江苏苏州市太仓实验中学2025-2026学年下学期七年级数学第十一周滚动练习

**基本信息** 聚焦二元一次方程组，融合《九章算术》文化与租车、行程等生活情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|二元一次方程定义（第1题）、加减消元法（第4题）、几何应用（第8题）|结合《九章算术》盈不足术（第2题），考查概念辨析与方法选择| |填空题|8|参数方程（第9题）、自然数解（第12题）、平方差公式应用（第15题）|设计换元法解方程组（第13题），渗透整体思想| |解答题|11|方程组解法（第17题）、新定义运算（第22题）、租车方案优化（第23题）|设置观光车行程（第24题）、头盔购买（第26题）等真实问题，强化模型意识与应用能力|

2025-2026学年第二学期初一数学第十一周滚动练习 一．选择题（共8小题） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x+y＝1 B．x2+y2＝1 C．xy＝1 D． 2．《九章算术》中关于“盈不足术”的记载，其译文为：有几人去买鸡，每人出9钱，余11钱；每人出6钱，差16钱．问人数和鸡价各多少？设有x人买鸡，鸡的价格为y钱，根据题意，列出方程组（　　） A．B．C．D． 3．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（　　） A．x+y＝2 B．x+y＝﹣2 C．x+y＝6 D．x﹣y＝﹣6 4．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去y，可以将①×5+②×2； B．要消去x，可以将①×5+②； C．要消去y，可以将①×5+②×3； D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2。 5．已知关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4，则m的值为（　　） A． B．1 C． D． 6．在等式y＝kx+b中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2．则（　　） A． B． C． D． 7．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4 8．如图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（　　） A．33cm2 B．35cm2 C．45cm2 D．57cm2 第8题 二．填空题（共8小题） 9．已知方程（m﹣1）x|m|+y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　 　 ． 10．若是关于x，y的二元一次方程y＝kx+b的解，则代数式2（3k+b）+（b﹣3）的值是　 　 ． 11．把方程3x+5y﹣5＝0改写成用含x的式子表示y的形式　 　 ． 12．已知关于x，y的方程组，x，y都为自然数的解有　 　 对． 13．若方程组的解是，则方程组的解是　 　 ． 14．已知有理数a，b，c满足，则（a﹣b）2＝　 　 ． 15．已知方程组，则x2﹣y2＝　 　 ． 16．由方程组可得x，y的数量关系为 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．解下列方程组： （1）； （2）． 18．已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解； （2）若原方程组的解满足x+y＝0，求m的值． 19．已知关于x，y的方程组． （1）无论数m取何值，方程2x﹣y+my﹣5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解； （2）若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值． 20．已知关于x，y的二元一次方程（a+1）x+（3a﹣2）y+5﹣2a＝0，每取一个a的值，就得到一个方程． （1）若a＝1，判断是不是该方程的解； （2）是否存在方程的一组解使得这个方程的解与a的取值无关，若存在，请求出这组解；若不存在，请说明理由． 21．甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲正确地解出，乙因为把c看错而得到的解是，求出a，b，c的值． 22．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．例如，3*2＝3a+2b，2⊗1＝2a﹣b，已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4，则根据定义可以得到：． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若x*2y+x⊗y＝12，求x﹣y的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝7，求m的值． 23．学校安排192名学生外出研学，旅游公司有A，B两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 3 4 133 5 2 119 （1）求A，B两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； （2）公司现有A型和B型中巴车共10辆可以调配使用，已知每辆A型中巴车每天的租金500元，每辆B型中巴车每天的租金800元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆A型中巴车？ 24．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． （1）求观光车的车头与每节车厢的长度； （2）某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为T1秒，观光车全身都在隧道里的时间为T2秒，若T1+T2＝30，求隧道的长度． 25．有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 26．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，假如这些头盔全部售出，则购买　 　 个A种头盔和　 　 个B种头盔获得利润最大（请直接写出答案）． 27．已知关于x，y的方程组． （1）用含m的代数式表示x、y； （2）若方程组的解也满足方程2x+3y＝1，求m的值； （3）当a、b满足什么条件时，无论m取何值，ax+by+4﹣6a是个定值，并求出这个定值． 【答案】C 【分析】先求出二元一次方程组的解，用m表示出x，y，再代入3x+3y＝4计算即可． 【解答】解：方法1：，①×3﹣②×2得：5x＝﹣5m﹣5，解得：x＝﹣m﹣1③， 把③代入①得：y＝2m+2，∵关于x，y的方程组的解满足3x+3y＝4， ∴3（﹣m﹣1）+3（2m+2）＝4，解得：； 方法2：， ①+②得：5（x+y）＝5（m+1），解得：x+y＝m+1， ∵3x+3y＝4，∴x+y＝，∴m+1＝，解得：；故选：C． 【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，注意正确计算． 6．在等式y＝kx+b中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2．则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列得关于k，b的方程组，解方程组即可． 【解答】解：在等式y＝kx+b中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2， 则，解得：，故选：C． 【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 7．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（　　） A．1，2 B．5，1 C．2，3 D．2，4 【答案】B 【分析】把x＝2代入x+y＝3中求出y的值，确定出2x+y的值即可． 【解答】解：∵方程组的解为，∴把x＝2代入x+y＝3中，解得：y＝1， 把x＝2，y＝1代入得：2x+y＝4+1＝5，则被遮盖的两个数分别为5，1．故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 8．如图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（　　） A．33cm2 B．35cm2 C．45cm2 D．57cm2 【答案】D 【分析】通过设形状大小相同长方形的长宽为x，y，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案． 【解答】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为x，y． 由题意可得：，解得．所以长方形ABCD的宽为：x+y＝11， 长方形ABCD的面积为：15×11＝165，六个形状大小相同的长方形的面积和为：6×2×9＝108， 阴影部分的面积是：165﹣108＝57，故选：D． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．已知方程（m﹣1）x|m|+y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值是　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程，由此解答即可． 【解答】解：根据题意得|m|＝1且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了二元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 10．若是关于x，y的二元一次方程y＝kx+b的解，则代数式2（3k+b）+（b﹣3）的值是　6　 ． 【答案】6． 【分析】将已知解代入方程y＝kx+b中并整理，然后把原式计算后代入数值计算即可． 【解答】解：若是关于x，y的二元一次方程y＝kx+b的解，则3＝2k+b， 2（3k+b）+（b﹣3）＝6k+2b+b﹣3＝6k+3b﹣3＝3（2k+b）﹣3＝3×3﹣3＝6，故答案为：6． 【点评】本题考查二元一次方程的解，理解其意义是解题的关键． 11．把方程3x+5y﹣5＝0改写成用含x的式子表示y的形式　　 ． 【答案】．【分析】先移项，再系数化为1即可． 【解答】解：3x+5y﹣5＝0，5y＝﹣3x+5， ∴把方程3x+5y﹣5＝0改写成用含x的式子表示y的形式为：．故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 12．已知关于x，y的方程组，x，y都为自然数的解有　3　 对． 【答案】3． 【分析】先由加减消元法得到y＝4﹣2x，再枚举求解即可． 【解答】解：，①×2+②得，2x+4y+4x﹣y＝12﹣6a+6a，6x+3y＝12，y＝4﹣2x， 当x＝0时，y＝4，符合题意；当x＝1时，y＝2，符合题意；当x＝2时，y＝0，符合题意； 当x＝3时，y＝﹣2，不符合题意；综上所述，当x继续往后取自然数时，y值均小于0，不符合题意． ∴x，y都为自然数的解有3对．故答案为3． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 13．若方程组的解是，则方程组的解是　　 ． 【答案】． 【分析】先把已知解代入原方程组求出c1与c2的关系，再将新方程组变形，用换元法转化为原方程组的形式求解． 【解答】解：已知方程组的解是，代入得：，即：， 将新方程组变形，把c1，c2代入：，， 化简得：，两式相减，得：（a1﹣a2）x＝0， ∵a1≠a2（否则原返程组无解或无数解，与已知矛盾），∴x＝0， 将x＝0代入a1x+y＝﹣3，得y＝﹣3，∴新方程组的解是．故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解的灵活应用，熟练掌握换元法和方程变形技巧是解题的关键． 14．已知有理数a，b，c满足，则（a﹣b）2＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】令a﹣b＝x，b﹣c＝y，则c﹣a＝﹣（x+y），整体代入第一个方程化简求出y＝﹣2x，进而求出b﹣c＝y＝﹣2x，c﹣a＝x，然后整体代入第二个方程化简求出x2＝1，即可求解． 【解答】解：令a﹣b＝x，b﹣c＝y，则c﹣a＝﹣（x+y），代入第一个方程化简解得y＝﹣2x， ∴b﹣c＝y＝﹣2x，c﹣a＝﹣（x+y）＝x，代入第二个方程化简解得x2＝1，∴（a﹣b）2＝1．故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 15．已知方程组，则x2﹣y2＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】把方程①+②求出x+y，方程①﹣②求出x﹣y，再利用平方差公式分解所求式子，最后把x+y，x﹣y的值代入进行计算即可． 【解答】解：，①+②得：4x+4y＝4，x+y＝1，①﹣②得：2x﹣2y＝10，x﹣y＝5， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝1×5＝5，故答案为：5． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组． 16．由方程组可得x，y的数量关系为 　4x+9y＝18　 ． 【答案】4x+9y＝18． 【分析】利用加减消元法消去t后整理即可． 【解答】解：，①×2+②×3得：4x+9y＝18，故答案为：4x+9y＝18． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 三．解答题（共11小题） 17．解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：（1）原方程组整理得：， ①×2+②得：9x＝﹣45，解得：x＝﹣5，将x＝﹣5代入①得：﹣5+2y＝﹣2，解得：y＝1.5， 故原方程组的解为； （2）， ①+②得：8x＝16，解得：x＝2，将x＝2代入②得：10+4y＝2，解得：y＝﹣2， 故原方程组的解为． 【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 18．已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程x+2y＝5的所有正整数解； （2）若原方程组的解满足x+y＝0，求m的值． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入m﹣2y+mx+9＝0，再求解m的值即可． 【解答】解：（1）方程x+2y＝5的所有正整数解：或； （2）由题意得，解得，∴m﹣2×5﹣5m+9＝0，解得． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 19．已知关于x，y的方程组． （1）无论数m取何值，方程2x﹣y+my﹣5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解； （2）若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值． 【答案】（1）；（2）m＝1或m＝3． 【分析】（1）由固定的解与m无关，可得y＝0，代入可得固定的解； （2）求出方程组中y的值，根据恰为整数，m也为整数，可确定m的值． 【解答】解：（1）根据题意，把方程2x﹣y+my﹣5＝0整理得（2x﹣y﹣5）+my＝0， ∵无论数m取何值，方程2x﹣y+my﹣5＝0总有一个固定的解，∴y＝0且2x﹣y﹣5＝0， 解得：，即固定的解为； （2）方程组，①﹣②得：2y﹣my﹣1＝0，∴（2﹣m）y＝1，∴， ∵y恰为整数，m也为整数，∴2﹣m＝1或2﹣m＝﹣1，故m＝1或m＝3． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 20．已知关于x，y的二元一次方程（a+1）x+（3a﹣2）y+5﹣2a＝0，每取一个a的值，就得到一个方程． （1）若a＝1，判断是不是该方程的解； （2）是否存在方程的一组解使得这个方程的解与a的取值无关，若存在，请求出这组解；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是；（2）存在，． 【分析】（1）将a＝1代入原方程整理得：2x+y+3＝0，再将x＝4，y＝﹣2代入方程判断即可； （2）将原方程整理得a（x+3y﹣2）+（x﹣2y+5）＝0，若解与a取值无关，则需要同时满足：，解答即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，把a＝1代入原方程得，2x+y+3＝0， 将x＝4，y＝﹣2代入方程2x+y+3＝0得，2×4+（﹣2）+3＝9≠0，∴不是方程的解； （2）将原方程（a+1）x+（3a﹣2）y+5﹣2a＝0按含a的项整理：a（x+3y﹣2）+（x﹣2y+5）＝0， 若解与a取值无关，即不论a取何值等式恒成立， 【点评】（1）本题考查新定义运算与二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键； （2）本题考查新定义运算的化简与整体求值，熟练掌握新定义的运算规则和整体代换思想是解题的关键； （3）本题考查新定义方程组与含参数方程的综合应用，熟练掌握方程组的解法和参数求解方法是解题的关键． 23．学校安排192名学生外出研学，旅游公司有A，B两种型号的中巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 3 4 133 5 2 119 （1）求A，B两种型号的中巴车满载时可乘载人数分别为多少； （2）公司现有A型和B型中巴车共10辆可以调配使用，已知每辆A型中巴车每天的租金500元，每辆B型中巴车每天的租金800元． ①请通过计算说明学校共有几种租车方案（要求两种车都要租）； ②当总租车费用最少时，求租了多少辆A型中巴车？ 【答案】（1）A种型号的中巴车满载时可乘载15人，B种型号的中巴车满载时可乘载22人； （2）①4种；②租了4辆A型中巴车时，总租车费用最少． 【分析】（1）设A种型号的中巴车满载时可乘载x人，B种型号的中巴车满载时可乘载y人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设租用m辆A型中巴车，则租用（10﹣m）辆B型中巴车，根据题意列出不等式组，求得整数解，即可求解． ②设当租了m辆A型中巴车时，总租车费用为w元，根据一次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）设A种型号的中巴车满载时可乘载x人，B种型号的中巴车满载时可乘载y人， 根据题意得：，解得：， 答：A种型号的中巴车满载时可乘载15人，B种型号的中巴车满载时可乘载22人； （2）①设租用m辆A型中巴车，15m+22（10﹣m）≥192，解得：m≤4，两种车都要租， ∴m＞0，10﹣m＞0，且m为正整数，∴m＝1，2，3，4，∴学校共有4种租车方案； ②每辆A型中巴车每天的租金500元，每辆B型中巴车每天的租金800元． 设租了m辆A型中巴车，总租车费用为w元，w＝500m+800（10﹣m）＝﹣300m+8000， ∵﹣300＜0，∴m越大，w越小，由①可知，m最大取4， ∴租了4辆A型中巴车时，总租车费用最少． 【点评】本题考查二元一次方程组，正确进行计算是解题关键． 24．某景区的一列观光车由1节车头和若干节长度相同的观光车厢组成．观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒． （1）求观光车的车头与每节车厢的长度； （2）某日，该列观光车挂若干节长度相同的观光车厢，以8米/秒的速度匀速通过景区隧道，已知车身总长度小于隧道长度，记观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为T1秒，观光车全身都在隧道里的时间为T2秒，若T1+T2＝30，求隧道的长度． 【答案】（1）观光车的车头的长度为4米，每节车厢的长度为8米； （2）隧道的长度为120米． 【分析】（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米，根据观光车挂7节车厢时，以12米/秒的速度通过景区检票打卡点，用时5秒；挂12节车厢时，以10米/秒的速度通过该打卡点，用时10秒；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米，根据观光车的车头进入隧道到车尾驶出隧道的时间为T1秒，观光车全身都在隧道里的时间为T2秒，列出方程组，即可解决问题． 【解答】解：（1）设观光车的车头的长度为x米，每节车厢的长度为y米， 由题意得：，解得：， 答：观光车的车头的长度为4米，每节车厢的长度为8米； （2）设隧道的长度为a米，观光车身总长度为b米， 由题意得：，①+②得：2a＝8（T1+T2）＝8×30＝240，解得：a＝120， 答：隧道的长度为120米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 25．有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4． （1）求a，b的值； （2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值； （3）若关于x，y的方程组的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值； （4）若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】（1）；（2）x＝5；（3）． 【分析】（1）利用新定义列出关于a、b方程组，解方程组求出a、b的值． （2）将a、b的值代入x*y+x⊗y＝10转化为x的一元一次方程，解方程求出x的值． （3）将a、b的值代入，得出关于x、y的方程组，消去m，再与x﹣y＝6组成新的方程组，求出x、y的值，再求出m即可． （4）将代入⊗得出新的方程组，整体代入得出新方程组的解． 【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2⊗1＝4，∴．∴． （2）由题意，∵x*y+x⊗y＝10，∴ax+by+ax﹣by＝10．∴2ax＝10．又∵a＝1，∴x＝5． （3）由题意，方程组可化为，∴． 又∵x﹣y＝6，∴4+3m﹣m+2＝6．∴m＝0． （4）由题意，∵方程组可化为，而方程组可化为， 即，又方程组的解为， ∴．∴．∴方程组的解为． 【点评】二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解题时要熟练掌握新定义运算，并准确计算是关键． 26．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元（请列方程组求解）； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $