2026届高考全国1卷数学模拟冲刺卷（1）

**基本信息** 2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（1），通过复数、集合、立体几何等知识，以古代方斗、教育技术培训等情境，考查数学眼光、思维与语言，适配三轮冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数运算、集合运算、解三角形、双曲线离心率|基础巩固，覆盖高频考点| |选择题（多选）|3/18|统计案例、函数零点、抛物线性质|能力提升，考查综合判断| |填空题|3/15|分段函数求值、正四棱台表面积（古代方斗）、数列乘积和|文化传承，空间观念应用| |解答题|5/77|解三角形（面积与中点）、立体几何（面面垂直与夹角）、函数单调性、统计案例（教育技术培训）、圆锥曲线（轨迹与三点共线）|创新应用，综合考查数学思维与语言，贴合高考命题趋势|

2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（1）（详解版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得，则. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式得，故， ，故， 所以，即. 3．直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 4．已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】如图，过点做轴于点. 由. 由为中点. 又，，所以，所以. 在中，. 在中，， 整理得：. 因为，所以. 又，所以. 即所求双曲线的离心率为2. 5．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 6．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（    ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质，先解出，进而得到，再利用等差数列求和公式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得或（舍去）， ，解得， ， ． 7．已知平面互相垂直，则下列正确的是（   ） A．若直线，则 B．若直线，则 C．内有无数条直线与平行 D．内的所有直线与都垂直 【答案】C 【分析】根据线面平行判定和面面平行判定，以及面面垂直判定，逐项判断，即可求得答案. 【详解】选项A：若，可能与相交，也可能在内，不一定有，A错误； 选项B：无法推出，可以平行或与相交或者垂直，B错误； 选项C：根据线面平行的判定定理，内所有平行于交线的直线都与平行，这样的直线有无数条，C正确； 选项D：内平行于交线的直线与平行，并非所有直线都垂直，D错误. 由图可知ABD错误. 8．定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合条件求导可得在上为减函数，由其单调性即可判断、、的大小关系. 【详解】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BD 【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5， 第百分位数是第5个数5，故A错误； 选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确； 选项C：独立性检验中，在的显著水平下， 无法判断与有关联，故C错误； 选项D：正态分布关于均值对称，， 已知，则， 由对称性可知， ，故D正确． 10．设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（    ） A．在必有有2个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点 C．在上单调递增 D．的取值范围是 【答案】BD 【分析】令，则，根据复合函数的单调性及图像综合判断即可． 【详解】解：依题意知， 由于在，有且仅有4个零点， 结合图像及单调性可得 ， ，故D对； 令，， 有1或2个极大值点， 结合复合函数的单调性知也有1或2个极大值点，故A错； 同理有2个极小值点， 所以有2个极小值点，故B对； 当时，， ， ， 递减， 根据复合函数单调性得递减，故C错； 故选：BD． 11．已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系求解. 【详解】对于，因为抛物线的准线方程为，已知点在准线上， 所以，解得，即，焦点.故正确； 对于，设过且斜率为的直线方程为， 联立抛物线方程，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 解得或，故错误； 对于，设，由抛物线定义，， 要判断，即， 两边平方， 化简得，即， 因为直线与抛物线有两个交点，所以直线与抛物线不相切，即， 所以成立，即，故正确； 对于，当时，是的中点，设，， 则，由韦达定理， 所以，解得（舍去），或，则， 则，由对称性，不妨令，则， 则由，得，故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，函数，若，则________ ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，代入即可逐层求解. 【详解】，所以， 所以， 故答案为： 13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为________平方分米． 【答案】 【分析】由棱台的体积公式求得棱台的高，进一步求得棱台的侧棱的长度，结合勾股定理以及梯形的面积公式即可求解. 【详解】 如图所示，高线为，由方斗的容积为28升， 可得，解得． 由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得，，， 侧面梯形面积为， 所以方斗的表面积为． 故答案为：. 14．已知 为正整数，有穷数列 中所有可能的乘积 的和记为 . 例如，当 时， . 数列 的前 项和为_____. 【答案】 【分析】根据已知求出，令，最后利用裂项相消求数列的前 项和即可. 【详解】根据题意有： ， 令，所以， 则的前 项和为，则有： 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换和二倍角公式可求得或，进而可求得A； （2）由题意可得，结合向量的数量积可得，由的面积为，可得，进而利用余弦定理可求解. 【详解】（1）因为， 所以根据正弦定理可得， 所以， 所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以，解得或， 又，所以； （2）若D为边上的中点，则， 所以， 又，所以，所以 因为的面积为，所以，所以， 所以， 由余弦定理可得， 所以. 16．（15分）如图，在斜三棱柱中，，，，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长，得出是的中位线，根据线面平行的判定定理结合中位线的性质即可证明. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据求出点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，最后根据平面与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】（1）连接，延长，因为斜三棱柱​中，侧面是平行四边形， 对角线与​互相平分，又是的中点，因此是的中点. 又因为是中点，所以在中，是中位线，故​， 又平面，平面，因此平面. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得： ，，， 设，由得， 是中点，故；是中点，故. 由​，得，代入解得，，即. 向量，. 设平面的法向量为. 由得， 取得，. 向量， . 设平面的法向量为. 由得， 取​得，. 设平面与平面的夹角为，则. 17．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若当时，，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导得，再构造函数，研究其性质得，进而得即可判断单调性； （2）根据题意得，进而转化为，再构造函数，研究其最大值即可求得答案. 【详解】（1）解：因为，定义域为， 所以， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增． （2）解：由，得，即， 因为在上单调递增， 所以，即， 设，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是． 18．（17分）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取200个教师的考试成绩，制作了如下的列联表： 教师 合格 不合格 合计 参加学校演练 90 10 100 没参加学校演练 70 30 100 合计 160 40 200 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联； (2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取8人的成绩，再从这8个数据中随机抽取3个做对比分析，记抽取的3个中没参加学校演练的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区1000名教师，记其中合格的人数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有关联 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据二阶列联表计算出值，再由独立性检验判定即可； （2）由题知的可能值有1，2，3，再由随机抽样计算出对应概率，写出分布列，计算期望即可； （3）由题可知，利用的值判断单调性，根据单调性即可求解. 【详解】（1）零假设为：考试合格与参加学校演练无关， 则， 故依据的独立性检验，参加学校演练与考试合格有关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 参加学校演练的有人，没参加学校演练的有6人， 从这8人中随机抽取3人，其中没参加学校演练的人数的可能值有1，2，3. 则． 故的分布列为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取的合格率为，故， 则， 由， 故由可解得，因，故当时，单调递增； 由可解得，即当时，单调递减． 故当事件“”的概率最大时，. 19．（17分）已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②16 【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹； （2）①设线段的中点为，利用向量证明，，三点共线，同理可证，，三点共线，进而可得结论； ②将转化为四边形面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【详解】（1）已知圆过点，且与相切，所以圆心到点与点到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线. 设抛物线方程为，则，所以，故. 所以曲线的方程为. （2）①设线段的中点为， 因为，所以可设，, 因为 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②设，，，，中点为，中点为， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线上） 因为，所以与面积相等，与面积相等； 所以等于四边形的面积， 设，， 直线：，即 整理得，直线：，又，所以， 同理，直线：，又，所以， 所以 所以四边形面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16，即的最大值为16. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届全国1卷高考数学模拟冲刺卷（1） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 5．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（    ） A．0 B．4 C．6 D．8 7．已知平面互相垂直，则下列正确的是（   ） A．若直线，则 B．若直线，则 C．内有无数条直线与平行 D．内的所有直线与都垂直 8．定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（   ） A．一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．设函数，已知在，有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（    ） A．在必有有2个极大值点 B．在有且仅有2个极小值点 C．在上单调递增 D．的取值范围是 11．已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（    ） A． B． C． D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，函数，若，则________ ． 13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为________平方分米． 14．已知 为正整数，有穷数列 中所有可能的乘积 的和记为 . 例如，当 时， . 数列 的前 项和为_____. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)若D为BC的中点，，的面积为，求a. 16．（15分）如图，在斜三棱柱中，，，，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若当时，，求的取值范围． 18．（17分）某地区对该地全体教师进行教育技术培训，培训分两步完成，第一步是线上培训，要求全体教师自主学完网上的教学内容，第二步是线下考试，成绩分为合格与不合格．为了确保考试通过，有的学校组织教师进行线下操作演练，考试结束后，抽取200个教师的考试成绩，制作了如下的列联表： 教师 合格 不合格 合计 参加学校演练 90 10 100 没参加学校演练 70 30 100 合计 160 40 200 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为考试合格与参加学校演练有关联； (2)现从表中不合格的教师成绩中，用分层随机抽样法抽取8人的成绩，再从这8个数据中随机抽取3个做对比分析，记抽取的3个中没参加学校演练的人数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该地区1000名教师，记其中合格的人数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：． 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 19．（17分）已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $