精品解析：青海西宁市第五中学等校2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(三)试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（三） 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题得， 则的虚部为1. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得集合，由题意得，所以集合， 若，则，所以，解得． 3. 已知向量，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题得， ，解得． 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式，可得的值，根据半角公式，即可得答案. 【详解】由题得 ， 又，所以是锐角，所以． 5. 将函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得，结合函数定义域、奇偶性及特殊值，利用排除法求解. 【详解】由题得，易知函数的定义域为， 又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除AD； 当时，，排除C，故B符合题意. 6. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过抛物线上另一点反射后射出，经过点，且轴，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出直线的方程及，根据题意可得到的坐标，联立抛物线方程后根据韦达定理得到的值，进而可得到的坐标，根据抛物线的定义可得结果. 【详解】由抛物线得其焦点为，如图： 设直线的方程为， 由题意知轴，，所以点的纵坐标为， 代入抛物线方程，可得，所以的坐标为. 由消去，得，所以， 所以， 由抛物线的定义知， 所以． 7. 如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果. 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，因为，两边取以8为底的对数可得. 又因为，两边取以8为底的对数可得， 可知. 由，可得， 由，可得， 从而可得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前项和为，且．则（ ） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等比数列，则 D. 若为等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比和等差数列的性质和前项和的性质逐项分析可解. 【详解】对于A，若为等差数列，则，故A正确； 对于B，若为等差数列，则公差，则， 于是，故B正确； 对于C，若为等比数列，则，由于等比数列的偶数项同号，则，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，所以， 若，则；若，则，故D错误． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数图象的对称中心为 C. 当时，的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用图象求出函数的最小正周期，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断B选项；由可得出的取值范围，结合正切型函数的基本性质求出函数的值域，可判断C选项；化简函数的解析式，利用正切型函数的基本性质解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A，设函数的最小正周期为，则有， 由函数的图象可知，则． 又，则，即，A错误； 对于B，令，解得， 即图象的对称中心为，B正确； 对于C，当时，， 故，则，C正确； 对于D，当时，，此时无解， 当时，则，解得， 由，可得， 此时，解得， 故不等式的解集为，D正确． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为上的两点关于原点对称，且点在第一象限，则（ ） A. 若，则点在以为直径的圆上 B. 的内心在直线上 C. 在上不存在一点，使得点与点关于点对称 D. 过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由题意可作图如下： 由双曲线，则，即， 由，且点关于原点对称，则， 在中，由， 则，故点在以为直径的圆上，故A正确； 对于B，可作图如下： 设的内心为，圆为的内切圆，且分别为圆和的切点， 则， 由， 设，则，解得，易知在直线上，故B正确； 对于C，设，则，点关于点的对称点为点， 假设该点位于双曲线上，则，所以，即：，，整理可得，故， 化简可得，由于， 则方程有解，假设成立，故C错误； 对于D，设，两渐近线方程分别为， 所以， 又因为满足，可得，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 13. 花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．现有一花灯（如图1所示），其直观图如图所示，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，其侧面积为，则该花灯中的正六棱台的体积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】设正六棱台的斜高为，高为，则由其侧面积为， 可得，解得， 则正六棱台的侧棱长为， 则，解得， 该正六棱台的两底面面积分别为，， 所以该正六棱台的体积为 ． 14. 若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【小问1详解】 在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． 【小问2详解】 因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 【答案】（1），与有较强的相关关系 （2），4.44万台 （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围. 【小问1详解】 则， 故与有较强的相关关系； 【小问2详解】 ， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台； 【小问3详解】 设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为， 则的所有可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意有，且，得， 故的取值范围为． 17. 如图，在五面体中，平面平面，平面，为等边三角形，． （1）求证：； （2）点为棱上靠近点的三等分点，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行证明线线平行即可； （2）取的中点，的中点，证明两两互相垂直，再以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，通过求解平面、平面的法向量，得到二面角的余弦值，最后再直接求其正弦值即可． 【小问1详解】 在五面体中，平面， 平面，平面平面，所以， 同理可证， 所以． 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABCD，则，又因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆经过如下四个点中的三个：， （1）求的方程； （2）已知的左、右顶点分别为，直线与相交于两点（D，E，均不在轴上），分别记直线，，的斜率为，，． （i）求证：； （ii）若，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）恒过点 【解析】 【分析】（1）由和关于轴对称，根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点，可知点和都在椭圆上，又点与点不可能同时在椭圆上，则椭圆过点，代入椭圆方程，通过解方程组得到的值，从而得到的方程． （2）（i）设，由在椭圆上，将其代入椭圆方程通过计算得到，利用斜率公式计算得解．（ii）设，由题得直线的斜率不为0，设直线的方程为将直线和椭圆联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到，由①知，又，从而得到的值，计算出，从而得到，通过计算得到的值，从而得到直线恒过的定点． 【小问1详解】 由题意，点和关于轴对称， 根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知，点和都在椭圆上， 又因为点与点不可能同时在椭圆上， 所以椭圆过点， 所以故， 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）由题意得，设， 由在椭圆上，得，即， 所以． （ii）设， 由题得直线的斜率不为0，设直线的方程为 由，得， 所以， 且， 由①知，又， 所以， 所以， 即， 化简得， 将代入上式并化简，得， 解得或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，满足， 所以直线恒过点． 19. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）证明：； （3）若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数符号，确定函数单调递增，进而求出值域； （2）通过证明，可得，进而将问题转化为证明，再构造函数求导分析单调性和极值点即可； （3）构造函数，求导数，并对参数分类讨论即可. 【小问1详解】 由题得， 所以在上单调递增， 所以，当时，， 所以在区间上的值域为． 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以， 要证， 只需证， 只需证， 令， 则， 所以在上单调递增，，所以， 令，代入得成立， 所以． 【小问3详解】 令，则， 当时， 令，则， 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，， 即， ②当时，，， 所以， 综上①②，当时，对任意，都有成立，不符合题意． 当时，， 则必存在，使得当时，， 所以在上单调递减，，即，符合题意， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（三） 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 3. 已知向量，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过抛物线上另一点反射后射出，经过点，且轴，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列的前项和为，且．则（ ） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等比数列，则 D. 若为等比数列，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数图象的对称中心为 C. 当时，的值域为 D. 不等式的解集为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为上的两点关于原点对称，且点在第一象限，则（ ） A. 若，则点在以为直径的圆上 B. 的内心在直线上 C. 在上不存在一点，使得点与点关于点对称 D. 过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 13. 花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．现有一花灯（如图1所示），其直观图如图所示，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为和，其侧面积为，则该花灯中的正六棱台的体积为_____． 14. 若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，为延长线上的一点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的面积． 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 17. 如图，在五面体中，平面平面，平面，为等边三角形，． （1）求证：； （2）点为棱上靠近点的三等分点，求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆经过如下四个点中的三个：， （1）求的方程； （2）已知的左、右顶点分别为，直线与相交于两点（D，E，均不在轴上），分别记直线，，的斜率为，，． （i）求证：； （ii）若，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 19. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）证明：； （3）若存在，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $