专题01 平面向量（10大考点）（期末真题汇编，福建专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题试题汇编，涵盖10大高频考点，精选福建多地高一期末真题，注重基础巩固与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选/多选|约30题|线性运算、共线定理、数量积等|结合梯形、正方形等几何图形，如考点02向量线性运算题| |填空/解答|约15题|投影向量、模长最值、综合应用|融入《易经》太极图等文化素材，如考点06数量积最值题|

专题01 平面向量 10大高频考点概览 考点01 平面向量的概念与基础运算 考点02 平面向量的线性运算（重难点） 考点03 平面向量共线及三点共线（重点） 考点04 平面向量共线定理及推论（难点） 考点05 平面向量基本定理及坐标表示（重点） 考点06 求平面向量的数量积及最值（重点） 考点07 平面向量中的平行与垂直 考点08 平面向量的模长与夹角（重点） 考点9 投影向量 考点10 平面向量的综合题型 考点01 平面向量的概念与基础运算 1．(25-26高一上·福建莆田第八中学·期末)（多选）（多选）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 2．(25-26高一下·福建宁德福鼎第四中学·月考)（    ） A． B．0 C． D． 3．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)化简等于（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·福建龙岩·期末)下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 考点02 平面向量的线性运算 5．(24-25高一下·三明·期末)如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·福建厦门·期末)平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·福建福州第三中学·期中)在中，点在边上，．记，，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期末)在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 考点03 平面向量共线及三点共线 9．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 考点04 平面向量共线定理及其推论 10．(24-25高一下·泉州期末)（多选）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 考点05 平面向量基本定理及坐标表示 11．(24-25高一下·福建南平·期末)已知向量，则（   ） A． B． C． D． 12．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知平面向量． (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 13．(24-25高一下·福建莆田·期末)（多选）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 14．(24-25高一下·福建漳州·期末)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，． (1)求向量与向量夹角的余弦值； (2)点C是线段的三等分点，求点C的坐标． 15．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知平面向量的夹角是， ，，则（    ）． A．2 B． C． D． 16．(24-25高一下·厦门·期末)在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 17．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知平面向量、满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 18．(24-25高一下·福建厦门·期末)（多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 19．(24-25高一下·福建龙岩·期末)已知向量． (1)若，且，求向量在向量方向上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 20．(24-25高一下·福建宁德·期末)已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____． 考点06 求平面向量的数量积及最值 21．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知向量的夹角为，，则＝______． 22．(24-25高一下·福建莆田·期末)已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________. 23．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为_________. 25．(24-25高一下·福建福州文博中学·期中)如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)如图，在四边形ABCD中，，，，且，. （1）求实数的值； （2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值. 27．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 考点07 平面向量中的平行与垂直 1．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知平面向量，，若⊥，则实数（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25高一下·福建莆田·期末)若向量满足，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·福建宁德·期末)已知向量，，若，则（    ） A． B． C．6 D．－6 4．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知向量，若向量与垂直，则____________． 5．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·福建南平·期末)已知向量与共线，则实数__________． 7．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)写出一个与向量垂直的单位向量________． 考点08 求平面向量的模长与夹角 28．(24-25高一下·福建南平·期末)（多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 29．(24-25高一下·福建厦门·期末)已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 30．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)在中，若，且，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 31．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)（多选）下列结论错误的是（    ） A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B．若非零向量，满足，则与的夹角为60° C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D．若向量与的夹角为，，则的最小值为 32．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 考点9 求投影向量 32．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 33．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 34．(24-25高一下·福建南平·期末)已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 35．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 36．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知向量满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 37．(24-25高一下·福建漳州·期末)在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 38．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)（多选）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 40．(24-25高一下·福建宁德·期末)已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 41．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点10 平面向量的综合题型 42．(24-25高一下·福建龙岩·期末)（多选）已知四边形是边长为2的正方形，为正方形所在平面上一点，且，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 43．(24-25高一下·福建泉州·期末)数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为_________，最小值为_________． 44．(24-25高一下·福建南平·期末)已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． (1)当时，求； (2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； (3)若，求的最大值． 45．(24-25高一下·福建泉州·期末)在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 46．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若 ，则当取最大值时，为（    ） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量 10大高频考点概览 考点01 平面向量的概念与基础运算 考点02 平面向量的线性运算（重难点） 考点03 平面向量共线及三点共线（重点） 考点04 平面向量共线定理及推论（难点） 考点05 平面向量基本定理及坐标表示（重点） 考点06 求平面向量的数量积及最值（重点） 考点07 平面向量中的平行与垂直 考点08 平面向量的模长与夹角（重点） 考点9 投影向量 考点10 平面向量的综合题型 考点01 平面向量的概念与基础运算 1．(25-26高一上·福建莆田第八中学·期末)（多选）（多选）给出下列命题正确的是（    ） A．海拔、温度、角度都不是向量 B．向量与向量的长度相等 C．若满足，且同向，则 D．若四边形满足，则四边形是平行四边形 【答案】ABD 【分析】由向量的定义判断A选项；由向量的模长的定义判断B选项，向量不能比较大小判断C选项，由相等向量判断D选项. 【详解】对于A， 海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，故A正确， 对于B，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，故B正确， 对于C，向量不可以比较大小，故C错误， 对于D，，则，且，故为平行四边形，故D正确， 故选：ABD 2．(25-26高一下·福建宁德福鼎第四中学·月考)（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 3．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)化简等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法直接得到答案. 【详解】. 故选：C. 4．(24-25高一下·福建龙岩·期末)下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 考点02 平面向量的线性运算 5．(24-25高一下·三明·期末)如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理得到答案. 【详解】点是的中点，， ． 故选：D． 6．(24-25高一下·福建厦门·期末)平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以向量为基底，结合向量的线性运算用基底表示向量. 【详解】． 故选：A    7．(24-25高一下·福建福州第三中学·期中)在中，点在边上，．记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解. 【详解】根据题意，    在中，， 故， 又在中，， 故选：A． 8．(24-25高一上·福建莆田第四中学·期末)在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助平行四边形的性质及向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则， 即，则， 故. 故选：B. 考点03 平面向量共线及三点共线 9．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】由向量共线定理的定义列方程求解即可. 【详解】由题意，设，则， 则，解得. 故选：B. 考点04 平面向量共线定理及其推论 10．(24-25高一下·泉州期末)（多选）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量运算求得，，然后利用结合数量积运算律建立方程求解判断C，由向量线性运算得，然后结合数量积的运算律及模的运算求解判断D，利用平面向量基本定理和三点共线的向量推论求得判断A，利用向量的线性运算求得判断B. 【详解】因为，， 所以 ，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确； 设，则，又三点共线， 所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以， 则， 所以，故A正确，B错误. 故选：ACD. 考点05 平面向量基本定理及坐标表示 11．(24-25高一下·福建南平·期末)已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故C正确. 故选：C 12．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知平面向量． (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值； (3)若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线性向量的坐标表示列出关于的方程组，然后求解即可. （2）先根据向量的垂直坐标表示求出的值，然后根据向量的模的计算公式进行求解即可. （3）根据向量的数量积和向量的夹角计算公式可列出不等式方程组，从而求出的范围. 【详解】（1）因为， 所以解得． （2）若，则，解得， 所以，，. （3）因为与的夹角为锐角，所以且不同向，即 解得且，即的取值范围是． 13．(24-25高一下·福建莆田·期末)（多选）若向量，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】BC 【分析】对于A，由模的计算公式验算即可；对于B，由数量积的坐标运算验算即可；对于C，由投影向量的定义验算即可；对于D，由向量夹角的余弦公式验算即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 对于D，由于，所以与的夹角为. 故选：BC. 14．(24-25高一下·福建漳州·期末)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，． (1)求向量与向量夹角的余弦值； (2)点C是线段的三等分点，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）结合平面向量的夹角公式，即可求解； （2）设，由已知得或，再结合向量线性运算坐标表示求解即可. 【详解】（1）因为点O为坐标原点，，，所以，， 则， 所以向量与向量夹角的余弦值为； （2）若点C是线段的三等分点，则或，设， 当时，， 则，解得，所以； 当时，， 则，解得，所以， 故点C的坐标为或. 15．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知平面向量的夹角是， ，，则（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式 求解即可. 【详解】因为，所以. 因为平面向量，的夹角为， 所以. 因为， 所以 . 故选：C 16．(24-25高一下·厦门·期末)在梯形中，，，，点E在线段上，则的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系，设点.根据点E在线段上，所以设，其中，结合平面向量的线性运算及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，为x轴，以为y轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，，，， 所以，，. 设点. 因为点E在线段上，所以设，其中， 所以，所以， 所以. 故选：D. 17．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知平面向量、满足，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，再结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，则， 又因为，，故，解得. 故选：A. 18．(24-25高一下·福建厦门·期末)（多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，.记在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，由，得，利用向量的坐标运算求解；对B，利用向量的坐标运算求出的坐标，再根据两向量平行的坐标关系判断；对C，利用向量夹角公式求解判断；对D，根据投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，所以与不平行，故B错误； 对于C，因为， 又，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 19．(24-25高一下·福建龙岩·期末)已知向量． (1)若，且，求向量在向量方向上的投影向量的坐标； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. （2）由与的夹角为锐角，得到且与不共线，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得 因为，可得，解得或 又因为，所以，此时，可得且， 所以在方向上的投影向量. （2）解：因为， 若与的夹角为锐角，则且与不共线， 则满足，解得且， 实数的取值范围为． 20．(24-25高一下·福建宁德·期末)已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】点，，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点为． 故答案为：． 考点06 求平面向量的数量积及最值 21．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知向量的夹角为，，则＝______． 【答案】 【分析】根据数量积的公式和运算律计算. 【详解】因为向量的夹角为，， 所以． 故答案为：. 22．(24-25高一下·福建莆田·期末)已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则__________；若，则的最小值是__________. 【答案】 3 / 【分析】根据重心性质得到，进而，由共线定理得推论得到，并由余弦定理得到，，表达出，由基本不等式求出最小值. 【详解】点是的重心，故， 又，，所以， 又三点共线，故，解得， ，由余弦定理得 ， 故， 由余弦定理得， 因为，， 所以， 又，且， 由基本不等式得，解得， 所以. 故答案为：3， 23．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示数量积，转化为二次函数求最值. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 设 ，则， ， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 24．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为2，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为_________. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，写出的坐标，再根据已知条件可得点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称，设出坐标，运用平面向量数量积运算及三角恒等变换可得，进而可求得其最大值. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系， 因为八边形是正八边形，所以，则. 因为，则. 由题意知，点在以为圆心，1为半径的圆上，且关于原点对称， 设，则， 则，， 所以 ， 其中， 当时，为最大值. 故答案为：. 25．(24-25高一下·福建福州文博中学·期中)如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则， ，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以 ， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 26．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)如图，在四边形ABCD中，，，，且，. （1）求实数的值； （2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算； （2）建立平面坐标系，设，用x表示出，根据二次函数性质得出最小值. 【详解】解：（1）∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴. （2）过A作，垂足为O， 则，，， 以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 则，设，，， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算，解答的关键是理解数量积的定义以及数量积的坐标表示. 27．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，则最大值为__________，若，则的最大值为________ ； 【答案】 9 【分析】根据线性运算法则，可得，根据数量积公式，可得，根据的范围，分析即可得答案；以O为原点，OA为x轴正方向建系，可得各点坐标及P的轨迹方程，设出P点坐标，根据题意，可得的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为 ， 所以 ， 因为，故当时，取得最大值1， 此时取得最大值为9. 以O为原点，OA为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 由题意得P的轨迹为以O为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设， 则， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：9； 考点07 平面向量中的平行与垂直 1．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)已知平面向量，，若⊥，则实数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案. 【详解】由于⊥，所以，解得. 故选：A 2．(24-25高一下·福建莆田·期末)若向量满足，且与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据向量的运算律及求解即可. 【详解】解：因为，所以， 又因为与垂直， 所以， 即， 即， 解得. 故选：D. 3．(24-25高一下·福建宁德·期末)已知向量，，若，则（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：D. 4．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知向量，若向量与垂直，则____________． 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 故答案为： 5．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则求解． 【详解】解：因为与垂直，所以， 则， 得， 故选：A 6．(24-25高一下·福建南平·期末)已知向量与共线，则实数__________． 【答案】 【分析】利用向量共线的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得. 故答案为： 7．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)写出一个与向量垂直的单位向量________． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】由题意设所求向量为，从而，由此解方程组即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量为， 则，解得或. 故答案为：（或，答案不唯一）. 考点08 求平面向量的模长与夹角 28．(24-25高一下·福建南平·期末)（多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 29．(24-25高一下·福建厦门·期末)已知向量，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方，得到，利用夹角余弦公式和基本不等式得到，从而求出正弦的最大值. 【详解】因为，两边平方得， 整理得， ， 当且仅当时等号成立，所以. 故的最大值为. 故选：D 30．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)在中，若，且，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由，可得，得，由可得,从而可判断出三角形的形状 【详解】解：因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 故选：C 31．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)（多选）下列结论错误的是（    ） A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B．若非零向量，满足，则与的夹角为60° C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D．若向量与的夹角为，，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据夹角为锐角得到且不反向共线，从而得到A错误；B选项，将和两边分别平方得，从而得到，得到夹角；C选项，计算出，利用投影向量的模长公式得到答案；D选项，利用向量数量积公式得到，从而求出最小值. 【详解】A选项，， 且，解得且，A错误； B选项，将和两边分别平方得， ，，即 则， 所以与的夹角为30°，B错误； C选项，，又，所以， 所以在方向上的投影向量的模为，C正确； 对于D，， 当时，有最小值，所以的最小值为，D错误． 故选：ABD 32．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 故选：D 考点9 求投影向量 32．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 故选：D 33．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以 ， 则在上的投影向量为 . 34．(24-25高一下·福建南平·期末)已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的几何意义，确定的形状，再根据投影向量的几何意义确定问题的答案. 【详解】如图： 因为，所以点为中点，所以. 又，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则. 则即为向量在向量上的投影向量. 又. 故选：B 35．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知，，与的夹角为. (1)求，并表示出在方向上的投影向量； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由数量积的定义、投影向量的定义即可求解； （2）由题意当且仅当向量与的数量积大于0且不共线，进一步列不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，解得， 所以在方向上的投影向量为； （2）若向量与的夹角为锐角， 则当且仅当向量与的数量积大于0且不共线， 而与的夹角为，即与可以视作平面内的一组基底向量， 所以，且， 解得或， 故所求为. 36．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知向量满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，进而利用投影向量的定义求得在上的投影向量． 【详解】因为，因为，所以，所以， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 37．(24-25高一下·福建漳州·期末)在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，然后利用投影向量公式求解. 【详解】由题意得，， ， 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量是. 故选：C 38．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据求出，再根据求出，最后利用投影向量的定义可得结果. 【详解】，， 又， ，又因为在上的投影向量为. 故选：C. 39．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)（多选）已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（    ）． A． B．在方向上的投影向量为 C． D．当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 40．(24-25高一下·福建宁德·期末)已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可. 【详解】如图，由，可得为的中点， 又因为为的外接圆圆心，所以， 又因为，所以， 所以为等边三角形，即， 为等腰三角形，即， 为直角三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：D.      41．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则向量在上的投影向量为. 故选：D. 考点10 平面向量的综合题型 42．(24-25高一下·福建龙岩·期末)（多选）已知四边形是边长为2的正方形，为正方形所在平面上一点，且，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐项判断. 【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，，，B错误； 对于C，，，，C正确； 对于D，，， ，D错误. 故选：AC 43．(24-25高一下·福建泉州·期末)数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，以的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．已知为上的一点，为的中点，若，则的最大值为_________，最小值为_________． 【答案】 4 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角恒等变换可求的最值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则， 所以 ，其中， 则，则，所以， 所以当时，， 当时，. 故答案为：；. 44．(24-25高一下·福建南平·期末)已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． (1)当时，求； (2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由三角形的外形性质，可得向量在向量上的投影向量，根据数量积的定义，可得答案； （2）根据数量积的坐标表示以及模长的坐标公式，结合向量夹角余弦值的取值范围，可得答案； （3）由图形的性质以及数量积的定义式，整理等式，利用（2）所得的不等式，可得答案. 【详解】（1）因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点， 则为向量在向量上的投影向量， 设与的夹角为，所以． （2）构造向量，因为（其中为向量的夹角）， 所以， 于是， 即 当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有， 即，不等式得证． （3）如图，令，由， 得，化简得． 由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有， 代入上式得，所以． 又是的外接圆的半径，故， 于是有， 由（2）结论可知，，故， 从而，于是，当且仅当时，等号成立， 因此的最大值为． 45．(24-25高一下·福建泉州·期末)在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，可得在直线，最小值即为到直线的距离，据此计算可得最小值. 【详解】作出示意如图所示：取的中点， 则，又，所以， 又，所以在直线上， 所以的最小值为到直线的距离，即， 因为，所以，且，所以， 所以，所以的最小值为. 故选：C. 46．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若 ，则当取最大值时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，得到，，则，得到时，取得最大值，进而求得的值，得到答案. 【详解】设圆O的半径为，以为原点，方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 因为，所以， 所以，， 所以 ，其中， 当且仅当时，取得最大值， 此时1， 则． 故选：C. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $