解直角三角形的应用解答题专题训练2026年数学中考二轮复习

**基本信息** 聚焦解直角三角形应用，按坡度坡角、仰角俯角、方位角三大场景系统整合，以实际问题为载体，强化几何模型转化与三角函数应用，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坡度坡角问题|6题（如第5题正方体斜坡体积）|涉及坡比、垂直与水平距离关系，结合立体几何|基于坡角定义，通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数或体积公式建立关系| |仰角俯角问题|7题（如第13题正弦定理应用）|测量底部可达/不可达物体高度，含双直角三角形模型|从仰俯角构造直角三角形，结合测倾器高度，通过方程思想求解，拓展正弦定理应用| |方位角问题|7题（如第14题放牧点行程）|含方向角（南偏东等），结合行程或距离计算|根据方位角确定三角形内角，利用三角函数或勾股定理解决平面几何与实际结合问题|

2026年春九年级数学中考二轮复习《解直角三角形的应用》解答题专题训练（附答案） 一、坡度坡角问题 1．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 2．2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道上方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在点时，无人机在她仰角为45°的斜上方处；当谷爱凌到达点时，无人机恰好飞到她正上方处．已知坡道的坡度为，坡长米，无人机水平飞行距离米，求无人机离地面的高度的长．（，结果保留整数．） 3．如图是某商场的自动扶梯，其中为从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是． (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度．（，结果精确到） 4．泰州快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速60千米/小时，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．参考数据：（，，，，，，） 5．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 6．某数学兴趣小组尝试利用所学知识测量河对岸的大树的高度，并利用课余时间完成了实地测量，测量数据如下表： 项目 内容 课题 测量河对岸的大树的高度 测量示意图    说明：点，，在同一水平线上 测量数据 ①在处测得大树顶端的仰角为； ②在处测得大树顶端的仰角为； ③； ④斜坡的坡度（坡度为斜坡的铅垂高度与水平长度之比）． 请你帮助该兴趣小组根据上表中的测量数据，完成下列各题 (1)①______； ②点到的距离为______． (2)求出河对岸的大树的高度． 二、仰角俯角问题 7．综合实践：测量底部不可以到达的物体的高度． 所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．如图所示，要测量物体的高度，可以按下列步骤进行： （1）在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角． （2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在同一条直线上），测得此时M的仰角． （3）量出测倾器的高度，以及测点A和测点B之间的水平距离．根据测量数据，请求出物体的高度． 8．沿河白塔始建于清代，有着悠久的历史，2016年3月重建完工后被列为县级重点保护单位，是沿河的地标建筑，登上塔顶可以俯瞰沿河全景，是人们休闲游玩的好地方．一天小红来到白塔，想借助无人机来测量白塔的高度，无人机飞到离白塔地面高空的C处，测得白塔底部B处的俯角为，然后水平向左靠近白塔飞行后到处，测得白塔顶端A处的俯角为．（线段为白塔的高度，为无人机的飞行路线，A、B、C、D在同一平面内．） (1)求无人机所在的位置离白塔的水平距离？ (2)求白塔的高度？（，结果保留整数） （参考数据：，，） 9．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图是政府给贫困户新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 10．如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点处和楼顶处起飞竖直上升，其中点距离楼顶边缘点的水平距离为，从地面点处测得楼顶端的仰角为（点在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离；（结果保留整数，，tan31°） (2)分别求两架无人机距离地面的高度与无人机上升时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 11．假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，）     12．太原晋阳湖水域面积5.1平方公里、蓄水量达2400万立方米，是华北地区最大的人工湖．周末小颖和同学到晋阳湖欢乐谷游玩．有“晋阳湖之眼”美称的摩天轮如图1所示，图2为其简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是垂直于地面的摩天轮直径，点距地面的距离为5米．小颖和同学运用数学知识实地估测该摩天轮的直径，她在距地面11米高的观测点A处（米）测得摩天轮顶端的仰角即为，小颖的同学从点A正下方的点P处走到摩天轮支架所在的点B，观察到支架经过摩天轮圆心O，测得支架与水平面的夹角为，为28米．图中各点均在同一竖直平面内，点C、B、P在同一水平直线上．请你根据他们所测得的数据，计算摩天轮的直径．（参考数据：，，，，，，结果精确到1米） 13．综合与实践 【阅读材料】如图，在中，的对边长分别为a，b，c，则有，称为正弦定理，这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题解决】结合以上重要结论，尝试求解如下问题： 某校学生利用以上知识进行数学实践活动．如图，A处有一栋大楼，该学生选择B，C两处作为测量点，测得的距离为，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为求大楼的高度．（运用正弦定理求解，结果保留整数，参考数据：） 三、方位角问题 14．如图，是某牧场的四个放牧点，且在同一平面内．位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向． (1)求和两放牧点之间的距离；（参考数据：．结果保留整数） (2)现甲从放牧点出发，沿前往放牧点，乙从放牧点出发沿方向前往A放牧点，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍．当两人的距离是甲到放牧点距离的3倍时，甲距离放牧点多少千米？ 15．缙云山下、嘉陵江畔，风光秀美，人文雅致．小喜、小福的家与学校、公园均坐落于此．已知小福家位于学校的北偏东方向，同时在小喜家的北偏东方向；小喜家位于学校的北偏西方向4公里处；公园位于学校的正东方向．（参考数据；，，） (1)求小福家与小喜家的距离，（结果精确到） (2)小喜和小福约好放学后一同去公园游玩，两人同时出发．小喜从学校直接前往公园．小福先从学校回家放下书包（停留时间不计），再从家里前往公园，最终两人同时到达．已知小喜与小福的速度之比为，求小福家到公园的距离．（结果精确到） 16．重庆市瀛洲溪体育公园三月的油菜花海吸引了许多人前来游览拍照，如图，A、B、C、D是重庆市瀛洲溪体育公园平面上的四个景点，其中B位于A的正南方向400米处，C位于B的北偏东60°方向400米处，D位于A的正东方向，C位于D的东南方向．（参考数据：，，，） (1)求A、D两处景点之间的距离；（结果精确到个位） (2)现甲从A地出发沿AB前往B地游览，乙从B地出发沿BC前往C地游览，两人同时出发，甲的速度与乙的速度之比为，当两人首次相距200米时乙距离B地多远．（结果保留小数点后一位） 17．为加强海上救援能力，某救助队准备在某海域开展海上搜救演练．如图，，在同一平面内，是指挥部，演练开始时，甲救援船位于正东方向的处，乙救援船位于南偏东方向42海里的处，在的北偏西方向．在的南偏西方向的处有一遇险浮标，位于的正西方向．（参考数据：， (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)演练开始后，甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，同时乙救援船从出发沿往处进行搜救，乙救援船速度是甲救援船速度的倍，请问乙救援船离处多少海里时，两救援船第二次相距21海里（结果保留小数点后一位）？ 18．如图，港口位于港口的正东方向相距海里处，岛位于港口的正北方向，且位于港口的北偏东方向上，岛位于港口的北偏东方向，且位于岛的南偏东方向上． (1)求、两岛之间的距离．（保留根号） (2)甲船从港口出发沿匀速直线行驶，同时乙船从港口出发沿匀速直线行驶，已知甲、乙两船的速度之比为2：1，当甲船到港口的距离是乙船到港口的距离的3倍时，求乙船行驶了多少海里？（结果精确到小数点后一位） 19．今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图、、、在同一平面内，已知小希家位于小福家的东南方向，位于学校的正西方千米处；小福家位于学校的北偏西方向；博物馆位于小福家的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求小福家与学校的距离（结果保留一位小数）； (2)小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，已知小希和小福的速度之比为.小福到达博物馆后发现忘记带身份证，于是立即原速回家处取，当他到家后得知小希正好到了方向的超市处，他们查阅地图发现从到正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在处等待小福．求博物馆与小福家的距离（结果保留一位小数） 20．为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 参考答案 1．（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 2．解：如图，过点作地面于点，过点作地面于点，交于点， 四边形、四边形是矩形， ，，米，， 坡道的坡度为， ， 设米，则米， 米， 米， ， 解得， 米，米， 米，米， 米， ， 米， 米， 米． 3．（1）解：过点作于， 设， ∵的坡度为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得，即． 答：到一楼地面的高度为． （2）解：如图，过点作于，交于，过点作于，交于， 则，四边形、是矩形，， ∴，，， 由（1）知， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 答：日光灯到一楼地面的高度为． 4．（1）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； （2）解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 米/秒， 而， 所以该汽车不超速． 5．（1）解：∵水面是水平的， ∴； （2）解：延长，交直线于点H，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； （3）根据题意得：棱长为，， ∴， ∴矩形的面积为：， 设， ∵水的体积不变， 水平放置时水的体积为：， ∴放在斜坡上时，水的体积可以看作是正方体体积减去三棱柱的体积， 正方体体积， 三棱柱体积为： ， ∴， 解得，即， ∴的面积为： ∴图1中矩形的面积与图2中的面积相等； 由（2）得， 在中，， 即． 6．（1）解：①如图所示，过点作于点，于点， ， ②∵斜坡的坡度为， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴点处到的距离为； （2）解：如图所示，过点作于点， 设大树的高度为，则， 由图可知，为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 解得， 经检验符合题意， ∴大树的高度为． 7．解：连接，延长交于点， ，， 由题意知，， 设， 则，， ， ， 解得， ． 8．（1）解：设无人机所在位置D离白塔的水平距离为 米，白塔的高度为 米．无人机飞行高度为米，即点离地面的高度为米． ∴ 米． 在中， ，， ∴ 解得： 答：无人机所在的位置D离白塔的水平距离为12米． （2）解：在中，，，， ∴ ， ∴ 答：白塔的高度约为29米． 9．（1）解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ∴，， 在中，， ∵， ∴； 答：屋顶到横梁的距离约为； （2）解：过E作于H，则， 设，在中，， ∵ ， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 解得：， ∴， ∴， 答：房屋的高约为． 10．（1）解：在中，， 由图（2）知无人机乙刚起飞时离地面的高度， ∴， 解得， 则， 所以起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； 设无人机乙距离地面的高度与上升时间的函数关系式为，将点代入，得， 解得， ∴； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离是， ∴当两架无人机垂直距离为15米时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好为，即， ∴， 解得或， ∴ 所以一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 11．解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， 由题意得：，，，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 答：河宽约为． 12．解：延长交于点， 根据题意得，，， 四边形是矩形． ． （米）． 在中，， ． 设摩天轮的半径为米，即（米）， 米． ， ． 在中，， ． 米，米， ， ． 解得， （米） 答：摩天轮直径约为88米． 13．解：， ， 由测得的距离为， 根据正弦定理，得， ， ， 解得， , ， ． 14．（1）解：如图，作于，作于， 由题意得，，， ， 在中，， ， ， ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两放牧点地之间的距离约为； （2）解：如图，当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ， 在中，，， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）， 答：当两人的距离是甲到放牧点距离的倍时，甲距离放牧点的距离是． 15．（1）解：过点A作，如图所示： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴， 过点B作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设， ∵小喜与小福的速度之比为， ∴设小喜与小福的速度分别为， ∴，整理得：①； ∵， ∴②， 将①代入②整理得：， 解得：（负值舍去）， ∴小福家到公园的距离为公里． 16．（1）解：如图，过点作，过点作， 由题可得：（米），（米），， ， （米），（米）， （米）， 由题可知：， ，， ， 四边形是矩形， （米），，， ， 是等腰直角三角形， （米）， （米）； （2）解 ：如图，假设甲运动到点处，乙运动到点处，则米， 作， 设甲距离地米，则乙距离地米， 则，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 或， 两人首次相距200米， ， 米． 17．（1）解：过点A作于点G，过点B作于点F，过点C作，交的延长线于点E， 根据题意，得，海里， （海里）， （海里）， ， ， （海里）， （海里）； （2）解：甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，设该方向的直线与交于点H，交于点M，甲救援船运动到点N处，乙救援船运动到点Q处， 根据题意，海里， 根据题意，得（海里）， （海里）， ， ， ， ， ， 是等边三角形， （海里）， 设甲救援船的速度为x海里/小时，则乙救援船的速度为海里/小时，运动时间为小时，此时海里，海里，海里，乙救援船离处海里，两救援船第二次相距21海里时，点Q一定在点H的左侧，如图所示， 过点N作于点P， 则海里，海里， 故海里，海里， 海里， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得，， 不满足第二次相距21海里的要求，舍去， 故， 故乙救援船离的距离为： （海里）． 18．（1）解：根据题意，港口B位于港口A的正东方向，D岛位于港口B的正北方向， ∴是一个直角三角形，且，， 在中，已知海里， （海里），（海里）， ∵，， ∴， 过点B作于点E， 则在中，，，海里， ∴（海里），（海里）， 在中：， ∵，且，所以是等腰直角三角形， ∴海里 ∴（海里）， 答：C、D两岛之间的距离为海里． （2）解：由（1）得在，海里， 则（海里）， 设乙船行驶了海里时，甲船行驶到了点P，则海里， 过P作于H， 在中，，斜边海里， ∴海里，海里， ∵海里， ∴， 在中，甲船到B的距离， 即， 化简得， 解得， ∵距离，舍去负值，则 ， ， 精确到小数点后一位：， 甲行驶距离， ， 甲还在上，符合题意， 答：乙船行驶了约10.0海里． 19．（1）解：过点作于点，取交于，设，令在正北方，在正南方，如下图所示： 根据题意，可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去负值）， ∴， ∵， ∴， 答：小福家与学校的距离约为． （2）解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆，已知小希和小福的速度之比为，小福到达博物馆后发现忘记带身份证，于是立即原速回家处取，当他到家后得知小希正好到了方向的超市处， 过点作于点，如下图所示： 不妨设，由速度之比为，得出， ∴，， ∵的距离比的距离还少千米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 答：博物馆与小福家的距离约为． 20．（1）解：如答图： 过作于，过作于， ， 由、都是东西方向，即，则， 四边形是矩形，即，， 由题意，得，， 在中，，， ，， 在中，，， ． ， ， （米）， 答：点到点的距离为米． （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点， ， 由题可得，．故 设． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ，， 设，由修复模式下机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得， 由题意可知，， ，， 在中，，得， 在中，，得， ， 解得，（米）， 答：此时机器狗“成真”与点的距离约为米． 学科网（北京）股份有限公司 $