1）由题意得．。。。。。。。2分 由，可得，解得，。。。。。。4分 即，所以．。。。。。。。6分 ，。。。。。。。。7分 故，所以，。。。。。。。8分 设向量与的夹角为， 所以. 。。。。。。。。9分 =，。。。。。。10分 因为，。。。。。。。11分 所以与的夹角是． 。。。。。。。13分 16．（本小题15分）设复数z＝1+mi（m∈R）． （1）（7分）若（2﹣i）z是实数，求m的值； （2）（8分）若是纯虚数，求复数z的共轭复数． 16.【解答】解：（1）复数z＝1+mi， 则（2﹣i）z＝（2﹣i）（1+mi）＝2+m+（2m﹣1）i，。。。。。。3分 2+m+（2m﹣1）i是实数 故2m﹣1＝0，。。。。。。。。5分 解得m；。。。。。。。7分 （2） 。。。。。。。10分 是纯虚数 则，。。。。。。。。12分 解得m＝﹣1，。。。。。。。13分 故z＝1﹣i.。。。。。。。。。14分 ．。。。。。。。。。15分 17． （本小题15分）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，a＝2 且． （1）（8分）求A； （2）（7分）已知D是边BC的中点，求AD的最大值． 17.【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得：，。。。。。。1分 因为在△ABC中sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，.。。。。。。。2分 所以， 即，。。。。。。。3分 因为C∈（0，π），所以sinC＞0，。。。。。。4分 所以，。。。。。。。。5分 所以，即，。。。。。。。。。6分 因为A∈（0，π），所以，。。。。。。7分 所以，所以．.。。。。。。。。。8分 （2）因为D是BC的中点， 所以，。。。。。。。。9分 所以.。。。。。。。。10分 ，。。。。。。。。11分 因为，a＝2， 所以b2+c2＝4+bc，。。。。。。。12分 因为b2+c2≥2bc，所以4+bc≥2bc，即bc≤4，。。。。。。。13分 所以，。。。。。。。14分 当且仅当b＝c时，等号成立．所以AD的最大值为．。。。。。。。。。15分 18．（本小题17分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为棱AB，AC的中点， PA＝PC，，BC＝2，，BC⊥AC． （1）（4分）若平面PAC⊥平面ABC，求证：EF⊥PF； （2）（7分）在（1）的条件下，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值； （3）（6分）若PA＝PB，D为线段PF上一动点，求CD+ED的最小值． 18.【解答】（1）证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，。。。。1分因为PA＝PC，F为AC的中点，所以PF⊥AC，。。。。。。。2分 PF⊂平面PAC所以PF⊥平面ABC，。。。。。。。3分 又因为EF⊂平面ABC，所以EF⊥PF．。。。。。。。。。。4分 （2） 解：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC， 又BC⊥AC，BC⊂平面ABC所以BC⊥平面PAC，。。。。。。。。5分 所以∠BPC是直线PB与平面PAC所成的角，。。。。。。。。。。6分 在Rt△ABC中，BC＝2，∠ABC，所以AC＝2tan2，。。。。。。。7分 又∠PAC，PA＝PC，由余弦定理得PC2＝PA2+AC2﹣2PA•AC•cos， 即PC2＝PC2+12﹣2PC×2，解得PC，。。。。。。8分 （其他方法算出PC长度一样给分。） 又BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，则BC⊥PC， 所以PB，。。。。。。。。9分 所以sin∠BPC，。。。。。。。。10分 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．。。。。。。。。11分 （3）解：连接PE，如图所示： 当PA＝PB时，由E为AB的中点，则PE⊥AB，.。。。。。。。12分 由（2）知，AB＝4，PC＝PA，则AEAB＝2， 所以PE，.。。。。。。13分 又F是AC的中点，则EFBC＝1， 又由（2）知，AC＝2，所以CFAC，且PF⊥AC， 所以PF， 又EF2+PE2＝PF2，所以EF⊥PE，。。。。。。14分 如图，将△PFE绕直线PF旋转得到△PFQ，使△PFQ与△PAC在同一平面内，且点Q在△PAF内， 则当C，D，Q三点共线时，CD+ED＝CD+DQ最小，.。。。。。。。。15分 即CD+ED的最小值为CQ． 在Rt△PQF中，，QF＝EF＝1，QF⊥PQ， 则， 则，。。。。。。16分 所以在△CFQ中，由余弦定理得 ， 即CD+ED的最小值为．。。。。。。17分 18． （本小题17分）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为 ，其中 为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，， 平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （5分）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； 若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； 在的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为， 求的长度． 19.【解答】解：根据离散曲率的定义得，。。。1分 ， ，。。。。。。2分 又因为 ，。。。。。。4分 所以；。。。。。。5分 (2) .。。。。。。6分 因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又， 即，。。。。。。8分 所以，则， 过点作于点， 由平面平面，得， 又平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长，。。。。。。10分 在中，， 则点到平面的距离为；。。。。。。11分 过点作交于，连结， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角，。。。。。。13分 依题意可得，， ， ，，。。。。。。。15分 设， 则， 在中， ， 又，所以， 则， 且，。。。。。。16分 解得：或舍，故．。。。。。。。17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期期中考试卷 高一年数学科参考答案 一.选择题（共8小题） 1.已知=名，则z=() A.√2 B.V3 C.2 D.5 【解答】解：=是==出=+ 2 所以|=12+12=√2.故选：A. 2.已知m,n是两条不同的直线，ā，B,Y是三个不同的平面，则下列正确的是() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若a⊥Y,B⊥Y,则a∥B C.若m⊥a,n⊥a,则m∥n D.若m∥a,m∥B,则a∥B 【解答】解：由m,n是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面，知： 在A中，若m∥a,n∥a,则m与n相交、平行或异面，故A错误： 在B中，若a⊥Y,B⊥Y,则a与B相交或平行，故B错误； 在C中，若m⊥a,nLa,则由线面垂直的性质定理得m∥n,故C正确： 在D中，若m∥a,m∥B,则a与B相交或平行，故D错误.故选：C 3.一个圆台的母线长为v13,上、下底面的半径分别为2,5，则圆台的体积为() A.32π B.26元 C.78 D.86元 【解答】解：因为圆台的母线长为V13,上、下底面的半径分别为2,5， 所以圆台的高为√13-(5-2)2=2， 所以圆台的体积为×2×(22+52+2×5)=26·故选：B. 4.在△ABC中，A=45°，AC=4, =3V2,则BC边上的高为() A.V10 B.10 C.210 D.6v0 5 【解答】解：因为在△ABC中，A=45°，AC=4,=3V2, 由余弦定理得2=2+2-2· =18+16-2×3V2×4×2=10, 所以=√10， 设BC边上的高为h,所以三角形的面积S=子· =, 所以= 一=6故选：以 1 5.如图，正四棱柱 -1111中，=2，若直线1 与直线所成的角为60°，则直线1与平面11所成的 角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解答】解：连接11与11交于点1，/11 所以∠11即为直线1与直线所成的角，即∠11=60°， 依题意，1=1”所以1=1=11=2V2,得1=2， 连接1， 在正四棱柱 -1111中，11111，且1111,1/ 1, 所以1111，且11,1c平面11 所以11上平面 11’ 则∠11即为直线1与平面11所成的角，11=V2,1=22, 所以∠11=30°.故选：· 6.如图，在△ 中，∠ =4 =2，为 上一点，且满足 = +，若=3， =2V2, 则· 的值为( A.12 12 B.头 c D 19 12 【解答】解：因为 =2，所以=多，所以= + + 因为，，三点共线，所以+及=1，即=子所以=}+月 又 所以· =(+片)后-) -3 =P-京P-京Ⅱ1sa =×8-×9-×2V2×3×号=-是故选： 2 7.已知四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，PAL平面ABC,PA=3,AB⊥BC,三角形ABC的外接圆半径是V3, 则球0的表面积为() A B.18π C.21π D.83 3 2 【解答】解：在四面体PABC中，PC的中点为M, .PA⊥平面ABC,BCC平面ABC, ∴.PA⊥BC,又AB⊥BC,AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB, M(O) ∴.BC⊥平面PAB,又PBC平面PAB, .BCL PB,故△PBC为直角三角形，且PC为斜边， ∴.MB=MC=MP, .'PA⊥平面ABC,ACC平面ABC, ∴.PA⊥AC,故△PAC为直角三角形，且PC为斜边， ∴.A=MC=MP,∴.MA=MB=MC=MP, ∴.四面体PABC的外接球的球心为M,故点M与点O重合， 由已知 =2V3,PA=3,·.=(2V3)2+32=V2i, ∴球0的半径= ==, 2 .球0的表面积S=4π=21π.故选：C 8.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=60°， D是BC的中点，CE⊥AB,AD与CE交于点F 则cos∠CFD=() B A. 2W57 B.67 c.11 D.317 19 19 74 74 【解答】解：由CELAB,则CE=4C×sin∠BAC=3xsin60r=3N5 2 且=4C×cs84C=3xo60-子得店-， 又D是8C的中点，即AD是中线，则0=(B+AC), 则而-丽+.aC-C）4+2x4×3xcs69)子，得0同， 2 所以D.CE=)(AB+4c(aE-4C) 丽+ac居西-c 5AB.4C-34B+4C 28 28 3 27 cos∠CFD=cos AD,EC= AD.EC 3W11 37.35 74 故选：D AD EC 2 2 二.多选题（共3小题） 9.已知复数=8-9-（为虚数单位），则下列说法正确的是( A.的虚部为-4 B.||=25 C.的共轭复数=-2-4 D.复数在复平面内对应的点位于第四象限 9.【解析】解：由题， =3-1-)=2+4=-2-4, 2026 1 所以的虚部为-4，A正确： 1|=√22+(-4)2=2V5,B正确；的共轭复数=-2+4，C错误； 复数在复平面内对应的点的坐标为(-2，-4)，位于第三象限，D错误.故选AB. 10.如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，则下列四个结论正确的是( D A.直线AC,与BD为异面直线 B A B.AC∥平面ACD C.三棱锥D-ABC的体积为】 D.平面a过点B且∥平面ACD,,则平面&截正方体 ABCD-ABCD所得截面的图形的周长为6√2 10.【解析】解：对于A,因为AD1C平面ADDA,AC∩平面ADDA=A,AAD, 所以直线AC与BD,为异面直线，A正确： 对于B,因为在正方体ABCD-ABCD中，AC,∥AC,AC文平面ACD,ACc平面ACD,所以ACI/平面ACD, B正确： D C 对于C,则由正方体的性质可得惑ABC为等腰直角三角形，所以惑ABC的面积为2， B A 故三校锥A-ABC的体积为；，C错误： 对于D,连接BA,AC,BC,则平面BAC即为平面Q,截面图形△BAC为等边三角 形，所以平面截正方体ABCD-ABCD所得截面的图形的周长为6√2，D正确， 11.在△中，角，，所对的边分别为，，，且cos+c0s=2,则下列命题正确的是( A.若+=3，则△的外接圆的面积为 B.若=且△ 有两解，则的取值范围为(1，) C.若=2且△为锐角三角形，则的取值范围为（√2，V3) D.若=2且sin=2sin，为△ 的内心，则△ 的面积为品 11.【解析】解：因为cos+cos=2, 由余弦定理可得牛2-2+242-2=2， 2 2 整理可得2=，故=1或=0（舍去）， 对于，+=3，且++=，可以得到= 设为△ 外接圆的半径，由正弦定理知：2=sn=V2, 所以=三，所以外接圆的面积为，所以A错误： 3 选项B,若=3三角形有两解，则<<，即<1<，所以1<<2 所以的取值范围为(1,23)，故B正确； 选项C,若=2，由正弦定理，得n=s2,即=2cos=2cos， 0<<2 0<A< 因为△ 为锐角三角形，所以0<<2， 即{0<-3A<号，所以：<<7 0<<2 0<2A<号 所以=2cos∈（√2，√3），故C正确； 对于，若=2且sin=2sin,则=2， 又因为=2，则sin=sin[-(+)】=sin3, 由正弦定理可以得到品。=而=a,即sin3=2sin, 即 2+ 2=2, 即(1-22)+22=2， △中 ≠0,1-22+22=2，即2=2 ”=2,则不是最大角，则为锐角，即0<<20<2<， 则2=3即=石则=3=2由=1得到=，=2， 3 5 设为△ 内切圆的半径，由△=(++)=，得到=35， 所以△=}=，所以D正确，故选： 12 三.填空题（共3小题） 12.已知|=2，||=3，与夹角为135°，则在方向上的投影向量为 (用表示) 12.【解析】解：1lcos<，>=斤 2x盟-2， 3 在方向上的投影向量为1cos5，→T=-V2写=-号 故答案为：- 3· 13.在正四棱柱 -1111中，1=4，则异面直线1与 1所成角的余弦值 为 D 13.【解析】解：连接1,1 正四棱柱 -1111中，有//11且=11，四边形 11为平行四 边形， D 则有1//1 B 则∠11就是异面直线1与1所成的角. 设=，则1=1=V17,11=V2, △，1中，由余弦定理得0s∠11=-2=号 211 2×172 14.(本医5分)如图，已知圆维的母线长为2，高为、，0为底面圆心，且01-0C=弓，E为线段PA上靠近 点P的四等分点，则在此圆锥的侧面上，从E到C的最短路径长度为 14.【解析】解：圆锥的底面半径为22-(=1， 由于0A.0C=1x1xcos∠40C=- 二<0， 所以∠A0C为钝角，且∠40C= 3,所以AC= 2x1= 3 圆锥的侧面展开图如图， 2π EP B 沿母线PA展开的圆锥的侧面展开图中弧AC所对的圆心角为∠APC= 3-π， 23 连接EC,可得从E到C的最短路径长度为： EC=VPE2+PC2-2PE·PC.cos∠APC 22-2× 13 、2 2*2cos 2 故答案为： 3 2 6 四.解答题（共5小题） 15.(本小题13分)已知向量=(2，-1)，=(1，). (1)(6分)若⊥(+)，求1的值： (2)(7分)若+2=(4，-7)，求向量与夹角的大小. 15.【解析】解：(1)由题意得+=(3，-1+).。。。。。。。2分 由1(+)，可得6+1-=0，解得=7，。。。。。。4分 即=(1,7)，所以|=V50=5V2.。。。。。。。6分 (2)+2=(4,2-1)=(4,-7),。。。。。。。。7分 故=-3，所以=(1，-3)，。。。。。。。8分 设向量与的夹角为， 所以cos= 000.09。。9分 2x1+-1)x(-③》=2 V5×V10 ’。。。。。。10分 因为∈[0，]，。。。。。。。11分 所以与的夹角是 。。。。。。。13分 16.（本小题15分)设复数z=1+mi(m∈R). (1)(7分)若(2-i)z是实数，求m的值： (2)(8分)若±是纯虚数，求复数z的共轭复数. 16.【解答】解：(1)复数z=1+mi, 则(2-i)z=(2-i)(1+m1)=2+mt(2m-1)i,。。3分 2+t(2m-1)i是实数 故2m-1=0,。。。。5分 解得=是。7分 2)上=共==共+…0分 +:是纯虚数 1+ 1+ 则1+之÷0 ）1- 0000.00.12分 (1*2*01 解得m=-1,。。。。13分 故z=1-i.。000。oo。14分 -=1+.0.000000.15分 17.(本小题15分)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，a=2 且V3 十 =+· (1)(8分)求A: (2)(7分)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 17.【解答】解：(1)因为v3 十=十， 由正弦定理得：√3 三十 ,0000。。1分 因为在△ABC中sinB=sin(tC)=sinAcosC+cosAsinG,·。ooo。2分 所以√3 即v3 ,0000。3分 因为C∈(0，n),所以sinC>0,。。。4分 所以v3 =1,0000000.5分 所以2（-石)=1，即(-石)=京。6分 因为4e0,所以-石-石名 6’00000.7分 所以一石=石所以=3·。。。8分 (2)因为D是BC的中点， 所以”=(+)，。。。9分 所以P=012+1P+2”·)=(2+2+2 ).。0。0.10分 =(2+2+)=(2+4),。11分 因为 =4-2 所以b+c2=4+bc,。o。。12分 因为bB+c≥2bc,所以4+bc≥2bc,即bc≤4，。。。13分 所以2=(2+4)≤(2×4+4)=3，。0。14分 当且仅当b=c时，等号成立.所以AD的最大值为V3.。。。15分 6 18.(本小题17分)如图，在三棱锥P-ABC中，E,F分别为棱AB,AC的中点， PA=PC∠=aBC-2,∠=3 BCL AC. (1)(4分)若平面PACL平面ABC,求证：EF⊥PF: D (2)(7分)在(1)的条件下，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值； ∂C E (3)(6分)若PA=PB,D为线段PF上一动点，求CD+ED的最小值 18.【解答】(1)证明：因为平面PAC⊥平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,。。。1分因为PA=PC,F为AC 的中点，所以PFL AC,,。。。。2分 PFC平面PAC所以PF⊥平面ABC,。。。3分 又因为EFC平面ABC,所以EFLPF.。。。。4分 (2)解：因为平面PAC⊥平面ABC,平面PACn平面ABC=AC, 又BC⊥AC,BCC平面ABC所以BC⊥平面PAC,。。o。5分 所以∠BPC是直线PB与平面PAC所成的角，。。。。。6分 在Rt△ABC中，BC=2,∠ABC=3,所以AC=2tan5=2V3,。。。。7分 又∠PAC-,PA=PC,由余弦定理得PC=Pf+AC-2 PA-ACcos 即PC=PC+12-2PCX2V3×号，解得PC=V6,。8分 (其他方法算出PC长度一样给分。) 又BC⊥平面PAC,PCC平面PAC,则BC⊥PC, 所以PB=V2+2=V6+4=V10,。。0。。9分 所以sin∠-一=品=酒. 5,0000080.10分 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 5·000.000.11分 (3)解：连接PE,如图所示： D 当PA=PB时，由E为AB的中点，则PE⊥AB,·。。。。12分 由(2)知，AB=4,PC=PA=V6,则AE=AB=2, D 所以PE=V2-Z=V6-4=V2,·。。。13分 F 又F是AC的中点，则EF=BC=1, B 又由(2)知，AC=2V3,所以CAC=V3,且PFLAC, 所以PF=V2-2=V6-3=V3, 又EP+PE=PP,所以EF⊥PE,。。14分 9 如图，将△PFE绕直线PF旋转得到△PFQ,使△PFQ与△PAC在同一平面内，且点Q在△PAF内， 则当C,D,Q三点共线时，CD+ED=CD+DQ最小，·。。。15分 即CD+ED的最小值为CQ. 在Rt△PQF中，==V2,QF=EF=1,QF⊥PQ, 则∠ =一==6 5=3 则∠=（∠+∠）=- 、6 ,。000.16分 所以在△CFQ中，由余弦定理得 2+2-2 1+3-2×1×V3×(-9)=V4+22. 即CD+ED的最小值为V4+2√2.。。17分 18.(本小题17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点 处的离散曲率为 =1-(∠12+∠23+…+∠-1+∠)，其中(=1,2，，，≥3) 为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面12，平面23，， 平面一1和平面 1为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥一 如图所示 (1)(5分)求三棱锥- 在各个顶点处的离散曲率的和： (2)(6分)若1平面 ,1,==4,三棱锥- 在顶点处的离散曲率 为。求点到平面 的距离； (3)(6分)在(2)的前提下，又知点在棱上，直线与平面 所成角的余弦值为知， 6 求的长度. 19.【解答】解：(1)根据离散曲率的定义得=1-2（乙 +∠+∠)，。。。1分 =1-2(∠+∠+∠)=1-2(4 +∠+∠)， =1-(∠+∠+∠)，。。。。。。2分 又因为∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠ +∠ +∠+∠=4，。。。。。。4分 所以+++=4-×4n=2:。。。。5分 (2) =1-(2+∠+∠)6分 因为⊥平面，c平面，所以上， 又上，n=,,c平面 , 10 所以1平面，又c平面，所以1 又=1-(+∠+∠)= 即1-2（上++）=最。。。8分 所以∠=子则===4， B 过点作1于点， 由⊥平面，c平面 ,得1 又n c平面，则1平面 因此点到平面 的距离为线段的长，。。。。。。10分 在Rta 中，=sin∠ =4x=2W2, 则点到平面 的距离为2W2:。。。。。。11分 (3)过点作/交于，连结， 因为1平面 ,所以⊥平面 M 则∠ 为直线 与平面 所成的角，。。。。。。13分 依题意可得， =4, =V2+2=V42+42=4V2, =V2+Z=42+(422=4W3, sin∠ 3,c0s∠ =一=6 ’。。。。。。。15分 设BQ=x(0<x≤4V3), 则=sin∠ =·c0s∠ 6 3 在&中，CG=VBC2+BGP-2 3C.BG.cos∠CBG 6+2x46, 1/16+ 22 8v3 32 32， 又cos∠ 所以sin∠ =V1-cos2∠ =G 6 则tan∠ sin∠ -= √5 51 且tan∠ =一= V16+号2_8V@ 5,。。。。。。16分 解得： =4y3或=-4y3(舍)，故 3 =4W3 3 。。。。。。。17分 11 2025-2026学年高一下学期期中考试卷 高一年数学科 第Ⅰ卷 一．选择题（共8小题） 1．已知，则|z|＝（　　） A． B． C．2 D． 2.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β 3．一个圆台的母线长为，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（　　） A．32π B．26π C．78π D．86π 4．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，，则BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 5.如图，正四棱柱中，，若直线 与直线所成的角为，则直线与平面所成的 角为(     ) A． B. C. D. 6.如图，在中，，，为 上一点，且满足，若，， 则的值为(     ) A． B. C. D. 7．已知四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝3，AB⊥BC，三角形ABC的外接圆半径是，则球O的表面积为（　　） A． B．18π C．21π D． 8.如图，在中，，，， D是BC的中点，，AD与CE交于点F. 则（   ） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） 9.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是(     ) A. 的虚部为 B. C. 的共轭复数 D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．平面 C．三棱锥的体积为 D．平面过点且平面，则平面截 正方体所得截面的图形的周长为 11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列命题正确的是(    ) A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若且有两解，则的取值范围为 C. 若且为锐角三角形，则的取值范围为 D. 若且，为的内心，则的面积为 第Ⅱ卷 三．填空题（共3小题） 12.已知，，与夹角为，则在方向上的投影向量为          用表示 13.在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为         ． 14． （本题5分）如图，已知圆锥的母线长为2，高为，为底面圆心，且，为线段上靠近点的四等分点，则在此圆锥的侧面上， 从到的最短路径长度为__________. 四．解答题（共5小题） 15.本小题分已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求向量与夹角的大小． 16．本小题分设复数z＝1+mi（m∈R）． （1）若（2﹣i）z是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数． 17．本小题分已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，a＝2且 ． （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值． 18．本小题分如图，在三棱锥P﹣ABC中，E，F分别为棱AB，AC的中点， PA＝PC，，BC＝2，，BC⊥AC． （1）若平面PAC⊥平面ABC，求证：EF⊥PF； （2）在（1）的条件下，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值； （3）若PA＝PB，D为线段PF上一动点，求CD+ED的最小值． 19.本小题分离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． 求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； 若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； 在的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一下学期期中考试卷 高一年数学科 第I卷 一.选择题（共8小题） 1.已知=名，则z=() A.V2 B.3 C.2 D.5 2.己知m,n是两条不同的直线，ā，B,Y是三个不同的平面，则下列正确的是() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若a⊥Y,B⊥Y,则a∥B C.若m⊥a,n上a,则m∥n D.若m∥a,m∥B,则a∥B 3.一个圆台的母线长为√13，上、下底面的半径分别为2,5，则圆台的体积为() A.32T B.26 C.78π D.86r 4.在△ABC中，A=45°，AC=4, =3V2,则BC边上的高为() A.√10 B.v10 C.2v10 D.6V0 5 D 5.如图，正四棱柱 -1111中，=2，若直线1 与直线所成的角为60°，则直线1与平面11所成的 角为( A.30° B.45° 、、 C.60° D.90° 6.如图，在△ 中，∠ =4 =2，为 上一点，且满足 +,若=3，=22， 则. 的值为( A.-12 12 c 7.已知四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，PA⊥平面ABC,PA=3,AB⊥BC,三角形ABC的外接圆半径是V3, 则球0的表面积为() A.婴 B.18 C.21m D.83 3 1 8.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=60°， D是BC的中点，CE L AB,AD与CE交于点F E 则cos∠CFD=( 4.257 B.57 19 19 B C.11 D.31i D 74 74 二.多选题（共3小题） 9.己知复数 =3-1-(为虚数单位)，则下列说法正确的是( 2026 A.的虚部为-4 B.||=2V⑤ C.的共轭复数-=-2-4 D.复数在复平面内对应的点位于第四象限 10.如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，则下列四个结论正确的是( A.直线AC,与BD为异面直线 D C B A B.AC,∥平面ACD C.三楼锥0-ABC的体职为 D.平面a过点B且a∥平面ACD,则平面a截 正方体ABCD-ABCD所得截面的图形的周长为6√2 11.在△中，角，，所对的边分别为，，，且cos+cos=2,则下列命题正确的是( A.若+=3，则△ 的外接圆的面积为 B.若=且△ 有两解，则的取值范围为1,2) C.若=2且△ 为锐角三角形，则的取值范围为（√2，√3） D.若=2且sin=2sin,为△ 的内心，则△ 的面积为31 12 第Ⅱ卷 三.填空题（共3小题） D 12.己知1=2，||=3，与夹角为135°，则在方向上的投影向量 A B 为 ,(用表示) 13.在正四棱柱 -1111中，1=4，则异面直线1与1 所成角的余弦值为 D A B 2 14.(本题5分)如图，已知圆锥的母线长为2，高为5，O为底面圆心，且 O1.OC-E为线段PA上靠近点P的四等分点，则在比圆锥的侧面上， E 从E到C的最短路径长度为 D y B 四.解答题（共5小题） 15.(本小题13分)已知向量=(2，-1)，=(1，). (1)若⊥(+)，求！的值： (2)若+2=(4，-7)，求向量与夹角的大小. 16.(本小题15分)设复数z=1+mi(m∈R). (1)若(2-i)z是实数，求m的值： (2)若1±是纯虚数，求复数z的共轭复数. 17.(本小题15分)己知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 3 + =十 (1)求A: (2)己知D是边BC的中点，求AD的最大值. 3 18.(本小题17分)如图，在三棱锥P-ABC中，E,F分别为棱AB,AC的中点， PA=PC,∠=4BC=2,∠=3 BCLAC. D (1)若平面PACL平面ABC,求证：EF⊥PF: .C (2)在(1)的条件下，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值： E (3)若PA=PB,D为线段PF上一动点，求CD+ED的最小值. B 19.(本小题17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的 离散曲率为=1-2（∠12+∠23+…+∠-1+∠），其中（=1,2，，，≥3)为多面 体的所有与点相邻的顶点，且平面12，平面23，，平面-1和平面 1为多面体的所有以 为公共点的面.己知三棱锥一如图所示 (1)求三棱锥一在各个顶点处的离散曲率的和： (2)若1平面 ，上，二=4，三棱锥一在顶点处的离散曲率为号 求点到平面 的距离： (3)在(2)的前提下，又知点在棱上，直线与平面 所成角的余弦值为0，求的 B 长度 4报告查询：登录zhixue..com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025-2026学年高一下学期数学学科期中考试答 题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回▣ (正面朝上，切勿贴出虚线方框》 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题；911为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] I1[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][c][D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 1 ■ 囚ㄖ■ 15. 囚囚■ ■ ■ 囚■囚 ■ 0 0 0 0 LI ■ 18. C E B 囚■囚 ■ ▣ P 19. Q C B ■