福建南安第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 以“闽超足球联赛球员截球”“烟花生产设计”等现实情境为载体，通过向量投影、旋转体体积、复数三角形式应用等问题，考查数学眼光观察现实、数学思维解决问题的能力，梯度覆盖基础与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直、复数模、线面关系|第4题结合单位向量夹角考查投影向量，体现数学抽象| |多选题|3/18|向量运算、复数概念、正方体轨迹|第11题“喇叭花”函数融合空间轨迹，培养几何直观| |填空题|3/15|解三角形面积、四棱锥性质、向量最值|第14题双空设计，先求模最小值再求夹角最大值，层次分明| |解答题|5/77|解三角形证明、面面垂直、旋转体体积、复数几何意义|第18题以烟花生产为背景，通过旋转体体积与函数最值考查数学建模；第19题结合复数三角形式与菱形、正方形，发展逻辑推理|

南安一中2025—2026年下学期高一年期中考 数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知平面向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2．已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D． 3. 已知直线、和平面，若，则“与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4. 设单位向量的夹角为，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5.已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（  ） A． B． C．6 D．4 6．2026年福建省城市足球联赛（简称“闽超”）正式启幕！在一场激烈比赛中，泉州队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点A做匀速直线运动．已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 7．已知直三棱柱为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（  ） A． B． C． D． 8.已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 10．下列说法正确的是（    ） A．复数的模为 B．复数的虚部为﹣1 C．若，则 D．若复数满足，则 11.在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在中，，，，的面积为______________. 13. 如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面；（2）平面平面； （3）；（4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 14.若平面向量，满足，，则当最小时，______；记与的夹角为，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在中，内角的对边分别为．已知． （1）求的值； （2）证明：． 16.如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A； （2）D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 18.某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花. (1)求该烟花的体积； (2)工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）. ①请用表示燃料的体积V； ②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间. 19.我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 南安一中2025-2026年下学期高一年期中考 数学科答题卡 考场/座位号： 准考证号 姓名： 班级： [0] [0] [0] [0] [0] [0] [o] [o] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 嬲 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 正确填涂■缺考标记口 [81 [8] [8] [8] [8 [8] [8] [8] [9] [9] [9] (9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题：9~11为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][c][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][Cc][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12 13 14. 解答题 15. 囚囚■ 16. M D 囚囚■ ■ ■ ■ 18. D 1 C N OB A 1 1 I 囚■囚 内 g ■ 口 ■ 南安一中2025—2026年下学期高一年期中考数学参考答案 1-4 A DBB 5-8 CBCC 1. A【详解】因为，所以，所以，解得. 2. D【详解】由，则. 3.B【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立；若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 4. B【详解】由单位向量的夹角为，可得， 又由，可得， 且， 所以向量在上的投影向量为. 5.C【详解】如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形， 则，，则， 则在中利用余弦定理可得，， 则为钝角，设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则， 则截面三角形的面积为，则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为.故选：C 6．B【详解】设最快截住足球所用时间为秒，截住位置为点：根据速度和路程关系，可得：球员从出发走的路程，足球从向运动后剩余的路程. 在中，已知，，由余弦定理：， 可得，则，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 7．C【详解】由题意可得， 取值最小时，其在平面内，其在平面的交线为如图所示的圆弧. 故取值最小时，三点共线，通过点作于， 则，又，故， 所以，解得，从而， 因此.故选：C. 8.C【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以，由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即，因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为. 9．ABD【详解】由题意可知，，且，则， ， ，故，B正确； ，故A正确；因，， 若，则，使得，因不共线，则，此方程组无解，故与不共线，故C错误；因，则，因，则，故D正确. 10．AB【详解】对于A选项，，故A正确，对于B选项，的虚部为，故B正确，对于C选项，因为，均为虚数，虚数不能比较大小，故C错误， 对于D选项，令 ，则，故D错误. 11.ABD【详解】A选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，则轨迹长度，A选项错误； B选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，则轨迹长度，B选项正确； C选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时，则，则，所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，则轨迹长度，C选项错误； D选项：，且，动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，当在内运动时，则，则， 如图所示，设轨迹与，分别交于点，，所以，，则，同理，则 所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，则轨迹长度，D选项正确； 12. 【详解】由正弦定理得，解得, 因为，所以,所以.所以, 所以的面积为.故答案为：. 13. （1）（2）（3）【详解】如图所示，连接，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以（1）正确； 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以（2）正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 因为，所以，所以（3）正确． 由于，分别为侧棱，的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角， 又因为三角形为等边三角形，所以，所以（4）错误． 14.【详解】因为平面向量，满足，所以等式两边平方得 ，展开化简得.因为，所以. 所以，设向量的夹角为时，， 所以，所以. 由于取最小值时，取最大值，所以此时，所以. 因为，所以. 所以. 令 ，则 ，令 ，则 . 由基本不等式，当 即 时， 取得最大值 . 故答案为：①1；②. 15. 【小问1详解】 由，得，整理得 2分 在中，由余弦定理，得 4分 把代入上式，得 6分 因为，所以 7分 在中，由正弦定理，得 9分 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得 11分 因，所以. 13分 16. 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点， 底面为平行四边形，所以，，又平面， 平面，则平面 3分 同理平面，平面，可得平面 6分 又，平面，所以平面平面 7分 （2） 因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面 9分 又平面，平面平面，所以. 11分 （3）因为四棱锥是正四棱锥，所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以，又， 所以四棱锥的高为 13 分 所以正四棱锥的体积 15分 17. 【小问1详解】因为， 所以 2分 ， 4分 因为，所以，所以，即 6分 又，则有，所以. 7分 【小问2详解】解：因为，，， 所以在中，， 所以，即 9分 因为在中， 所以 11分 因为，所以， 12分 所以 14分 所以. 15分 18.【详解】（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成 又，， 3分 所以该烟花的体积. 4分 （2）①由图可知：，， 5分 在梯形中，由，，易知，故 6分 则， 7分 所以 8分 ②由①可知： 9分 即 11分 令，则， 上式即为 13分 又令，，则， 当时，，当时， 14分 当时， 15分 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 16分 该烟花燃烧的最长时间为． 17分 19.【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为 1分 所以 3分 5分 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则 7分 （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以 9分 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. 11分 （ⅱ）设对应的复数为，所以所以，又， 13分 因为 所以 所以， 所以 15分 所以，又， 所以，所以的范围为. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $