2026年广东省学业水平考试数学模拟卷

**基本信息** 以《九章算术》文化素材、灯语通信科技情境及二维码实验等现实问题为载体，通过基础巩固到创新应用的分层设计，考查抽象能力、模型意识与推理能力，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|实数概念、三角形关系、视图|原创题以集合图呈现等腰与等边三角形逻辑关系（推理意识）| |填空题|5/15|多项式、圆的弦长、反比例函数|二维码实验题通过频率估计面积渗透数据意识| |解答题|8/75|不等式组、统计分析、函数应用|眼镜镜框抛物线模型题构建实际问题数学模型（模型意识）|

2026年广东省学业水平考试数学模拟卷细目表 整体难度：0.55-0.65 考试范围： 数与式,图形的变化,图形的性质,方程与不等式,观察、猜想与证明,统计与概率,函数 试卷题型 题型 数量 单选题 10 填空题 5 解答题 8 试卷难度 难度 题数 容易 3 较易 9 适中 9 较难 2 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.94 相反意义的量 2 0.95 实数的分类 3 0.94 判断简单几何体的三视图 4 0.84 添一条件使四边形是矩形；添一个条件使四边形是菱形；添一个条件使四边形是正方形 5 0.85 几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；对顶角相等 6 0.88 圆周角定理 7 0.85 幂的乘方运算；合并同类项；零指数幂；同底数幂的除法 8 0.85 解一元二次方程——直接开平方法 9 0.85 由一元二次方程的解求参数；新定义下的实数运算 10 0.55 有理数乘法运算律；归纳与类比 二、填空题 11 0.85 多项式的项、项数或次数 12 0.85 已知概率求数量；几何概率 13 0.65 垂径定理的实际应用；用勾股定理解三角形 14 0.65 已知式子的值，求代数式的值；运用平方差公式进行运算 15 0.4 根据图形面积求比例系数（解析式）；已知正切值求边长 三、解答题 16 0.85 求不等式组的解集 17 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数 18 0.65 求其他不规则图形的面积；用勾股定理解三角形；切线的性质和判定的综合应用 19 0.65 待定系数法求二次函数解析式；其他问题(实际问题与二次函数) 20 0.54 条形统计图和扇形统计图信息关联；利用合适的统计量做决策；用样本的频数估计总体的频数；求中位数 21 0.51 最大利润问题(一次函数的实际应用)；用一元一次不等式解决实际问题；销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 22 0.6 分式的求值；分式加减乘除混合运算；一次函数与反比例函数的交点问题；用一元一次不等式解决几何问题 23 0.4 反比例函数与几何综合；求点沿x轴、y轴平移后的坐标；根据菱形的性质与判定求线段长；全等三角形综合问题；求反比例函数解析式；根据正方形的性质求线段长 知识点分析 序号 知识点 对应题号 1 数与式 1,2,7,9,10,11,14,22 2 图形的变化 3,15,23 3 图形的性质 4,5,6,13,18,23 4 方程与不等式 8,9,16,17,21,22 5 观察、猜想与证明 10 6 统计与概率 12,20 7 函数 15,19,21,22,23 难度分布 容易 较易 适中 较难 13.04 39.13 39.13 8.7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省学业水平考试数学模拟卷 时间：120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1．《九章算术》是我国重要的数学典籍，也是世界上第一部完整介绍负数的古算书．书中记载：“今两算得失相反，要令正负以名之”．这句话的意思是今有两数若意义相反，则分别叫做正数和负数．如果盈利200元，记作元，那么亏损50元，记作（  ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（原创题）若用表示等腰三角形，表示三边不相等的三角形，表示等边三角形，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（  ） A． B．C． D． 3．如图，该六棱柱的主视图是（  ）    A．    B．   C．   D．     4．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（  ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 5．如图，直线，相交于点，平分，，则等于（  ） A． B． C． D． （第4题图） （第5题图） （第6题图） 6．如图，点，，在上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 8．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 9．对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（  ） A． B． C． D．0 10．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（  ） ①“”表示字母；②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示““””的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题(每小题3分，共计15分) 11．（原创题）写出一个关于字母m、n的多项式，使其次数是3，项数是2：________．（写出一个即可） 12．某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点做了大量的重复实验后，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在左右，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为_____________． （第12题图） （第13题图） （第15题图） 13．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 14．已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于_____． 三、解答题（第16、17、18题，每题各7分，第19、20、21题每题各9分，第22题13分，第23题14分，共计75分） 16．以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程． 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 18．如图，在△ABC中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 19．眼镜（如图①）是用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．两个眼镜片所在镜框下半部分轮廓可近似看作两个形状相同且对称的两段抛物线．已知镜框最低点距中梁的垂直距离，均为，镜框最低点之间的水平距离为，中梁的宽度为，点，，，，，在同一水平线上，以所在水平方向为轴，过中点且垂直的直线为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知长时间佩戴大镜框可能导致鼻梁或耳朵不适．根据小明的瞳距可知，镜框的跨度（A与F的间距）在内佩戴较为舒适，那么此副镜框对于小明来说是否合适，请说明理由． 20．为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理：跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：；C：，D：，E：，并绘制如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：131，135，133，135，135，133． 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 a 135 女同学 134 136 b 请你认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ______， ______， ______，并补全频数直方图； (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有______人； (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个组更优秀？说明理由． 21．某水果店经营一种水果以“当日水果当日清”为宗旨，深受顾客喜爱．店内销售该种水果两类，分别记作：A类、B类，请根据以下素材，完成相应任务． 该种水果销售方案 素材1 B类水果比A类水果的进价每千克多6元．若水果店两类水果都购进，则共需费用1300元． 素材2 该水果店平均每天可销售B类水果90千克、其中白天（7：00—19：00）可销售60千克，剩余30千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如右图所示．（每个时间段包含后面时间，不包含前面时间．） 素材3 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售． 问题解决 (1)任务1：两种水果每千克的进价各是多少元？ (2)任务2：若期望销售B类水果利润不低于2205元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） (3)任务3：若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售B类水果都是），则每天进货多少千克时利润最大？ 22．定义新运算：对于分式、，规定． (1)若，，求化简结果； (2)当时，求（1）中式子的值； (3)若一次函数与反比例函数图象无交点，求的取值范围． 23．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年广东省学业水平考试数学模拟卷参考答案 一、单选题 1-5:CADBC 6-10:DBDCB 二、填空题 11. m3n3(答案不唯一)根据多项式次数和项数的定义，构造一个含有字母m和n的多项式，项数为 2,且最高次数为3即可.（原创题） 12.1.4 13.82 14. 10 15. 12 三、解答题 16.解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误. …2分 正确的解答如下： 由①得x<3+2 .3分 解得x<5,…… .…..4分 由②得-x+2≥3，-x≥1，......... 解得x≤-1，……… 6分 故原不等式组的解集为x≤-1.. …….7分 17.(1)解：根据题意得， 1-4m+1>0....… 2分 解得，m<-3 4 3分 (2)由题意可知，x+x2=1, xx2=m+1...... .4分 所以1-(m+1)=m2-2. 解得m1=-2,m2=1. .5分 3 ,m< 41 .m=-2. .7分 18.(1)解：选择的条件是①②，结论是③. .1分 理由如下：如图，连接0D, 0D=0A, .L0AD=∠0DA, :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, .ZODA=ZCAD, .0D∥AC;.…… .2分 :∠ACB=90°， ∴.∠0DB=LACB=90°， .BC⊥0D,. ..3分 :0D为00的半径， ∴BC是O0的切线， ….4分 故答案为：①②，③（答案不唯一）；本题也可以：选择的条件是②③，结论是①， 或者选择的条件 是②③，结论是①。 (2)解：∠B=30°，∠0DB=90°， ∴.∠B0D=60°，0B=20D, .OD=0E, .0E=BE=2,.5分 ∴.0D=2,0B=4, BD=V0B2-0D2=25,.6分 5ae=5am-5ame-8D-0D-∠800a0D=25-2a， 1 360 3 故阴影部分的面积为 25-2 3 .7分 19.【详解】(1)解：由题意可知E(-4,0),D(-0.8,2.56), 设抛物线解析式为y=(c+4),..2分 将D(-0.8,2.56)坐标代入解析式得：a×(-0.8+4)2-2.56, 解得a= ..3分 :抛物线FED的解析式为y=(x+4)2;. 4 (2)解：由题意可知，点F的纵坐标为2.56， ….5分 把y=2.56代入y=4c+4得：4+4=2.56， .6分 (x+4)2=10.24, 解得x=-7.2,=08，… ...7分 F(-7.2,2.56), 由对称性质可知4(7.2,2.56)，..…。 ’….8分 .AF=7.2×2=14.4>14, 此副眼镜对于小明来说不合适.…….9分 20.【详解】(1)a=132,b=136,m=20 ….每空各1分 补全条形统计图如下：·… ..4分 被抽取的男同学跳绳个数频数 分布直方图 频数 66 6 5 4 3 2 2 0 ABCDE组别 (2)解：男同学D组和E组的人数和为2+3=5， 200×5=50(人)；. 20 .5分 女同学D组和E组的人数和为2+4=6， :260×6=78(人0： 20 50+78=128（人).6分 ∴估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有128人；.7分 (3)解：女生组更优秀，理由如下： 我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的 中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分 钟跳绳更优秀，所以，整体来说女生组更优秀。….9分 21.(1)解：设A类水果每千克的进价为x元，B类水果每千克的进价为y元，.·.1分 y-x=6 由题意得， 50x+50y=1300' ….2分 解得 x=10 ..3分 y=16 答：A类水果每千克的进价为10元，B类水果每千克的进价为16元；...4分 (2)解：设其标价（白天的售价）是m元/千克， 由题意得，60(m-16+60.9m-16+60.8m-16+60.7m-16+60.6m-16)+6(0.5m-16)≥2205， 解得m≥45，…… .m的最小值为45， 答：其标价（白天的售价）最低价是45元/千克：…7分 (3)解：设每天进货n千克，利润为W元， 6×(45×0.9-16=147元，6×(45×0.8-16)=120元，6×(45×0.7-16)=93元， 6×(45×0.6-16)=66元，6×45×0.5-16)=39元 由题意得，W=(45-16)(n-5×6)+147+120+93+66+39..............8分 =29n-405, .29>0,∴.W随n的增大而增大，∴.当n=90时，W有最大值， 答：每天进货90千克时利润最大。.… .9分 2解：w装v货名M=N x I ∴.M※N=x+1-x 1 xx+l x2 x+1 .2分 x+1x2 x (x+12 x2(x+1x2(x+1 x4-x2-2x-1 x3+x2 ……….6分 (2)解：当x=2时， x4-x2-2x-124-22-2×2-17 ..8分 x3+x2 23+22 12 (3)解：将x=0代入y=ax+2,则y=2, .一次函数y=r+2的图象过定点(0,2)，..9分 当a>0时，一次函数y=ax+2的图象过一，三象限， 与反比例函数y=图象必有交点，不符合题意； ….10分 当a<0时，一次函数y=x+2的图象过二，四象限，如图， 6 y=ax+2 :一次函数y=+2与反比例函数y=6图象无交点， 当x<0时，反比例函数y=6图象始终在一次函数y=x+2图象的下方，且无交点， 当x>0时，反比例函数y=6图象在一次函数y=x+2图象的上方， 6>x+2x>0),6>m2+2x,即a2+2x<6,.1分 x-<6, a a 1)2 1 ∴.ax+ <6+二， a a a a2 ，12分 :+≥0.>0 a :.60+1<0,即6a+1<0, a2 1 .a<- 6 …13分 23.(1)解：过点C作CH⊥x轴，交于点H, B H ,四边形ABCD是正方形， ABBC,∠ABC-90°，...........2分 ∴.∠AB0+∠CBH90°， :∠AB0+∠0AB=90°， ∴.∠OAB∠CBH, △A0Be△BHC, 3分 ..BH=0A=6,CH=0B=3, .0f9, ∴.C(9,3) ….4分 :反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C, .∴.k=9X3=27, 27 .y= ….5分 (2)如图所示，过点D作DG⊥x轴，AE⊥DG,CF⊥DG, 同(1)方法可得：△AED兰△ABO兰△DCF, :∠AEG=∠EG0=∠A0G=90°， 四边形0GEA为矩形，…7分 D B GH ..AO-EG-6,DE=0B-3,AE=A0-6, D6,9,.8分 ,点A’恰好落在反比例函数图象上， 9 当y6时，厂2' 9 证2 D(6+9 9)即D(2)910分 (3)当OA'=0P时，如图所示： y o 4 0 P 1 可 15 0A' 2, 四边形OPQA'是菱形， A'Q∥0P,A'Q0P, Q12,6),.11分 当点Q'在第二象限时，Q (-3,6)； .12分 当A'0A'P时，如图所示： 点A’与点Q关于x轴对称， 036: …….13分 当P0PA'时，如图设P(m,0), 则POPA', ∴.m2=m- 9)2 +62, 2 解得：m=25 Γ 25 .0P-A'Q4' g子 Q6或号，6或12,6或36 【点晴】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱 形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，(3)中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键， 2026年广东省学业水平考试数学模拟卷解析 一、单选题 1．《九章算术》是我国重要的数学典籍，也是世界上第一部完整介绍负数的古算书．书中记载：“今两算得失相反，要令正负以名之”．这句话的意思是今有两数若意义相反，则分别叫做正数和负数．如果盈利200元，记作元，那么亏损50元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：如果盈利200元，记作元，那么亏损50元，记作元． 故选：C 2．（原创题）若用表示等腰三角形，表示三边不相等的三角形，表示等边三角形，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（  ） A．B．C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】三角形的分类 【详解】等边三角形属于等腰三角形，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 3．如图，该六棱柱的主视图是（    ）   A．     B．   C．   D．     【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 【详解】解：正六棱柱主视图的是：    故选：D． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 4．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【难度】0.84 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 5．如图，直线，相交于点，平分，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对顶角相等、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】由可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据对顶角的定义求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ． 6．如图，点，，在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】圆周角定理 【详解】解：∵， ∴． 7．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方运算、零指数幂 【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方运算底数不变指数相乘，以及（）可逐一进行判断． 【详解】解：A选项，不是同类项不能合并，不符合题意； B选项，，符合题意； C选项，，不符合题意； D选项，要求，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算以及零指数幂的计算，解决本题的关键是正确掌握计算法则． 8．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 9．对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数、新定义下的实数运算 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 10．正所谓：“人有人言，灯有灯语”．灯语灯光通信是船只之间通信的一种通用化语言，在国际上的使用十分广泛．利用灯光，以二进制的原理传递信息，可以帮助船员在较远的目视距离相互沟通．例如：“”表示亮红灯，“”表示亮绿灯．两只远洋航行的船只用亮红灯和亮绿灯来进行交流，并在启航前作如图所示的约定： 根据约定的规则，下列说法正确的有（   ） ①“”表示字母； ②若要表示个英文字母，需要盏灯； ③先后发出“”、“”、“”、“”表示“”的缩写“”． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】归纳与类比、有理数乘法运算律 【分析】由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的，转化为二进制，然后根据二进制转化为十进制，进行解题即可． 【详解】解：由题意可得，表示二进制中的，表示二进制中的， ∴表示二进制的数为， ∴表示十进制的数为，在字母表中第个字母为， ∴表示字母；故①正确； ∵， ， ， ， ， ∴用二进制表示为， ∴要表示个英文字母需要盏灯，故②错误； 由题意可得，表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母；由题意可得， 表示字母；表示字母； 表示二进制为，转化为十进制为；在字母表中第个字母为， ∴表示字母； ∴③错误； 二、填空题 11．(原创题)写出一个关于字母m、n的多项式，使其次数是，项数是：______．（写出一个即可） 【答案】+（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式，多项式的次数和多项式的项，掌握相关概念是解题的关键．根据多项式次数和项数的定义，构造一个含有字母m和n的多项式，项数为，且最高次数为即可． 【详解】解：由于多项式含有字母m、n，次数是，即最高项次数为，项数是， 该多项式可以为+． 故答案为：+（答案不唯一）． 12．某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点做了大量的重复实验后，发现掷点落在黑色区域的频率稳定在左右，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为_____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知概率求数量、几何概率 【分析】先根据正方形面积公式求出二维码的总面积，再用总面积乘以掷点落在黑色区域的频率即可估计黑色部分的面积． 【详解】解：因为二维码的边长为， 所以二维码的总面积为， 因为掷点落在黑色区域的频率稳定在左右， 所以由此可以估计二维码黑色部分的面积约为． 13．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，液面到烧瓶底部最大距离为，则截面圆中弦的长为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】过点作交于点，延长交于点，连接，根据题意可得，，，，先求出，再根据勾股定理求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，延长交于点，连接，如图： 则，，，， ∴， 在中，， ∴． 即截面圆中弦的长为． 14．已知实数a，b满足，，且，则的值为______． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据已知条件，将两式相减得到，根据得到，最后将两式相加，即可得到的值． 【详解】解：，， ， 又 ． ，即， 两边同时除以得，， ． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于_____． 【答案】12 【难度】0.4 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知正切值求边长 【分析】作CD⊥OA于D，如图，利用菱形的性质得OC＝OA＝5，在Rt△OCD中利用正弦的定义以及勾股定理计算出CD＝3，OD＝4，从而得到C（4，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值． 【详解】解：如图，作CD⊥OA于D， ∵OA＝5， ∵四边形OABC为菱形， ∴OC＝OA＝5， 在Rt△OCD中，∵tan∠COA＝ ＝ ． ∴设CD＝3x，OD＝4x， ∵OC2＝OD2+CD2， ∴52＝（4x）2+（3x）2，解得x＝1， ∴CD＝3，OD＝4， ∴C（4，3）， 把C（4，3）代入y＝ 得k＝3×4＝12． 故答案为12． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即y=k也考查了菱形的性质． 三、解答题 16．以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程． 【答案】从第四步开始出现错误，见解析 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，准确的计算是解决本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误． 正确的解答如下： 由①得 解得， 由②得 解得， 故原不等式组的解集为． 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入得，计算即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得，． 解得，． （2）由题意可知，，． 所以． 解得，．     ∵， ∴． 18．如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①②，③ (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线性质得，可得，得，即得； （2）先求出，，得，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③． 理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 故答案为：①②，③（答案不唯一）； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 19．眼镜（如图①）是用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．两个眼镜片所在镜框下半部分轮廓可近似看作两个形状相同且对称的两段抛物线．已知镜框最低点距中梁的垂直距离，均为，镜框最低点之间的水平距离为，中梁的宽度为，点，，，，，在同一水平线上，以所在水平方向为轴，过中点且垂直的直线为轴，建立如图②所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知长时间佩戴大镜框可能导致鼻梁或耳朵不适．根据小明的瞳距可知，镜框的跨度（A与F的间距）在内佩戴较为舒适，那么此副镜框对于小明来说是否合适，请说明理由． 【答案】(1) (2)此副眼镜对于小明来说不合适，理由见详解 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是关键； （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据点的纵坐标为，代入解析式建立方程，解出值，根据对称性质求出长与适合小明的镜框的跨度作比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 设抛物线解析式为， 将坐标代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知，点的纵坐标为2.56， 把代入得：， ， 解得，， ， 由对称性质可知， ， 此副眼镜对于小明来说不合适． 20．为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：；C：，D：，E：，并绘制如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：131，135，133，135，135，133． 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 a 135 女同学 134 136 b 请你认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ______， ______， ______，并补全频数直方图； (2)若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有______人； (3)结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个组更优秀？说明理由． 【答案】(1)，，，统计图见解析 (2)128 (3)女生组更优秀，理由见解析 【难度】0.54 【知识点】利用合适的统计量做决策、求中位数、条形统计图和扇形统计图信息关联、用样本的频数估计总体的频数 【分析】（1）利用中位数，众数以及部分数据百分比进行求解，然后补全条形统计图； （2）利用样本频数估计总体频数即可； （3）利用平均数，中位数，众数进行决策． 【详解】（1）解：∵被抽取男同学跳绳个数在C组的数据有6个， ∴被抽取男同学跳绳个数在A组的数据有（个）， ∴中位数取第10位和第11位数据的平均数， ∴； ∵被抽取女同学跳绳个数在C组的数据有8个， 在A组的数据有个， 在D组的数据有个， 在E组的数据有个， 在B组的数据有个， 其中136出现了5次，出现的次数最多， ∴； ∵， ∴； 补全条形统计图如下： （2）解：男同学D组和E组的人数和为， ∴（人）； 女同学D组和E组的人数和为， ∴（人）； ∴（人） ∴估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有128人； （3）解：女生组更优秀，理由如下： 我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀， 所以，整体来说女生组更优秀． 21．某水果店经营一种水果以“当日水果当日清”为宗旨，深受顾客喜爱．店内销售该种水果两类，分别记作：A类、B类，请根据以下素材，完成相应任务． 该种水果销售方案 素材1 B类水果比A类水果的进价每千克多6元．若水果店两类水果都购进，则共需费用1300元．    素材2 该水果店平均每天可销售B类水果90千克、其中白天（7：00—19：00）可销售60千克，剩余30千克在晚上分5个时段打折销售，折扣比例如右图所示．（每个时间段包含后面时间，不包含前面时间．） 素材3 在19：00至21：00的每个折扣时段内，销售量大致相当，即平均每个时段都销售． 问题解决 (1)任务1：两种水果每千克的进价各是多少元？ (2)任务2：若期望销售B类水果利润不低于2205元，则其标价（白天的售价）最低价是多少元/千克？（不考虑其他因素产生的费用和损耗） (3)任务3：若按任务2中的最低价销售（假设每个折扣时段可销售B类水果都是），则每天进货多少千克时利润最大？ 【答案】(1)A类水果每千克的进价为10元，B类水果每千克的进价为16元 (2)其标价（白天的售价）最低价是45元/千克 (3)每天进货90千克时利润最大 【难度】0.51 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A类水果每千克的进价为x元，B类水果每千克的进价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设其标价（白天的售价）是m元/千克，根据总利润不低于2205元建立不等式求解即可； （3）设每天进货n千克，利润为W元，列出W关于n的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A类水果每千克的进价为x元，B类水果每千克的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类水果每千克的进价为10元，B类水果每千克的进价为16元； （2）解：设其标价（白天的售价）是m元/千克， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为45， 答：其标价（白天的售价）最低价是45元/千克； （3）解：设每天进货n千克，利润为W元， 元， 元 元， 元 元 由题意得， ， ∵， ∴W随n的增大而增大， ∴当时，W有最大值， 答：每天进货90千克时利润最大． 22．定义新运算：对于分式、，规定． (1)若，，求化简结果； (2)当时，求（1）中式子的值； (3)若一次函数与反比例函数图象无交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.6 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、用一元一次不等式解决几何问题、分式加减乘除混合运算、分式的求值 【分析】（1）根据规定，先列出分式，再根据分式混合运算法则计算即可； （2）将代入（1）中结果计算即可； （3）先确定一次函数的图象过定点，分， ，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ； （2）解：当时， ； （3）解：将代入，则， ∴一次函数的图象过定点， 当时，一次函数的图象过一，三象限，与反比例函数图象必有交点，不符合题意； 当时，一次函数的图象过二，四象限，如图， ∵一次函数与反比例函数图象无交点， ∴当时，反比例函数图象始终在一次函数图象的下方，且无交点，当时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，即， ∴． 23．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D′的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，′请说明理由． 【答案】(1)C（9，3）， (2) (3)存在，（－3，6）或（12，6）或或 【难度】0.4 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据菱形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标； （2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标； （3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBH=90°， ∵∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠CBH， ∴∆AOB≅∆BHC， ∴BH=OA=6，CH=OB=3， ∴OH=9， ∴C(9，3) ∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C， ∴k=9×3=27， ∴； （2）如图所示，过点D作轴，，, 同（1）方法可得：， ∵， ∴四边形OGEA为矩形， ∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6， ∴D(6，9)， ∵点A’恰好落在反比例函数图象上， ∴当y=6时，x=， ∴m=， ∴D’(6+，9)即D’(，9)； （3）当OA’=OP时，如图所示： ∵A’(，6)， OA’=， 四边形OPQA’是菱形， A’Q∥OP，A’Q=OP， Q(12,6)， 当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)； 当A’O=A’P时，如图所示： 点A’与点Q关于x轴对称， Q(，-6)； 当PO=PA’时，如图设P（m,0）， 则PO=PA’， ∴， 解得：， ∴OP=A’Q=， ∴Q(，6)， 综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ． 【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年广东省初中学业水平考试数学模拟卷答题卡 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A]IB][C][D] 8、【A]IB]IC]ID] 4、[A][B][C][D] 9、【A]IB][C][D] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 11 12 13 14. 16题、 17题、 18题、 A B D C 19题、 图① 图② 20题、 被抽取的男同学跳绳个数频数 被抽取的女同学跳绳 分布直方图 个数扇形统计图 71频数 6 6 4 C 2 28 10% 21题、 每天全场①清货时间 当天商品售完即止 19,00-1930全场九折 19:30-20:00全场八折 20:00-20:30全场七折 20:30-21:00全场六折 21:00后全场五折 22题、 威 面