精品解析：北京市顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测高一年级数学试卷

顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中 学业质量监测高一年级数学试卷 考生须知 1.本试卷总分150分，考试用时120分钟. 2.本试卷共4页，三道大题，21小题. 3.在答题卡上准确填写姓名、班级和教育ID号. 4.所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.择题必须用2B铅笔作答，非选择题必须用黑色字迹的签字笔做答. 5.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留. 第一部分选择题（共40分） 一、选择题：在下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号在答题卡上涂黑.（每小题4分，共40分）. 1. 已知，则的坐标是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析题意，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标 根据向量的坐标运算即可得到答案. 【详解】由题意， 故选：B 【点睛】本题考查向量坐标的求法，属于基础题. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 3. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数是 C. 的实部为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再按照复数代数形式的乘法运算、共轭复数的定义以及复数模的计算公式一一计算可得； 【详解】解：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，，，，所以的实部为； 故选：C 4. 已知向量，，且∥，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由∥直接列方程求解即可. 【详解】因为向量，，且∥， 所以，得， 故选：B 5. 已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，若，，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，，可得或，故D错误. 6. 如图，在正方体中，则与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据定义，得到即为与所成角，即可求解. 【详解】如图所示：连接， 由正方体的性质可得，，则即为与所成角， 又，所以. 故选：C. 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形结合向量的线性运算求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以. 故选：C. 8. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】几何体是底面为直角梯形的直四棱柱， ． 9. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 10. 如图，在中，，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得， 又，所以. 第二部分非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 【答案】1 【解析】 【详解】，所以复数z的虚部为1. 12. 在中，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解. 【详解】因为在中，， 由正弦定理得，设， 由余弦定理得， 故答案为： 13. 已知，均是单位向量，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用单位向量的概念、向量的数量积运算即可得解. 【详解】∵，均为单位向量，∴，， 又∵， ∴， ∴. 故答案为：1. 14. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，依题意可得且，即可得到，再根据球及圆柱的体积公式计算可得； 【详解】解：设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则且，即，所以，所以； 故答案为： 15. 四边形是边长为2的正方形，若点P为边的中点，则______；若点P在边（包含端点）上运动，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立直角坐标系计算平面向量的坐标再计算模长，再应用数量积坐标运算公式结合二次函数值域计算求解. 【详解】如图建系，四边形是边长为2的正方形，得出， 因为点P为边的中点，则， 所以，所以； 若点P在边（包含端点）上运动，则设， 所以， 所以， 所以当或时，取的最大值为. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 如图，正方体中，为的中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）证明：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 连接，， 在正方体中， 则，，所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 连接交于，连接，， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 在中，因为为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，所以平面. 【小问3详解】 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 17. 已知向量，，，. （1）求向量，的夹角； （2）求实数m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入向量夹角的坐标公式，即可求解； （2）根据向量垂直，结合向量数量积的运算律和坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以，， 所以，即向量的夹角为； 【小问2详解】 因为， 所以， 解得：. 18. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由，即可得到，从而得证； （2）由正三棱柱的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证； （3）求出的面积，然后利用锥体的体积公式求解即可； 【小问1详解】 证明：因为、分别为、的中点， 则，又， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 证明：在正三棱柱中，平面且为等边三角形， 因为平面，所以，又为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以； 【小问3详解】 解：在正三棱柱中，，，、分别为、的中点， 则，， 所以， 故三棱锥的体积为； 19. 在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求； （2）求的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选①②答案相同，； （2）选①②答案相同，的面积为. 【解析】 【分析】（1）选①，用余弦定理得到，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出，再用余弦定理求出，得到答案；（2）选①，先求出，使用面积公式即可；选②：先用求出，再使用面积公式即可. 【小问1详解】 选条件①：． 在△中，因为，，， 由余弦定理，得． 因为， 所以； 选条件②： 由余弦定理得：，解得：或（舍去）由余弦定理，得． 因为， 所以； 【小问2详解】 选条件①： 由（1）可得． 所以的面积． 选条件②：． 由（1）可得． 因为 ， 所以的面积． ． 20. 在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． （1）求角； （2）若，试判断△的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角； （2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出，结合判断三角形形状即可. 【小问1详解】 在中，因为，则， 整理得，且，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得, , , , 于是, 又，故，所以或，因此（舍去）或，所以. 是等腰直角三角形. 21. 如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，结合，由线面垂直的判定定理得到结论； （2）作出辅助线，由三角形的中位线定理得到线线平行，从而证明线面平行； （3）由（1）得到AC和平面ABE所成的角，求出边长，直接解直角三角形可得结论． 【小问1详解】 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 又由，而，平面， 故⊥平面； 【小问2详解】 连接交于M，连接，由点F为线段的中点， 可得，而平面，平面， 故平面； 【小问3详解】 由（1）知，平面，即为和平面所成的角． 由已知，，， 在直角三角形中，可得， 即和平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中 学业质量监测高一年级数学试卷 考生须知 1.本试卷总分150分，考试用时120分钟. 2.本试卷共4页，三道大题，21小题. 3.在答题卡上准确填写姓名、班级和教育ID号. 4.所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.择题必须用2B铅笔作答，非选择题必须用黑色字迹的签字笔做答. 5.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留. 第一部分选择题（共40分） 一、选择题：在下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号在答题卡上涂黑.（每小题4分，共40分）. 1. 已知，则的坐标是（ ）. A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 0 D. 4 3. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数是 C. 的实部为 D. 4. 已知向量，，且∥，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 如图，在正方体中，则与所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 第二部分非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______. 12. 在中，，则的值为______． 13. 已知，均是单位向量，，则______． 14. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________. 15. 四边形是边长为2的正方形，若点P为边的中点，则______；若点P在边（包含端点）上运动，则的最大值为______． 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 如图，正方体中，为的中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）证明：平面. 17. 已知向量，，，. （1）求向量，的夹角； （2）求实数m的值. 18. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，求三棱锥的体积. 19. 在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求； （2）求的面积． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 20. 在△中，角所对的边为，△的面积为S，且． （1）求角； （2）若，试判断△的形状，并说明理由． 21. 如图，四边形是矩形，，，⊥平面，，．点F为线段的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求证：平面； （3）求和平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $