2026年中考数学二轮复习 正方形“一图一课”专题 教学设计

该初中数学中考复习教案聚焦正方形专题，覆盖中考核心考点如正方形性质、全等变换（平移、对称、旋转）、勾股定理、相似及三角函数，以“一题多问、一问多模、多模归一”构建知识体系，通过母题串联模型，设计考点梳理、方法指导（截长补短、四点共圆等）、真题训练（新疆2022中考15题等）环节，帮助学生突破知识结构化与模型探究难点。 亮点在于“一图一课”创新设计，以八下母题自然生长变式，通过开放探究（如CE⊥DF的结论发现）、几何画板动态演示变中不变量，培养几何直观与推理意识，分层作业（基础重构图形、拓展中考真题）适配不同学生，助力学生提升模型应用与问题解决能力，教师可依此精准把控复习节奏，实现高效备考。

正方形“一图一课”专题教学设计 乌市第四十四中 付成霞 以“一图一课”作为几何专题教学的主要课型，在中考复习中取得较好的效果。本节《正方形“一图一课”》的设计理念：一题多问、一问多模、多模归一，以八下教材一道母题串联正方形各类考核模型，渐次变式、拓展提升、深挖本质，实现以题悟法、以法通类，提炼模型本质。以下就是本节课的教学设计： 内容解析 很多省市连续3年的第9题，15题都出的是正方形，而且它是逐步递进的，图形越来越复杂，但是依然能够找到这些图形的自然生长点。这些题出得特别好，通过研究几何图形的生成过程，把步骤内容、思想方法整理成具有良好结构的体系，让学生从整体上把握知识系统。 本节课选题是以新疆2021年和2022年中考15题，2024年重庆9题和2025北京中考9题为依据。题目特点：1、都是借助正方形对称性和图形全等变换，利用勾股定理、相似或三角函数计算线段的长度。2、共同规律是在组合构图，重构图形，图形具有延展性。3、从思维发展历程来看，重构图比直接去拆图要更容易形成最近发展区，便于学生形成系统思维。类比此方法，学生尝试利用正方形中心对称自己重构图形，再构图形，推动数学知识的自然生长。 综上所述，本节课的教学重点是：整体梳理正方形的知识结构体系，深入研究常见几何模型，提炼模型的本质。 二、教学目标 1、会将正方形的相关知识进行结构化整理，构建知识结构体系， 2、经历完整的模型探究过程，培养学生发现、提出、分析、解决问题的能力和创新思维。 三、教学问题诊断分析 “一题一课”复习的主要目的是：加强知识联系，深化知识理解，优化知识结构，体会数学思想方法，发展数学思维。由于学生独立整理知识的经验不多，综合能力有限，难以整理出系统，简约的知识结构，而且复习中学生模型意识薄弱，研究模型的方法欠缺，模型意识的深度和广度也不够。 本节课的难点：知识体系的结构化整理和模型的深入探究。 四、教学过程设计 环节一：构建体系，再识正方形 问题1、我们以前学习了正方形的哪些内容? 问题2：习题引入 回顾方法（八下69页14题） 14. 如图，四边形ABCD是正方形，点 E 是 边 BC 的 中 点 ，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F. 求证： AE=EF. （1）截长补短法证全等 （2）隐圆证等角 （3）锐角三角函数证线段相等 本题证法较多，预设以下三种种典型证明思路。1、全等证明。2、等角对等边。3、锐角三角函数。选这三种方法为后面的教学做准备，教学时注意关注学生不同的证法，然后及时往后推进，但要提醒学生还有其他证法，可以课后进一步研究。 【设计意图】通过复习，让学生从整体上把握如识体系，深化对正方形的理解。选择书本这道习题复习：一是为了后面中考题证明线段相等提供思路，二是图形也是”十字模型”，模型的研究离不开三角形，四边形和圆，紧扣本节课的主题，三是这道题学生易错。 教学预设：本题全等证明就有多种不同的方法，主要提供教材的提示就是用截长法，其他方法对学生还是很困难，果断舍弃（处理较好），一题多解不如多题一解。学生用补短法也非常好，要及时让学生展示。 环节二 基础热身 开放探究 问题1：如图1，正方形 ABCD 中，E,F 分别为边 AD,AB 上的点，CE⊥DF 相交于点 P。请根据图形（不添加条件），先在小组内交流，写出你发现的结论。 图1 图2 问题2变式练习：如图2，已知四边形ABCD是正方形，点E,F,G,H分别是AD,BC,AB,CD上的点, EF=GH，求证： EF⟂GH. 思考：有没有特殊情况使得该模型不成立? 【设计意图】通过对问题正反两个方向的思考和证明，引导学生发现问题的本质，进而抽象出数学模型，但是，所有的数学模型都有一定的阶限性，反例的探究和寻找就是为了让学生发现其局限性，知道其局限性，其中，完整的问题探究过程，不仅能向学生逐步渗透化理，数形结合等数学思想与方法，还能培养学生直观察象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。 教学预设：学生经过初步思考，会由正方形的性质和垂直，相应得出 AE=BF、等结论；如果从四点共圆的视角，还可发现：除了正方形 ABCD 四个顶点共圆之外，还有多个共圆，分别是四边形BFPC、四边形EGFH等；再从相似的视角出发，可以发现图中的多个直角三角形都是相似的. 问题3应用模型：如图，正方形 ABCD 中，E,F 分别为边 AD,AB 上的点，CE⊥DF 相交于点 P，连结AP。若AB=4，求AP的最小值。 环节二 拾级而上 逐步深入 问题1：如图1，正方形 ABCD 中，E,F 分别为边 AD,AB 上的点，CE⊥DF 相交于点 P，连结AC，你又能得出哪些结论？ 图1 图2 问题2：如图2，正方形 ABCD 中，E,F 分别为边 AD,AB 上的点，CE⊥DF 相交于点 P，连结BQ，求证BQ=DQ 【设计意图】题1设置成开放问题，通过开放式教学，通过设问“你发现了什么？让不同层次的学生都被充分卷入“问题1”中，学生独立思考一段时间之后，不同的学生有了不同的发现和结论，然后小组内安排交流、分享，最后再安排全班交流展示。 环节三、探究本质 变式拓展 问题1、如图，正方形 ABCD 中，F为AB 边上的点，E为BC延长线上的点，且DE⊥DF ，还能得到哪些结论？ （2）连结EF交AC于点M，求证FM=EM 解法1 解法2 教学预设：第（2） 问对学生比较困难，有了前面基本图形的铺垫，学生能想到用什么方法证明FM=EM，会添加相应的辅助线，但在具体证明思路上存在困难，因此用流程图的形式展示证明过程。 解法1：截长补短法构造全等。过F作BC平行线 AC对称性得到等腰直角三角形 FM=EM 解法2：三点共圆证明等角。AC对称+∆DFE等腰直角三角形 ∠DAM=∠DFM=45°且共底边DM 四边形AFMD四点共圆 ∠FDM=∠FAM=45° ∠DMF=90° 等腰三角形三线合一 FM=EM 此处还用几何画板动画展示动点F运动的过程中，∠DMF始终90°，清晰的看到变中不变的量。 【设计意图】：这里环节三图形可看成环节一和环节二的组合图形，题目设计也是是前几个问题的拓展应用。第（2）问是解决下面中考15题的核心，也是难点。为分散难点，设置开放第1问，让学生充分找到基本图形，分析其性质，然后再解决第2问，学生顺势就可解决。 环节四 运用模型 直击中考 （2022新疆中考15）四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 BC 延长线上，点 F 在 AB 上。以 D 为中心，将 顺时针旋转 90得∆DAF。连接 EF 交 DC 于 P，连接 AC 交 EF 于 Q，连接 BQ。若 ,则 BQ= ______。 解题思路： = 【设计意图】本节课想以这道题引导学生纵向深入研究该模型，有了模型意识，再利用相似、勾股定理或锐角三角函数计算线段的长度即可。学生能发现相似，但证明还存在问题，因此证明过程设计成流程图，图形变换用几何画板设置成动画演示，突破难点，然后再让学生把整个解题思路用流程图的形式写出来，重点内容板书。培养学生积累数学解题经验，培养学生的模型应用意识以及从实际问题中搜索出数学模型的能力。 教学预设：本题只要有少数学生能提出解题思路，就尽快安排他们上台分享，在这些学生讲解之后，再安排与此层次相当的学生复述，或稍弱的学生进行复述（再进一步跟进讲解），确保多数学生跟进理解。 环节五、总结提升 研究展望 小结问题：本课从正方形的一个基础图形出发，解决了很多过去就见过的数学学习题，还有不少之前没见过的，请在小组内交流：你对哪道问题印象深刻？ 老师总结：正方形模型汇总 正方形中各类几何模型的核心本质：平移、对称、旋转、相似，通过前三种全等图形变换，实现边角等量转换，然后利用相似，勾股定理或三角函数计算推理。 环节六、作业布置 分层设计 1、请你仿照本节课设计一个“图形研究”，探究正方形的“中心对称性”，参考阅读教材63页《丰富多彩的正方形》 2、拓展作业，供学有余力的学生继续钻研的挑战作业：2019年新疆中考题。 环节七 板书设计 一题一课 正方形中考专题 一、基本性质： 二、线段相等的证明方法： 三、模型本质 图形变换构造全等 —— 边角等量转换 ——相似勾股三角函数计算 学科网（北京）股份有限公司 $