微专题01 三角形中的倒角模型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

**基本信息** 以8类三角形倒角模型为核心，构建“基础模型-扩展应用-综合迁移”的三阶训练体系，突出几何直观与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字模型及其扩展|6题|折叠情境下角的转化规律|从基础A字模型到老鹰抓小鸡模型的图形变式| |8字模型及其扩展|6题|对角线/角平分线夹角计算通式|基于对顶角性质的角关系推导| |飞镖模型及其扩展|6题|凹四边形内角和推论|通过辅助线构建三角形内角和关系| |双垂直模型|6题|直角三角形斜高角关系公式|结合高线与角平分线的角量转化| |高分线模型|6题|角平分线与高线夹角公式|内角与外角的差量计算规律| |双内角平分线模型|6题|两内角平分线夹角公式|三角形内角和定理的推论应用| |双外角平分线模型|6题|两外角平分线夹角公式|外角和性质的延伸推导| |内外角平分线模型|6题|内外角平分线夹角公式|内角与外角的半角关系转化|

微专题01 三角形中的倒角模型 题型1 A字模型及其扩展 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，把的一角折叠，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在边、上，将沿着折叠压平使A与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得到，，最后利用平角的定义表示出和，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，， 由折叠的性质可得，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，点M，N分别是，上动点，沿所在的直线折叠，使点B的对应点落在上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出，再根据得到，由折叠的性质可知：，根据进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ． 4．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，______． 【答案】70 【分析】根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据三角形外角的性质得：． 5．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，，且， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质及三角形内角和，解题关键是先利用“垂直于同一直线的两直线平行”和“等量代换”证明，再利用三角形内角和计算即可． （1）由、得，推出，结合已知等量代换得，由“同位角相等，两直线平行”得； （2）由得为直角三角形，先算出 ，再用即可求解的度数． 【详解】（1）证明： ， ， ， （2）解： 在中， ， ， ，， ， 故的度数为． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）填空，并完成推理过程：如图，点共线，且． (1)求证：．（以下为不完整的证明过程，请在横线上填写证明依据或补全证明过程）． 证明：， （_______） （________） ∴_（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， （等量代换）， ∴（              ）． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，进行求解即可； （2）根据平行线的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）证明：， （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴根据解析（1）可得：， ∴． 题型2 8字模型及其扩展 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 图例 结论 1．（2026·浙江杭州·一模）已知和是四边形的对角线，与的角平分线交于点E．设，（其中），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与相交于点，与相交于点，由三角形内角和定理并结合对顶角相等可得，，由角平分线的定义可得，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：如图，设与相交于点，与相交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与的角平分线交于点E， ∴，， ∴由可得：． 2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，平分平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和的性质得出，，两等式相减得到，由此可得出结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 3．（2026·广西南宁·一模）如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件，，，运用证明即可； （2）由三角形内角和定理得，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ． （2）解：在中，，， ∴． 由（1）知，， ． 4．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）对用一副三角板可以找到多少不同的角度，两位同学进行了讨论．小明：一副三角板可以找到，，，的角．小丽：不止能找到这些角，还可以组成更多的角．如图所示，当一副三角板这样摆放时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角板的特征确定图中两个底角的度数，利用三角形内角和定理求出顶角度数，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：由图可知，右侧三角板为含角的直角三角板，其与底边的夹角为，左侧三角板为等腰直角三角板，其与底边的夹角为 ， 设两斜边交点为P，与底边交点分别为A、B ， 在中，、， ， ． 5．（2026·辽宁营口·一模）如图，中，与分别是和的平分线，相交于点，于点，于点，，相交于点，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过四边形内角和定理和对顶角相等得出，所以，然后通过角平分线定义与三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵与分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）将一副三角板按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键． 先由平行线的性质得到，再由三角形内角和为求出的度数，根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图， ， ． ． ． 故选：C． 题型3 飞镖模型及其扩展 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 图例 平分，平分 结论 1．（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯Cobb角的检测示意图，于，于，与交于点，已知Cobb角为，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得，则根据三角形内角和定理可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则_度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据平分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ； （2）解：∵， ， ∵分别是的三等分线， ， ， ． （3）解：∵分别是的等分线， ∴，， ． 4．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点和点分别在和上，，和的平分线交于点． (1)求图中的值． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对运用三角形内角和定理求解即可； （2）先由三角形内角和定理求解的度数，然后根据角平分线以及对运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得； （2）解：由（1）得， ∴ ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，点D、E分别为、边上的点，平分，平分，、相交于点O，若，则______． 【答案】/125度 【分析】首先由三角形内角和定理求出，然后结合角平分线求出，然后证明，即可得到． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 6．（25-26七年级下·山西太原·期中）综合与探究 问题情境：数学课上同学们研究含锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题．如图1，，点A，点B分别是直线m，n上的定点．连接，以为斜边作直角，． (1)如果． ①直接写出的度数：________°． ②如图2，若，，试说明平分． 深入思考： (2)平分交直线m于Q，角平分线上一点H在直线m上方，G是射线上一点（点G与点Q不重合），请直接写出，和之间的关系． 【答案】(1)①30，②见解析 (2)当点G在线段上时，；当点G在点Q的右侧时，． 【分析】（1）①由直角三角形两锐角互余可得，由平行线的性质得，从而得，再根据可得结论； ②证明，，，得，故可得结论； （2）分点G在点左侧和右侧两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵在的内部 ∴平分 （2）解：当点G在线段上时，如图， ∵平分， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴ 当点G在点Q的右侧时，如图， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵． ∴． 题型4 双垂直模型 双垂直模型 图例 结论 1．（25-26八年级下·云南曲靖·期中）如图，在中，，于点，的角平分线交于点，交于点，于M，的延长线交于点N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先证明，由角平分线定义得，再根据三角形外角性质得 ，,故可得，由等角对等边可得结论； （2）由勾股定理求出，证明和 得，利用面积关系得，可求． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵平分 又 ， ∴ （2）解：在中，， 连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是斜边上的高， 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． (1)求的度数： 解：（1）（已知）， ________ （________________________）． ________________ (2)求的度数． 解：（2）________， ________（等式的性质）． （已知）， ________ 【答案】(1)，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，90，125 (2)，，35 【分析】（1）首先由三角形的高的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：（已知）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ； （2）解：， （等式的性质）． （已知）， ． 3．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在中，，是斜边上的高，如果，那么______． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据高线的定义得到，即，根据求出，即，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；在中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点，易证，若，，则_ ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】 （1）9；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由得到，进而得出结论； （2）先证明，从而得到，进一步得出结论； （3）延长，过点C作于P，先证明，得到，最后通过求得面积． 【详解】解：（1）， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． （3）延长，过点C作于P，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，是的高，是的高，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余、两直线平行的判定与性质，关键是证明从而证得． 由已知可得，证得，得，再证明，再根据和，求出的度数，从而求得的度数． 【详解】解：∵是的高， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴． 6．（21-22七年级下·河南南阳·月考）小明在学习三角形的内角和与外角和的过程中，发现了一个有趣的问题，并对此进行了深入探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是边上的高，，相交于点．试说明：． 请你帮助小明将推理过程及理由补充完整． 解：∵，是边上的高， ∴，． ∴________（               ）． ∵是角平分线， ∴． ∵________， （                              ）． ∴． (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点．若，分别求和的度数． (3)【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点，使得，平分交于点，的外角的平分线的反向延长线与的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)，； (3)． 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高， ∴，， ∴（同角的余角相等）， ∵是角平分线， ∴， ∵， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴； 故答案为：，同角的余角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型5 高分线模型 高分模型 图例 平分 结论 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则______． 【答案】30 【分析】根据三角形高和角平分线的性质得到、，进而利用三角形内角和定理得到，再得到，据此求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：，分别是的高线和角平分线， 、， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·吉林·期中）如图，在中，平分，是边上的高．，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线性质求出，最后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ． 是边上的高， ， ， ． 4．（25-26七年级下·甘肃酒泉·期中）如图所示，在中，，是边上的高，是的平分线． 求的度数 ______ 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求出，即可求解的度数． 【详解】解：∵ ， 是平分线， ， 是边上的高，， ∴ ， ． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】在中，求出，再利用角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ． 6．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，是的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由高的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）首先求出，然后由角平分线求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴，即 ∵ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∵，即 ∴． 题型6 双内角平分线模型 双内角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，四边形中，与的角平分线交于点，___________． 【答案】105 【分析】先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可. 【详解】解：四边形的内角和为，， ， 分别是、的角平分线， ， ． 2．（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合实践 在学习第一章《问题解决策略：反思》时，我们发现适当改变题目的条件，可以得到不同的结论．小华受其启发，研究了三角形任意两个内角角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系，以下是他的“思考与反思”，请你帮他完成． 【经典回顾】 (1)如图①，在中，、分别平分和． ①若，，则__________； ②用含有的式子表示__________． 【典例微拓】 (2)如图②，在中，在边、上任取点D、E，得到了四边形，思考四边形任意两个内角角平分线的夹角与另两个角之间的数量关系，不妨设，，、分别平分四边形的内角． ①若，，求的度数； ②用含m、n的式子直接表示的度数为__________． 【深入反思】 (3)如图③，、分别平分，射线与的平分线所在的直线相交于点H（不与点D重合），直接写出点H在不同位置时，与之间满足的数量关系（用含m、n的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)当点H在内时，．当点H在外时， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （2）根据（1）的模型代入计算即可求解； （3）根据题意分类讨论，当点H在内时，当点H在外时，分别根据三角形的内角和定理，三角形外角的性质计算，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，、分别平分和， ∴，， ∴； ②∵、分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图，延长，交于点F， 由（1）可知，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵，， ， ∴． （3）解：当点H在内时，， 如图，设，交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点H在外时，， 如图，设交于点G， ∴ ， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，连接， (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图1，则___________． ②若，，试用、表示的度数． (2)当点在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用、表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理分别得出，，进而可得，即可求解； ②根据①的方法，即可求解； （2）分三种情况讨论，①如图，当在的左侧时，设交于点，②如图，当在的右侧时，设交于点，③如图，当在的下方时，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 又∵ ∵，， ∴ ②∵，， ∴ （2）解：①如图，当在的左侧时，设交于点 ∵， ∴ ②如图，当在的右侧时，设交于点 ∵ ∴ ③如图，当在的下方时， ∵，， ∴， 又∵ 综上所述，或或 5．（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（1）先根据的内角和为结合求出，再根据为、的平分线，求出，最后根据的内角和为，即可求出； （2）先根据的内角和为推出，再根据为、的平分线，求出，最后根据的内角和为，即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵的内角和为，， ∴， ∵为、的平分线， ∴，， ∴， ∵的内角和为， ∴； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： ∵的内角和为， ∴， ∵为、的平分线， ∴，， ∴， ∵的内角和为， ∴． 6．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 题型7 双外角平分线模型 双外角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解，进一步利用角平分线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：，， ， ， ， 平分外角，平分外角， ，， 平分，平分， ，， ， ． 2．（25-26八年级下·山西吕梁·期中）项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度．例如，一块四边形地块相邻两条道路和，我们需在外部设置绿化带或排水沟，与就是这两个外角区域的角平分线．工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角是多少？ 任务一  模型初探（发现规律） 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中是四边形的一组相邻外角，是相邻的两个内角． 问题1：测量或推导 (1)观察图①中与之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中与之间存在怎样的数量关系？直接写出来； 任务二  应用建模 问题2：如图③，在四边形地块的外部，，分别是外角与的平分线． (3)已知地块的，请利用你发现的规律，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义表示出，即可得解； （2）同（1）中方法求解即可； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ，， ， ； （2）解：∵， ， ，， ， ； （3）解：， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内角之间的关系．已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论探究】 (1)如图，当，时，计算___________； 【结论推导】 (2)如图，观察猜想与之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线分别平分四边形的外角和． (3)如图，当直线时，试判断之间的数量关系是___________； (4)当，时，若直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点顺时针旋转，直线从与直线重合的位置出发，以的速度绕点逆时针旋转，两条直线同时出发，设旋转时间为（单位：），在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值．（写出个即可）． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)； (4)在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 【分析】（）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）连接，根据三角形的外角性质即可求解； （）过作，则，所以，，又平分，平分，则，，从而可得由（）得，，则，然后通过等式的性质即可求解； （）分当在内部时，当在内部时，如图，当在内部时，分别通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：， 证明：连接， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴ ， ∴； （3）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由（）得，， ∴， ∴； （4）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（）得， ∴， ∴， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴，， ∴      ， ∴， 解得：， 当在内部时，如图，设与交于点， ∴， ∴， 解得：； 如图，当在内部时， 同理， ∴， 解得：， 综上可得：在运动过程中，请直接写出直线相交所成的锐角为时的值为或或（写出个即可）． 4．（23-24七年级下·四川乐山·期末）某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 5．（2025七年级下·山东·专题练习）（1）如图①，在中，平分，平分，若，则_；如图②，平分，平分，则与的数量关系是_； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义， 对于（1），先根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义可得，然后根据可得答案；根据角平分线的定义得，再根据三角形外角的性质得，然后代入整理可得答案； 对于（2），先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：（1）∵， ∴. ∵平分，平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴. ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）∵是的外角， ∴，同理， ∴. ∵， ∴. ∵平分，平分， ∴, ∴. ∵ ∴, ∴. 6．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 题型8 内外角平分线模型 内外角平分线型 图例 平分，平分 结论 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，同理可得：，， 进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ∵， ， ． 4．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 5．（2026·广东珠海·一模）如图，已知，，的角平分线与的外角角平分线交于点D，则______度． 【答案】30 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得到，计算即可． 【详解】解：如图， 是的平分线， ， 是的平分线， ， 是的外角， ， 是的外角， ． 6．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的量关系”进行了探究： （1）如图1，在中，与的平分线交于点，，则__________； （2）如图2．的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求__________（用表示）： （3）如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求__________（用表示）： （4）如图4，外角、的平分线交于点，，、的平分线交于点，则__________；延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则__________． 【答案】 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，，结合角平分线的性质可得，因此； （2）由三角形外角的性质可得，，，结合角平分线的性质可得，，，因此； （3）由三角形的内角和定理可得，，结合平角的定义可得，，由角平分线的性质可得，，因此； （4）根据前三问的结论，代入数值计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （4）同理（3）可得，， 同理（1）可得，， 同理（2）可得，． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01三角形中的倒角模型 A字模型及其扩展 8字模型及其扩展 飞镖模型及其扩展 双垂直模型 三角形中的倒角模型 高分线模型 双内角平分线模型 双外角平分线模型 内外角平分线模型 微点量戒 题型1A字模型及其扩展 妹方法 A字模型 A字模型扩展：老鹰抓小鸡模型 图例 结论 ∠DBC+∠BCE=180°+∠A ∠DBO+∠ECO=∠A+∠O 1.(25-26七年级下·河北保定·期中)如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2=100°，则∠A为() 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A A.40° B.50° C.60° D.80° 2.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期中)如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别在 边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平使A与A重合，若∠A=35°，则∠1+∠2的度数为() B D A.70° B.75 C.105 D.35 3.（25-26七年级下·江苏宿迁·期中)如图，在ABC中，∠A=80°，∠B=40°，点M,N分别是AB,BC 上动点，沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B落在AC上.若LNB'C=90°，则∠MNB'的度 数为() A.60° B.65 C.75° D.80° 4.(25-26八年级下·河南郑州期中)如图，∠1=° 40° 30° 5.(25-26七年级下·湖北武汉期中)如图，ABC中，AB⊥CD,EF⊥CD,且∠B=∠DEF, 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D G B (I)求证：DE∥BC; (2)若∠ACB=81,∠B=44°，求∠ACD的度数. 6.(25-26七年级下四川成都期中)填空，并完成推理过程：如图，点G,D,F共线，且 ∠1+∠2=180°，∠B=∠3. G B C4 (I)求证：DE∥BC.(以下为不完整的证明过程，请在横线上填写证明依据或补全证明过程). 证明： ∠1+∠BDF=180°，∠1+∠2=180°， ∠2=∠BDF() EF∥AB( ∠3=_（两直线平行，内错角相等） :∠3=∠B(己知)， ∠B=∠ADE(等量代换)， DE∥BC( ) (2)若GF∥AC,∠1=120°，∠ADE=50°，求∠4的度数. 题型28字模型及其扩展 嫩方法 8字模型 8字模型扩展：角平分线模型 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B A A E 0 图例 0 AP平分∠BAD,PC平分∠BCD 结论 ∠A+∠B=∠C+∠D P82D) 1.(2026浙江杭州一模)已知AC和BD是四边形ABCD的对角线，∠ABD与LACD的角平分线交于点E. 设LBDC=a,∠BAC=B(其中a>B),则() A B A.∠E=2a-BB.∠E=2B-a C.2∠E=a+BD.∠E=2a-2B 2.(25-26七年级下山东烟台期中)如图，AB II CD,AE平分∠BAD,CE平分 ∠BCD,∠B=38°，∠D=30°，求∠E的度数. A B C D 3.(2026广西南宁.一模)如图，AB与CD相交于点O,AC=BD,LC=LD. B (1)求证：△A0C≌△B0D; 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若LC=75°，∠A0C=40°，求∠B的度数， 4.(25-26八年级下·北京怀柔期中)对用一副三角板可以找到多少不同的角度，两位同学进行了讨论.小 明：一副三角板可以找到30°，45°，60°，90°的角.小丽：不止能找到这些角，还可以组成更多的角.如 图所示，当一副三角板这样摆放时，则∠1的度数为() A.75° B.85o C.95° D.105 5.(2026辽宁营口一模)如图，ABC中，BO与C0分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点O, BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点P,且∠BPC=I08°，则∠BOC的度数为() A.112° B.118 C.126° D.128 6.(2026陕西西安·模拟预测)将一副三角板按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠的度数是 () 30° A.65 B.60° C.105 D.70° 题型3飞镖模型及其扩展 方法 飞镖模型 飞镖模型扩展：角平分线模型 / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 图例 E D B B OB平分∠ABD,OC平分∠ACD ∠BDC=∠A+∠B+∠C 结论 AB+AC>BD+CD 0-4+D 1.(2026广东深圳二模)如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为() A.70° B.90° C.105 D.140° 2.(25-26七年级下·广东深圳期中)脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊 柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当Cobb角>10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯Cobb 角∠O)的检测示意图，DA⊥OC于A,CB⊥OD于B,BC与AD交于点E,已知Cobb角为35°，则 ∠AEC的大小是() 凸面 凹面 宽 宽当cobb>10°为脊柱侧弯 宽 B 宽 灾0 cobb角 A.35 B.45° C.55 D.65° 3.(25-26七年级下陕西西安期中)探究不同情境，回答下面问题： 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 备用图 (1)如图1，∠A=55°，B0平分∠ABC,CO平分∠ACB,则LB0C=_度. ☒如图2,4：6，B0,Q0分别是∠48C,上4CB的=答分线（即∠08C-48C, ∠0CB-4CB)求∠50C的度数. (③在ABC中，B0,C0分别是∠ABC,∠ACB的n等分线（即∠OBC=上∠ABC,∠OCB=∠ACB), n 试说明∠BOC与∠A的关系. 4.(25-26七年级下·河北保定期中)如图，点D和点E分别在AB和AC上，∠ADE=∠DAE,∠ADE和 ∠AED的平分线交于点F. D x+26)°-26入C (1)求图中x的值. (2)求∠F的度数. 5.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期中)如图，在ABC中，∠A=70°，点D、E分别为AC、AB边上的点， BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD、CE相交于点O,若LACB=2LF,则LBDF=, E B 6.(25-26七年级下山西太原·期中)综合与探究 问题情境：数学课上同学们研究含30°锐角的直角三角尺夹在一组平行线中抽象出的数学问题.如图1， m∥n,点A,点B分别是直线m,n上的定点.连接AB,以AB为斜边作直角ABC,∠CAB=30°. 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m D m D C B 图1 图2 备用图 (1)如果∠EBC=2∠DAC. ①直接写出∠DAC的度数： ②如图2，若AB⊥FB,∠F=45°，试说明AF平分∠DAC. 深入思考： (2)BQ平分∠CBE交直线m于Q,角平分线BQ上一点H在直线m上方，G是射线AQ上一点（点G与 点Q不重合)，请直接写出∠CBQ,∠HGQ和∠GHQ之间的关系. 题型4双垂直模型 啸方法 双垂直模型 图例 ▣ D 结论 LB=∠DAC,∠C=∠BAD 1.(25-26八年级下·云南曲靖期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠BAC的角 平分线交CD于点E,交BC于点F,CM⊥AF于M,CM的延长线交AB于点N. D (I)求证：CE=CF; (2)若AC=6,BC=8,求CE的长. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下·吉林长春·期中)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35 D 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）， (I)求LEBC的度数： 解：(1)：CD⊥AB(己知)， .∠CDB= ZEBC ZCDB+ZBCD .∠EBC= 0+35°= (2)求∠A的度数， 解：(2)：∠EBC=∠A+ :ZA=ZEBC- (等式的性质). :∠ACB=90°（己知）， ∠A= 3.(25-26八年级上·上海松江期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，如果 ∠B=2∠BCD,那么∠A=· B D A 4.(25-26八年级上·山东德州月考)【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用 三种不同方式摆放一副三角板（在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC;在ADEF中，∠DEF=90°， ∠EDF=30°)，并提出了相应的问题 【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作 AM⊥DF,垂足为点M,过点C作CN⊥DF,垂足为点N,易证△ABM≌△BCN,若AM=2, CN=7,则MN=-; 【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时， 过点C作CP⊥DE,垂足为点P,猜想线段AE,PE,CP之间的数量关系，并说明理由； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若 BE=1,连接CE,求△BCE的面积. D B B B 图1 图2 图3 5.(2026七年级下·全国专题练习)如图，∠ACB=90°，CD是ABC的高，DE是△BDC的高， ∠A=3∠CDE.求∠B的度数. B C 6.(21-22七年级下·河南南阳月考)小明在学习三角形的内角和与外角和的过程中，发现了一个有趣的问 题，并对此进行了深入探究： G B 图1 图2 图3 (I)【习题回顾】已知：如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是AB边上的高，AE ,CD相交于点F.试说明：∠CFE=∠CEF. 请你帮助小明将推理过程及理由补充完整， 解：：∠ACB=90°，CD是AB边上的高， .∠B+∠CAB=90°，LACD+∠CAB=90°. .∠B=∠ ( :AE是角平分线， ∴.∠CAF=∠DAF. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LCFE=∠ +∠ACD, ∠CEF=LDAF+∠B( .LCFE=∠CEF. (2)【变式思考】如图2，在ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，ABC的外角LBAG的平分 线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC的延长线交于点E,若LB=40°，分别求∠CEF和 ∠CFE的度数， (3)【探究延伸】如图3，在ABC中，在AB边上存在一点D,使得∠ACD=∠B,AE平分∠BAC交 CD于点F,ABC的外角∠BAG的平分线AN的反向延长线与BC的延长线交于点M·若LM=35°， 求LCFE的度数， 题型5高分线模型 妹方法 高分模型 A 图例 E D OE平分∠BAC 结论 DAE-c-2) 1.(25-26七年级下·河南周口期中)如图，在ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=30°，∠C=70°， 则∠DAE的度数为() E D A.10° B.20° C.30° D.40° 2.(25-26七年级下·重庆期中)如图，在ABC中，AD,AE分别是ABC的高线和角平分线，己知 ∠BAC=2LB,∠B=5LDAE,则LC=°. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B DE 3.(25-26七年级下·吉林期中)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,AD是BC边上的高.∠BAC=80°， ∠C=72°，求∠DAE的度数. B D 4.(25-26七年级下·甘肃酒泉·期中)如图所示，在ABC中，∠B=38°，∠C=54°，AE是BC边上的高， AD是∠BAC的平分线.求∠DAE的度数 B DE 5.(25-26七年级下福建泉州期中)如图，在ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠DAE=15°， ∠C=65°，则∠B的度数为 B ED C 6.(25-26七年级下·陕西渭南期中)如图，在ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是ABC的高， AE是△ADC的角平分线： (I)求∠BAD的度数； (2)求∠AEC的度数. 题型6双内角平分线模型 / 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 妹方法 双内角平分线型 图例 OB平分∠ABC,OC平分∠ACB 结论 20=0心+片4 1.(25-26八年级下·河南安阳·期中)如图，四边形ABCD中∠D+∠C=210°，∠DAB与∠ABC的角平分 线交于点P,∠P= B 2.(25-26八年级下·广东清远期中)如图，已知B0、C0分别平分∠ABC和∠ACB,∠A=45°，则 ∠BOC的度数为· A 3.(25-26八年级下山西晋中期中)综合实践 在学习第一章《问题解决策略：反思》时，我们发现适当改变题目的条件，可以得到不同的结论.小华 受其启发，研究了三角形任意两个内角角平分线的夹角与第三个角之间的数量关系，以下是他的“思考 与反思”，请你帮他完成. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E B ② ③ 【经典回顾】 (I)如图①，在ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB. ①若LABC=70°，∠ACB=60°，则LB0C= ②用含有∠A的式子表示LB0C= 【典例微拓】 (2)如图②，在ABC中，在边AB、AC上任取点D、E,得到了四边形BDEC,思考四边形任意两个内 角角平分线的夹角与另两个角之间的数量关系，不妨设∠DEC=m°，∠C=n°，BO、DO分别平分四 边形BDEC的内角LABC、LBDE. ①若m=120,n=80,求∠BOD的度数： ②用含m、n的式子直接表示∠BOD的度数为 【深入反思】 (3)如图③，BO、CO分别平分LABC、LACB,射线CO与∠ADE的平分线所在的直线相交于点H(不 与点D重合)，直接写出点H在不同位置时，∠DHC与∠BOC之间满足的数量关系（用含m、n的式子 表示). 4.(25-26七年级下·上海嘉定·期中)如图，已知三角形ABC,连接BE,CE (1)当点E在三角形内部时， ①若∠A=40°，∠E=90°，如图1，则∠ABE+∠ACE= ②若LA=m°，∠E=n°，试用m、n表示LABE+∠ACE的度数. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当点E在三角形的外部时，∠A=m°，∠E=n°，∠ABE与∠ACE之间是否存在确定的数量关系？如 存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由. 5.(25-26七年级下·上海松江·期中)如图，在ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线0B、OC相交于点O. B (1)若∠A=70°，则∠B0C= (2)探究∠A与∠BOC的数量关系，并说明理由. 6.(25-26八年级下·贵州毕节期中)如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点0. B (1)若LA=52°，求∠B0C的度数； (2)把(1)中LA=52°这个条件去掉，试探索∠B0C和∠A之间有怎样的数量关系. 题型7双外角平分线模型 嫦方法 双外角平分线型 图例 OB平分∠DBC,OC平分∠ECB 结论 20=0-4 1.(25-26七年级下河南新乡·期中)如图，在ABC中，∠A=80°，BF平分外角∠CBD,CF平分外角 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCE,BG平分∠CBF,CG平分∠BCF,求LG的度数. 2.(25-26八年级下山西吕梁期中)项目主题；建筑物外角设计中的数学奥秘 项目背景：在城市规划与建筑设计中，我们常需要考虑建筑物边界与道路形成的角度.例如，一块四边 形地块ABCD相邻两条道路NA和MD,我们需在外部设置绿化带或排水沟，AE与DE就是这两个外角 区域的角平分线.工程师想知道在已知地块两个内角和的情况下，这两条角平分线的夹角∠E是多少？ 任务一模型初探（发现规律) 活动材料：绘制图①所示的四边形，其中∠1，∠2是四边形的一组相邻外角，∠5，∠6是相邻的两个内角. C 2 6 5 6 4 图① 图② 图③ 问题1：测量或推导 (1)观察图①中∠1，∠2与3，∠4之间存在怎样的数量关系？写出理由； (2)观察图②中∠1，∠2与∠3，∠4之间存在怎样的数量关系？直接写出来： 任务二应用建模 问题2：如图③，在四边形地块ABCD的外部，AE,DE分别是外角∠NAD与∠MDA的平分线. (3)已知地块的∠B+∠C=240°，请利用你发现的规律，求出∠E的度数 3.(25-26七年级下·吉林长春·期中)某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到三角形的 一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探索研究四边形的某两个外角和与它们不相邻的内 角之间的关系.己知：在四边形ABCD中，∠MBC和∠NDC是该四边形的两个外角，且∠A=, ∠C=B. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M M B B E B BOC AJa A50° 110◇ E D 图1 图2 图3 【结论探究】 (1)如图1，当a=50°，B=110°时，计算∠MBC+∠NDC= 【结论推导】 (2)如图1，观察猜想∠MBC+∠NDC与a、B之间的关系，并证明你的结论； 【结论应用】 若直线BE、DF分别平分四边形ABCD的外角∠MBC和∠NDC. (3)如图2，当直线BE∥DF时，试判断a、B之间的数量关系是 (4)当a=50°，B=110°时，若直线4从与直线BE重合的位置出发，以10°1s的速度绕点B顺时针旋转 180°，直线从与直线DF重合的位置出发，以5°/s的速度绕点D逆时针旋转90°，两条直线同时出发， 设旋转时间为t(单位：s),在运动过程中，请直接写出直线、1，相交所成的锐角为45°时t的值.（写 出2个即可) 4.(23-24七年级下·四川乐山期末)某同学在学习了角平分线内容后，对三角形内外角的角平分线问题进 行了深入的研究，他的研究过程如下： B 图1 图2 图3 【原问呈现】 (1)如图1，ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠P=: 【问题推广】 (2)如图1，ABC中，若∠A=0,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠P的度数； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，ABC中，∠BAC的角平分线与ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P,过点B作 BH⊥AP于点H,若∠ACB=8O°，求∠PBH的度数； (4)如图3，ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,M、N、Q分别在DB、DC、BC的 延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN,BF、CF分别平分LEBC、∠ECQ.若LF=n°，请 直接写出∠A的度数（结果用含n的代数式表示）. 5.(2025七年级下山东·专题练习)(1)如图①，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若 LA=80°，则∠P=;如图②，BM平分∠ABC,CM平分∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是_； 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角LEBC,CN平分外角∠FCB,请探索∠A与∠N之间的数量关系. (1 3 6.（25-26八年级上·安徽合肥期中)已知直线AB与CD相交于点O,点E,F分别在射线OB和0D上. D D D EB 图1 图2 图3 (I)如图1，∠BOD=60°，EP平分LOEF,FP平分LOFE,求∠EPF的度数； (2)如图2，EP平分LOEF,FG平分∠DFE,FG的反向延长线交EP于点P; ①若∠B0D=60°，则∠P=」 度（直接写出结果，不需说理）： ②若∠BOD=a°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）. (3)如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP,∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线 所在的直线分别相交于点P、Q,若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍；请直接写出∠OFE的度数. 题型8内外角平分线模型 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 啸方法 内外角平分线型 0 图例 C OB平分∠ABD,OC平分∠ACD 结论 <04 1.(25-26七年级下·四川成都期中)如图所示， ABC中，∠A=x°，BP,CP,BM,CM分别是 ∠ABC,∠ACD,∠PBC,∠PCB的平分线，则∠M的度数为 (结果用x表示) B 2.(25-26八年级下·河北保定期中)如图，在ABC中，∠A=80°. B B C D 图1 图2 (I)如图1，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠P的度数. (2)如图2，BQ平分∠ABC,CQ平分外角LACD,求∠Q的度数. 3.(25-26七年级下山东济南·期中)如图，BA和CA分别是ABC的内角平分线和外角平分线，BA,是 ∠ABD的角平分线，CA是∠ACD的角平分线，BA是∠ABD的角平分线，CA是∠ACD的角平分线， 若∠A,=a,则∠Ao26为 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B 5A3 D 4.(25-26八年级下江西景德镇期中)如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分 线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P= <1200 509 B C -M 5.(2026广东珠海一模)如图，已知ABC,∠A=60°，∠B的角平分线与∠C的外角角平分线交于点D ，则∠D=度. B 6.(24-25七年级下·上海浦东新期中)某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三 个内角的量关系”进行了探究： D B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,∠A=64°，则∠BPC= (2)如图2.ABC的内角∠ACB的平分线与ABC的外角∠ABD的平分线交于点E,其中∠A=a, 求LBEC= (用0表示)： (3)如图3，∠CBM、∠BCN为ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q,其中∠A=a·求 LBOC= (用表示)： (4)如图4，ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q,LA=64°，∠CBQ、∠BCQ的平分线交 于点P,则∠BPC= °；延长BC至点E,∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R,则 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠R=