第十一章 立体几何初步（复习课件）数学人教B版必修第四册

该高中数学单元复习课件系统梳理了立体几何初步的核心内容，涵盖空间几何体、点线面位置关系、平行与垂直关系、空间角与距离等知识模块。通过单元知识图谱将多面体与旋转体的结构特征、表面积体积公式，以及线线、线面、面面间的判定与性质定理有机串联，构建起“概念-定理-应用”的逻辑脉络，帮助学生形成完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如斜二测画法中通过实例还原直观图并推导面积关系，培养学生的空间观念与几何直观（数学眼光）。题型设计分层明显，从基础判断到综合证明题，如证明线面平行时结合中位线定理与性质定理推理，发展逻辑推理能力（数学思维）。这种设计既让学生巩固知识，又帮助教师精准定位复习重点，提升教学效率。

单元复习课件 第十一章 立体几何初步 人教B版必修第四册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过实例进一步掌握平面的基本事实与推论，用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题； 通过实例进一步掌握空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用，掌握空间问题和平面问题的转化； 通过实例进一步掌握空间中线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用，掌握空间问题和平面问题的转化。 2.空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用、线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用。 3.空间问题和平面问题的转化。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：斜二测画法 1、用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 横不变、纵减半，平行性和重合性不改变. 考点串讲 考点一：斜二测画法 2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤： （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 考点串讲 考点一：斜二测画法 💡 面积换算关系： （1）； 3、直观图的几何意义 将空间几何体在平面上进行“透视投影”，在保持平行关系不变的同时，通过改变角度和比例来模拟立体感。 考点串讲 考点二：空间点、直线、平面的位置关系 图形语言 文字语言 符号语言 在 上 在 外 在 内 在 外 点与直线 点与平面 考点串讲 · 考点二：空间点、直线、平面的位置关系 图形语言 文字语言 符号语言 β 与 平行 相交于 与 异面 直线与直线 或 l m γ β 考点串讲 考点二：空间点、直线、平面的位置关系 图形语言 文字语言 符号语言 与 平行 相交于 相交于 与 平行 直线与平面 平面与平面 在 内 考点串讲 考点三：空间几何体 多 面 体 旋转体 空间几何体 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆台 圆锥 球 考点串讲 考点三：空间几何体 1．棱柱的结构特征 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 分类 • 按边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱... • 按侧棱关系：斜棱柱(不垂直) /直棱柱(垂直) /正棱柱(底面正多边形的直棱柱) •底面：两个互相平行的面。 •侧面：其余各面，均为平行四边形。 •侧棱：相邻侧面的公共边，互相平行且相等。 结构特征 六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 考点串讲 考点三：空间几何体 2．棱锥的结构特征 定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 特殊棱锥 正棱锥：底面为正多边形且顶点在底面射影是中心。各侧棱长相等，侧面是全等的等腰三角形。 正四面体：各棱长都相等的三棱锥。 底面：多边形面。侧面：有公共顶点的各个三角形面。 顶点：各侧面的公共顶点。侧棱：相邻侧面的公共边，相交于顶点。 结构特征 棱锥的表示：棱锥 棱锥的顶点 棱锥的侧棱 D A B C E S 棱锥的侧面 棱锥的底面 考点串讲 考点三：空间几何体 3．棱台的结构特征 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，称为棱台。 •上/下底面：原棱锥的截面与底面，互相平行且相似。 •侧面：均为梯形，是除上下底面外的其余各面。 •侧棱：相邻侧面的公共边，延长后必相交于一点。 结构特征 • 两个底面是相似的多边形，且互相平行。 • 所有的侧棱都相交于原棱锥的顶点。 • 各侧面都是全等或不全等的等腰梯形（正棱台）或普通梯形。 关键性质 考点串讲 考点三：空间几何体 4．圆柱、圆锥、圆台的结构特征 圆柱 (Cylinder) 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 特征：两底面平行且全等，母线平行且相等。 圆锥 (Cone) 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。 特征：一个圆形底面，母线相交于顶点。 圆台 (Frustum of a Cone) 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。 特征：两底面平行但不等，母线延长后相交于一点。 考点串讲 考点三：空间几何体 5．球的结构特征 直径 球心 球O A B C 半径 半径 D 💡 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体。球具有完美的中心对称性。 🔑 结构特征 •球心：旋转轴的中点，是球体的对称中心。 •半径：球心到球面上任意一点距离相等。 •截面：任何平面截球得圆面。 •公式：r² + d² = R² 📌 关键概念 •球的大圆：过球心的截面圆，是球面上最大的圆。如：地球的赤道。 •球的小圆：不过球心的截面圆。 考点串讲 考点三：空间几何体 6．简单组合体的结构特征 (1)组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； (2)常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合．  ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体． 考点串讲 考点三：空间几何体 ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． 6．简单组合体的结构特征 如上图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． 考点串讲 考点三：空间几何体 6．简单组合体的结构特征 ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 考点串讲 考点三：空间几何体 7．空间几何体的表面积和体积 棱柱 Prism 表面积:S表 = S侧 + 2S底 体　积:V = S底 × h (高) 棱锥 Pyramid 表面积:S表 = S侧 + S底 体　积:V = × S底 × h 棱台 Frustum 表面积:S表= S侧 + S上底 + S下底 体　积:V = h(S₁ + S₂ + ) 圆柱 Cylinder 表面积:S = 2πr(r + l) 体　积:V = πr²h (r: 底半径) 圆锥 Cone 表面积:S = πr(r + l) 体　积:V = πr²h 圆台 Truncated Cone 表面积:S = π(r² + R² + rl + Rl) 体　积:V = πh(r² + R² + rR) 球体 Sphere 三维空间中最完美的几何体 表面积 Surface Area S = 4πR² 体积 Volume V = πR³ 考点串讲 8．几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． 考点三：空间几何体 考点串讲 （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． 考点三：空间几何体 8．几何体中的计算问题 （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 考点串讲 考点四：平面的基本事实与推论 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 考点串讲 考点四：平面的基本事实与推论 1.证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．　　　　 2．证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上． 考点串讲 3．证明三线共点的步骤 (1)首先说明两条直线共面且交于一点； (2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交； (3)得到交线也过此点，从而得到三线共点. 考点四：平面的基本事实与推论 考点串讲 考点五：空间中点、线、面的位置关系 1.直线与直线 相交 平行 异面 有且只有一个公共点 没有公共点 没有公共点 考点串讲 b 直线在平面内 直线与平面平行 直线在平面外 a∥α 直线与平面相交 a⊂α a∩α=A a a α α α 2.直线与平面 考点五：空间中点、线、面的位置关系 没有公共点 有且只有一个公共点 有一条公共直线 a⊄α 考点串讲 考点五：空间中点、线、面的位置关系 3.平面与平面 相交 平行 α∥β 没有公共点 有一条公共直线 考点串讲 考点六：空间中的平行关系| 判定与性质 ▍ 线面平行 (Line-Plane Parallelism) 🔍 判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行 ⇒ 线面平行 ✨ 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行 ⇒ 线线平行 ▍ 面面平行 (Plane-Plane Parallelism) 🔍 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 线面平行 ⇒ 面面平行 ✨ 性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。 面面平行 ⇒ 线线平行 考点串讲 考点六：空间中的平行关系| 判定与性质 1.证明线线平行的方法 (1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行． (2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (3)线面平行的性质定理： ⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行． 2.证明直线与平面平行的方法 (1)线面平行的判定定理； (2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 3.平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.　　　 考点串讲 考点七：空间中的垂直关系| 判定与性质 ▍线面垂直 Line-Plane Perpendicularity 💡 判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 转化逻辑：线线垂直 ⇒ 线面垂直 📐 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 ▍面面垂直 Plane-Plane Perpendicularity 💡 判定定理： 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 转化逻辑：线面垂直 ⇒ 面面垂直 📐 性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。 (面面垂直 ⇒ 线面垂直) 面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 符号语言：a ⊂α，a⊥β，则α⊥β。 a 简记：线面垂直 面面垂直 考点串讲 考点七：空间中的垂直关系| 判定与性质 线线、线面垂直问题的解题策略 (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面． (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．　 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面. 考点串讲 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略 (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 考点八：球与几何体的切、接问题 ∴r内切:r棱切:r外接=1:: 考点串讲 考点九：空间角 1．异面直线所成的角 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求.　 考点串讲 2．直线与平面所成的角 求直线与平面所成角的一般步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线． (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角． (3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． 考点九：空间角 考点串讲 考点九：空间角 解决二面角问题的策略 (1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． (2)求二面角的大小的方法： 一作：即先作出二面角的平面角； 二证：即说明所作角是二面角的平面角； 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． 3．二面角 考点串讲 考点十：空间距离 一.空间距离包括空间内任意两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两个平行平面的距离，其中两点间距离和点到直线的距离可以用两点间距离公式处理；点到平面的距离、直线到平面的距离以及两个平行平面的距离都可以转化为点到平面的距离. 二.求距离的方法 求距离的关键是化归，即应用各种距离之间的转化关系和"平行移动"的思想方法，将空间距离向平面距离化归. 求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形. 2. 求点到面的距离 （1）定义法，由线面垂直定义或面面垂直性质，直接作出点到平面的垂线、垂线段的长度就是点到面的距离.通常要借助某个直角三角形求解. 考点串讲 考点十：空间距离 （2）当该点作已知平面的垂线不易作出时，利用线面平行的位置关系，可转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后再计算. （3）等体积转化法．利用棱锥，一般是三棱锥的底面与顶点的轮换性，转化为三棱锥的高．例如在三棱锥A-BCD中，若求点A到平面BCD的距离。可先求V A-BCD  A B D C 因为V A-BCD = 其中V=VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC，转换原则是V易求. 考点串讲 若平行四边形A’B’C’D’是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABCD的直观图.已知A’B’=4，∠D’A’B’=45°，平行四边形A’B’C’D’的面积为8，则原平面图形ABCD中AD的长度为 . 题型一、与直观图还原有关的计算问题 例1 解： 分析：将直观图按斜二测画法还原成矩形。 如图，过点D’作D’E⟂A’B’于点E, 则∆A’ED’为等腰直角三角形， 由平行四边形A’B’C’D’的面积为8得A’B’·D’E=8， ∵A’B’=4，∴D’E=2，∴A’D’= ∴原平面图形ABCD中，∠DAB=90°，AD=2A’D’= 题型剖析 规律方法　 直观图中“变”的量与“不变”量 (1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变； (2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)； (3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化． 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变. 题型一、与直观图还原有关的计算问题 题型剖析 A． B. C. D. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形ABCD的直观图为梯形A’B’C’D’，其中A’B’//C’D’，A’B’⟂B’C’，A’B’=4，D’C’=2， 以原四边形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几何体体积为（   ） 练习1： 解： 由题意，A’B’//C’D’，A’B’⟂B’C’，A’B’=4，D’C’=2，所以A’D’= D 题型一、与直观图还原有关的计算问题 如下图，原图形ABCD中，AB//CD，AB⟂AD，AB=4，DC=2， 题型剖析 题型一、与直观图还原有关的计算问题 AD=2A’D’= 所以以直角梯形ABCD的边 AD 为轴旋转一周得到的几何体为圆台， 故选：D 题型剖析 练习2： 【多选题】已知水平放置的正方形的边长为利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形ABCD，则（     ） A．∠ACB的最小值小于15° B.∠BDC的最大值小于90° C. |AC|的最小值大于2 D. |BD|的最大值大于4 AC 题型一、与直观图还原有关的计算问题 分析：作出原图和直观图，如图。 x y O x’ y’ (O’) D A B C 题型剖析 题型一、与直观图还原有关的计算问题 解： x’ y’ (O’) B D A C 故选：AC 对于AB选项，考虑正方形的一条边与x’轴重合，由斜二测画法的性质， 另一条边与y’轴重合，如图所示， 过点A、D作BC的垂线，则θ1=θ2=45°， θ1 θ2 θ3 AB=CD=,BC=AD=,∠ACB+∠CAB=θ1=45° tan∠ACB=，故∠ACB的最小值小于15° tanθ3=， 故∠ABD的最大值大于90° 对于CD选项，由余弦定理|AC|= 故A正确，B错误； 同理|BD|= 故C正确，D错误； 题型剖析 题型二、简单几何体的特征 例2 下列说法中不正确的是（    ） A．三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．平行的线段在直观图中仍然平行 D．在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面 D 【分析】根据棱锥的定义判断A，根据平行六面体的定义判断B，根据斜二测画法判断C，根据基本事实判断D. 题型剖析 1.棱柱的两个主要结构特征： ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形． 通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”． (2)有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面． 规律方法　 题型二、简单几何体的特征 2．棱锥的两个本质特征 (1)有一个面是多边形； (2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 题型剖析 3．正确认识棱台的结构特征 (1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形； (2)侧面都是梯形； (3)侧棱延长线必交于一点． 注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．棱台还可按底面多边形的边数进行分类． 题型二、简单几何体的特征 注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类． 规律方法　 题型剖析 题型二、简单几何体的特征 练习3: 下列几何体中，顶点个数最少的是（    ） A．四棱锥 B．长方体 C．四棱台 D．四面体 解：四棱锥有5个顶点，长方体和四棱台有8个顶点，四面体有4个顶点．故选：D D 练习4: A．圆柱的轴截面是矩形 B．圆锥的轴截面是等腰三角形 C．所有空间几何体都是多面体 D.有些三棱锥的四个面都是直角三角形 C 【分析】对于A，由圆柱的性质判断，对于B，由圆锥的性质判断，对于C，举例旋转体判断，对于D，举例鳖臑判断. 下列说法不正确的是（    ） 题型剖析 已下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 练习5: C 题型二、简单几何体的特征 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 题型剖析 题型二、简单几何体的特征 给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 练习6: B 题型剖析 题型二、简单几何体的特征 【分析】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 题型剖析 练习7: 下列说法正确的是（    ） A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B．直四棱柱是长方体 C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 解： D A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意； B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 故选：D． 题型二、简单几何体的特征 题型剖析 碗是人们日常必需的饮食器皿，碗的起源可追溯到新石器时代泥质陶制的碗，其形状与当今无多大区别，即口大底小，碗口宽而碗底窄，下有碗足．如图所示的一个碗口直径为9.3cm，碗底直径为3.8cm，高4cm，它的形状可以近似看作圆台，则其侧面积约为（    ） A．27π B．30π C．32π D．36π 题型三、几何体的表面积与体积 例3   分析：根据圆台的侧面积公式运算求解即可. 由题意可知：碗口半径为4.65cm，碗底半径为1.9cm， 可知母线为4.65−1.92+42=23.5625≈4.9cm， 所以其侧面积约为π4.65+1.9×4.9=32.095π≈32πcm2. 故选：C. C 解： 题型剖析 规律方法　 1.求棱柱、棱锥、棱台的表面积的基本步骤: (1)清楚各侧面的形状，求出每个侧面的面积． (2)求出其底面的面积． (3)求和得到表面积． 注意：组合体的表面积应注意重合部分的处理．　　　　 题型三、几何体的表面积与体积 题型剖析 题型三、几何体的表面积与体积 规律方法　 2.求几何体体积的常用方法 题型剖析 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. 4.球的表面积(体积)与半径之间的函数关系 S球＝4πR2　V球＝πR3. 规律方法　 题型三、几何体的表面积与体积 题型剖析 练习8: 【分析】设四棱锥P−ABCD的体积为V，取PD的中点N，连接MN、AN、BD、BN，即可得到ABMN为截面，再根据锥体的体积公式得到VP−ABMN=V，从而得解. 解： 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，M为PC的中点，平面ABM截得四棱锥上、下两部分的体积比为 . 设四棱锥P−ABCD的体积为V，取PD的中点N，连接MN、AN、BD、BN， 因为M为PC的中点，所以MN//DC且MN=DC，又AB//DC， 所以MN//AB，S△PMN=S△PDC，所以A、B、M、N四点共面，即ABMN为截面， 题型三、几何体的表面积与体积 3:5 N· 题型剖析 又VP−ABMN=VP−ABN+VP−BMN，其中VP−ABN=VB−PAN=VB−PAD=V， VP−BMN=VB−PMN=VB−PCD=V， 所以VP−ABMN=V， 即截面截得四棱锥上部分的体积为V，则下部分的体积为V， 所以平面ABM截得四棱锥上、下两部分的体积比为3:5. 故答案为：3:5 题型三、几何体的表面积与体积 题型剖析 题型三、几何体的表面积与体积 练习9: 已知正三棱台ABC-A1B1C1的上底面边长A1B1=2，下底面边长AB=6，侧棱A1A与底面ABC所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（    ） A． B.52 C. D. B 【分析】：将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，得到∠PAO即为棱A1A与底面ABC所成的角，再由棱台的体积公式求解即可. 解： 如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC 则A1A与底面ABC所成的角即为PA与底面ABC所成的角 设点P在平面ABC上的射影为O，在平面A1B1C1上的射影为O1 题型剖析 题型三、几何体的表面积与体积 则O为△ABC的中心，O1为△A1B1C1的中心 则∠PAO为棱A1A与底面ABC所成的角，而tan∠PAO=3 由等边三角形的性质得O1A1=，OA= 故tan∠PAO= ∴PO1=3A1O1=，PO=3AO= ∴棱台的高为OO1= ∵正三棱台ABC-A1B1C1的上底面边长A1B1=2，下底面边长AB=6 ∴=，= 故选：B 则棱台的体积V= 题型剖析 练习10: 题型三、几何体的表面积与体积 已知在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为4cm的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心O（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（    ） A.cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【分析】：根据球的体积公式即可求解. A 题型剖析 题型三、几何体的表面积与体积 解： 显然，球形冰块内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，如图， 作OD⊥AC，垂足为D，则球的半径r=OD=4， 此时OA=2r=8，水面半径R=OC=8×tan30°=， 设加入小球后水面以下的体积为V'，原来水的体积为V，球的体积为V1， 所以水的体积为V=V'−V1=π()2×8−π×43=. 故选：A 题型剖析 题型四、展开图的最短路径问题 已知正三棱柱的底面边长为2，高为5，一质点从A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线长为（    ） 例4 A． B.10 C. D.13 D 解： 因由已知，需绕三棱柱的侧面绕行两周， 则将三棱柱沿A1A展开，并沿底边扩大2倍，如图所示， 则展开图是以2×3×2=12，5为高的矩形， 故选：D 【分析】：根据侧面展开图可得最短距离. 则最短路径即为其对角线长为 题型剖析 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤： (1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图； (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； (3)结合已知条件求得结果．　　　 . 规律方法： 题型四、展开图的最短路径问题 题型剖析 如图圆柱的底面周长是10cm，圆柱的高为12cm，BC为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点A处爬到上底面点B处，那么它爬行的最短路程为（    ） 练习11: 题型四、展开图的最短路径问题 A．10cm B.11cm C.12cm D.13cm D 【分析】：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB'，利用勾股定理计算出即可． 题型剖析 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'， 则蚂蚁爬行的最短路径为AB'， 如图，由题意可知AC=12，CB'=5， 在直角三角形ACB'中，由勾股定理得AB'=， 所以它爬行的最短路程为13cm， 故选：D 题型四、展开图的最短路径问题 解： 题型剖析 如图，在多面体ABCDEFGH中，四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，四边形ABGF和四边形ADEF均为梯形，其中AB//FG，AD//FE，且AB=2FG． 题型五、共面与共线问题 例5 (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：AF,BG,DE三条直线交于一点. 【分析】：（1）作出辅助线，利用平行的传递性证明GE//BD，进而可得四点共线； （2）延长AF,BG，设它们交于一点S，由已知可得△SFG~△SAB，则，同理可得，则S和Q是同一个点，所以三条直线交于一点. 题型剖析 题型五、共面与共线问题 证明：(1)如图，取AB,AD的中点分别为S,T，连接GS,ST,ET，则ST//BD， 因为四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，AB=2FG，且AB//FG，AD//EF， 所以四边形FGSA,FETA均为平行四边形，即GS//FA//ET，GS=FA=ET， 所以四边形GETS为平行四边形，所以GE//ST，所以GE//BD， 所以B，D，E，G四点共面. 题型剖析 题型五、共面与共线问题 证明：(2)延长AF,BG，设它们交于一点S， 因为AB//FG，且AB=2FG， 所以△SFG~△SAB，则， 同理，延长AF,DE，设它们交于一点Q， 因为四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，AB=2FG，则AD=2EF，又AD//EF， 所以△QEF~△QAD，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线AF,BG,DE交于一点. 题型剖析 规律方法:　 1.证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”； (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”； (3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．　　　　 题型五、共面与共线问题 题型剖析 2．证明三点共线的方法 (1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上． (2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上． 3．证明三线共点的步骤 (1)首先说明两条直线共面且交于一点； (2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交； (3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．. 规律方法:　 题型五、共面与共线问题 题型剖析 练习12: 在图示正方体中，O为BD的中点，直线A1C∩平面C1BD=M，下列说法错误的是（   ） A．A，C，C1，A1四点共面 B．C1，M，O三点共线 C．M∈平面BB1D1D D．A1C与BD异面 C 解：对于A选项，AA1//CC1且AA1=CC1，所以A，C，C1，A1四点共面，故A正确； 对于B选项，直线A1C∩平面C1BD=M，所以M∈平面C1BD，因为M∈直线A1C，又A1C⊂平面ACC1A1，所以M∈平面ACC1A1； 因为O为BD中点，BD⊂平面C1BD，所以O∈平面C1BD， 底面ABCD为正方形，所以O为AC中点，AC⊂平面ABCD，所以O∈底面ABCD； 题型五、共面与共线问题 【分析】：根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可. 题型剖析 又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面C1BD， 所以平面ACC1A1与平面C1BD相交，且C1，M，O在交线上，即三点共线，故B正确； 对于选项C，平面C1BD∩平面BB1D1D=BD，M∈平面C1BD，但M∉直线BD， 所以M∉平面BB1D1D，故C错误； 对于选项D，直线A1C∩平面ABCD=C，直线BD⊂平面ABCD，M∉BD， 所以直线A1C与BD为异面直线，故D正确. 故选：C 题型五、共面与共线问题 题型剖析 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的有（ ）个 练习13： ①E，F，G，H四点共面； ②EF与GH异面； ③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上． A．0 B．1 C．2 D．3 C 题型五、共面与共线问题 【分析】：利用平面几何的性质及平行公理FG//EH可得，且四边形EFGH是梯形，结合公理可得答案. 题型剖析 解: 依题意，可得EH//BD，FG//BD，故EH//FG，所以E，F，G，H四点共面，①正确，②错误； 因为EH=，FG=，所以四边形EFGH是梯形，且EF与GH必相交，设交点为M， 因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，所以点M在平面ACB与平面ACD的交线上. 又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上，所以④正确，③错误. 故选：C. 题型五、共面与共线问题 题型剖析 题型六、点、线、面位置关系的判断 例6 设a,b为空间中两条不同直线，α,β为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若α⟂β，m⊂α，n⊂β，则m⟂n B．若m不垂直于α，n⊂α，则m必不垂直于n C．若m//α,α//β，则m//β D．若m,n是异面直线，m⊂α,m//β,n⊂β,n//α，则α//β D 【分析】：A中，m,n可能平行、相交或异面；B中m有可能垂直于n；C中m//β或m⊂β；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 题型剖析 故选：D 解：对于A，若α⟂β，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若m不垂直于α，且n⊂α，则m有可能垂直于n，故B错误； 对于C，若m//α且α//β，则m//β或m⊂β，故C错误； 对于D，若m、n是异面直线，m⊂α，m//β，n⊂β，n//α， 则在直线m上任取一点P，过直线n与点P确定平面γ，设γ∩α=c， 又n//α，则n//c，n⊂β，c⊄β，所以c//β， 又m//β，m⊂α，c⊂α，m∩c=P，所以α//β，故D正确. 题型六、点、线、面位置关系的判断 题型剖析 (1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线． (2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系． 1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍:　 题型六、点、线、面位置关系的判断 题型剖析 题型六、点、线、面位置关系的判断 2．判定两条直线是异面直线的方法:　 (1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l⇒AB与l是异面直线　　　　 题型剖析 题型六、点、线、面位置关系的判断 3.直线与平面位置关系的判断:　 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.　　　　 题型剖析 题型六、点、线、面位置关系的判断 (1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． 4．平面与平面的位置关系的判断方法: 题型剖析 若m,n为空间中两条不同的直线，α,β为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若m//α，n⟂α，则m⟂n B．若m⟂α，m//β，则α⟂β C．若α//β，m⟂α，n⊂β，则m⟂n D．若m//α，n//α，则m//n 解：A：若m//α，n⟂α，则m⟂n，故A正确； B：若m⟂α，m//β，则α⟂β，故B正确； C：若α//β，m⟂α，n⊂β，则m⟂n，故C正确； D：若m//α，n//α，则m//n或m与n异面或m与n相交，故D错误. 故选：D 练习14： D 题型六、点、线、面位置关系的判断 【分析】：根据空间中线线、线面和面面之间的关系，结合选项依次判断即可. 题型剖析 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若m//β，n//β，则m⟂n B．若m//α，m//β，则α⟂β C．若m⟂α，n⟂α，则m//n D．若α∩β=m，m//n，则n//β 练习15： 解：对A，m//β，n//β，则可能m//n，m,n相交、异面，故A错误； 对B，若m//α，m//β，则α，β可能平行，可能相交，不一定垂直，故B错误； 对C，若m⟂α，n⟂α，根据线面垂直的性质可得，故C正确； 对D，若α∩β=m，m//n，则n//β或n⊂β，故D错误. 故选：C 题型六、点、线、面位置关系的判断 C 【分析】：根据线面平行考虑所有可能情况判断A，由两平面平行的判定判断B，根据线面平行的性质判断C，根据线线平行、线面平行的判定定理判断D. 题型剖析 题型七、平行关系的证明 例7 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN//平面PAD； (2)在DN上取一点G（不与D,N重合），设过点G和PA的平面交平面BDN于GH，求证：PA//GH． 【分析】： （1）根据线面平行的判定定理，要判定MN//平面PAD，只需判定MN平行于平面PAD内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 题型剖析 (1)证明： 取PD的中点E，连接AE,EN，如图所示. 因为M,N分别是AB,PC的中点， 所以△PCD中，EN//CD，且EN=. 因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，所以CD//AB，且CD=AB. 所以EN//AM且EN=AM 所以四边形EAMN为平行四边形，所以MN//AE 又AE在平面PAD内，MN在平面PAD外， 所以MN//平面PAD. 题型剖析 (2)证明： 连接AC交BD于点O，连接NO，如图所示 因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点. 又因为N是PC的中点，在△PCA中，根据三角形中位线定理可得ON//PA. 因为ON⊂平面BDN，PA在平面BDN外， 根据线面平行的判定定理，得知PA//平面BDN. 因为过点G和PA的平面交平面BDN于GH，且PA//平面BDN， 根据线面平行的性质定理可得，PA//GH. 题型剖析 1.证明线线平行的方法: (1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行． (2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (3)线面平行的性质定理： ⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行． 规律方法:　 题型七、平行关系的证明 题型剖析 3.平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.　　　 2.证明直线与平面平行的方法: (1)线面平行的判定定理； (2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 规律方法:　 题型七、平行关系的证明 题型剖析 练习16： 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⟂BC，A1A=AC=2，BC=1，E,G分别为A1C1,BC的中点. 题型七、平行关系的证明 (1)证明：C1G//平面ABE； (2)求三棱锥C-ABE的体积. 【分析】：（1）取AB的中点H，连接EH,HG，判断四边形EHGC1为平行四边形，进而可求证； （2）由点E到平面ABC的距离等于点A1到平面ABC的距离，得到VE-ABC=，进而可求解. 题型剖析 (1)证明：取AB的中点H，连接EH,GH， ∵G为BC的中点，∴HG//，HG= ∵E为A1C1的中点，∴EC1//，EC1= ∴HG//EC1且HG=EC1 ∴四边形EHGC1为平行四边形，∴C1G//EH 又∵C1G⊄平面ABE，EH⊂平面ABE ∴C1G//平面ABE 题型七、平行关系的证明 题型剖析 题型七、平行关系的证明 (2)解：∵AB⟂BC，A1A=AC=2，BC=1，∴AB= ∴S△ABC=， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，易知A1C1//平面ABC， ∴点E到平面ABC的距离等于点A1到平面ABC的距离， ∴VE-ABC=， 又∵AA1⟂平面ABC， ∴VC-ABE=VE-ABC==S△ABC =. 题型剖析 例8 如图，在直角梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=AB，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E为对角线BD的中点，现将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⟂平面BCD．求证： 题型八、垂直关系的证明 (1)直线PE平面BCD； (2)平面PBC⟂平面PCD． 题型剖析 题型八、垂直关系的证明 （1）证明：因为平面PBD⟂平面BCD，且平面PBD∩平面BCD=BD， 又AB=AD，则PB=PD，且E为BD中点，所以PE⟂BD， 又PE⊂平面PBD，所以PE⟂平面BCD； 【分析】：（1）由已知E为BD中点，可得PE⟂BD，利用面面垂直的性质定理即可证明； （2）由已知，可得CD⟂平面PBD，则CD⟂PB，又得PB⟂PD，则PB⟂平面PDC，利用面面垂直的判定得证. 题型剖析 （2）证明：在直角梯形ABCD中，AD=AB ，∠BAD=90°， 则∠ABD=∠ADB=45°， 又AD//BC，则∠DBC=45°， 又∠DCB=45°，所以∠BDC=90°， 在折后的几何体P-BCD中，BD⟂DC， 因平面PBD⟂平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD， 又CD⊂平面BCD， 所以CD⟂平面PBD， 又PB⊂平面PBD，则CD⟂PB， 又∠BAD=90°，即∠BPD=90°，则PB⟂PD， 又CD∩PD=D，CD⊂平面PCD，PD⊂平面PCD， 则PB⟂平面PCD， 又PB⊂平面PBC， 所以平面PBC⟂平面PCD. 题型八、垂直关系的证明 题型剖析 题型八、垂直关系的证明 线线、线面垂直问题的解题策略： (1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面． (2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．　 规律方法:　 题型剖析 证明面面垂直常用的方法： (1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角； (2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； (3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．　 题型八、垂直关系的证明 规律方法:　 题型剖析 练习17: 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，AC∩BD=O，点P为DD1的中点．求证： 题型八、垂直关系的证明 (1)直线BD1//平面PAC； (2)平面PAC⟂平面BDD1． 【分析】：（1）结合三角形中位线性质，利用线面平行的判断推理得证. （2）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判断推理得证. 题型剖析 题型八、垂直关系的证明 （1）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接OP，P,O分别是D1D,BD的中点，则PO//BD1， 又BD1⊄平面PAC，OP⊂平面PAC，所以BD1//平面PAC. （2）证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⟂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则DD1⟂AC， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC，四边形ABCD为正方形，则BD⟂AC， 又DD1∩BD=D，DD1,BD⊂平面BDD1，因此AC⟂平面BDD1，又AC⊂平面PAC， 所以平面PAC⟂平面BDD1. 题型剖析 题型九、球的内切外接问题 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=2，AB=AC=，BC=2，则三棱柱外接球ABC-A1B1C1的表面积为（   ）． A．4π B．6π C．8π D．12π 例9 C 【分析】：直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 解：因为AB=AC=，BC=2，∠BAC=90°， △ABC和△A1B1C1的外心分别为斜边BC,B1C1的中点O1,O2， 连接O1O2，取O1O2的中点O，则O为三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心，其外接圆半径为， 则半径R2=OO22+AO22=1+1=2， 则外接球的表面积为4πR2=8π.故选：C 题型剖析 题型九、球的内切外接问题 规律方法:　 常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． (2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算． 题型剖析 题型九、球的内切外接问题 练习18: 设P,A,B,C是球O表面上的四个点，PA⟂平面ABC，∠ABC=90°，PA=5，AB=3，BC=4，则球O的表面积为（   ） A． B．50π C．75π D．200π B 【分析】：根据题意，画出几何体的图形，利用直棱柱和球的截面的性质，求得外接球的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 解：由题意，画出几何体的图形，如图所示， 把棱锥P-ABC扩展为三棱柱， 上下底面三角形外接圆圆心连线的中点O与A的距离为球的半径R， 由PA=5，AB=3，BC=4，∠ABC=90°， 则AC=， 设三角形ABC外接圆半径为r，球的半径为R， 则2r=AC=5，且R=AO=， 所以外接球的表面积为4πR2=50π.故选：B. 题型剖析 题型十、空间角的计算 1.异面直线所成角 2.直线与平面所成角  3.二面角 空间角 例10 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：BC1//平面A1DC； (2)求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值． 题型剖析 题型十、空间角的计算 （1）证明：连接AC1交A1C于O， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4， 因此四边形AA1C1C是正方形，所以O是AC1的中点，而D是AB的中点， 因此有OD//BC1，而OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC， 所以BC1//平面A1DC； （2）解：由（1）可知：OD//BC1 因此异面直线A1D与BC1所成角为∠A1DO（或其补角）， 因为是AA1C1C正方形，所以A1O=， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4， 因此四边形BB1C1C是正方形，因此有OD=， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，因此有A1D=， 由余弦定理可知：， 因此. 题型剖析 题型十、空间角的计算 例11 已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，A1C与平面B1BCC1所成的角为45°，则该正三棱柱的体积为 ． 解：取B1C1的中点为D，连接A1D，由△A1B1C1为正三角形，故A1D⟂B1C1， 又BB1⟂平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，则A1D⟂BB1， 又BB1∩B1C1=B1，BB1,B1C1⊂平面BB1C1C，故A1D⟂平面BB1C1C， 连接A1C,CD，则∠A1CD即A1C为与平面BB1C1C所成的角，即∠A1CD=45°， 由CD⊂平面BB1C1C，故A1D⟂CD； 由于AB=2，故A1D=，故A1C=， 在Rt△A1C1C中，CC1=，故. 题型剖析 题型十、空间角的计算 例12 如图，圆柱OO1中，PA是一条母线，AB是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面PAC⟂平面PBC； (2)若PA=AB，求二面角A-PB-C的余弦值. （1）证明：因为PA是一条母线，所以PA⟂平面ABC，而BC⊂平面ABC，则PA⟂BC， 因为AB是底面一条直径，C是的中点，所以∠ACB=90°，即AC⟂BC， 又PA,AC⊂平面PAC且PA∩AC=A， 所以BC⟂平面PAC，而BC⊂平面PBC，则平面PAC⟂平面PBC. 题型剖析 题型十、空间角的计算 （2）解：设PA=AB=2，则PB，AC=BC=，PC=. 取PB的中点D，则AD⟂PB，AD=， 作CE⟂PB，垂足于E，则PB·CE=PC·BC，即CE=， 进而BE=，所以BE=. 因为O,E分别是AB,BD的中点，连接OE,OC， 所以OE⟂PB，又CE⟂PB，可知∠OEC是二面角A-PB-C的平面角. 由OE=，OC=1，CE=. 所以由余弦定理.故二面角的余弦值为. 题型剖析 题型十一、空间距离的计算 例13 1.点到平面的距离 2.直线与其平行平面间的距离 3.两个平行平面间的距离 空间距离 转化 如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=CA=2，PA=，PB=PC=， (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)求点A到平面PBC的距离． 【分析】：（1）由条件可得PA⟂平面ABC，利用锥体的体积可求体积； （2）利用等体积法可求点A到平面PBC的距离. 题型剖析 解：(1)因为AB=BC=CA=2，PB=PC=，PA= ，所以PB2=PA2+AB2，PC2=PA2+AC2， 所以PA⟂AC，PA⟂AB，又AB∩AC=A，AB,AC⊂平面ABC， 所以PA⟂平面ABC，又==， 所以三棱锥P-ABC的体积V=PA=； 题型十一、空间距离的计算 (2)在中，由PB=PC=，BC=2， 所以BC边上的高为h=， 所以， 设点A到平面PBC的距离为d， 所以V=，由（1）可得=1，解得d=.所以点A到平面PBC的距离为. 题型剖析 1．判断对错： (1).有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱。（ ） (2).异面直线可以垂直。（ ） (3).若直线a∥b，b⊂α，则a∥α。（ ） (4).圆锥的体积是同底等高圆柱体积的。（ ） (5).垂直于同一直线的两个平面互相平行。（ ） √ × × √ √ （缺少“相邻侧面公共边平行” 条件） （异面垂直是常见位置关系） （直线a可能在平面α内） 针对训练 2.正方体棱长为 3，表面积 = ，体积 = 。 54 27 3.圆柱底面半径为 2，高 为4，侧面积 = ，体积 = 。 【解析】 S圆柱侧=2πrl=2π×2×4=16π 16π 16π V圆柱=πr2h=π×22×4=16π 针对训练 4.线面垂直的核心条件：直线垂直平面内 两条相交直线 5.斜二测画法中，平行于y轴的线段长度变为原来的 一半 6.下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 异面直线有无数个公共点 D. 面面平行则平面内直线互相平行 B 针对训练 7.若直线m⊥平面α，直线n⊂α，则（ ） A. m∥n B. m⊥n C. m、n异面 D. 无法判定 B 8.已知：正方体ABCD−A1B1C1D1，求证：AB1∥平面DC1D1 【解析】在正方体中，AD∥B1C1且AD=B1C1，四边形AB1C1D为平行四边形 B A C D A1 B1 C1 D1 AB1⊄平面DC1D1，C1D⊂平面DC1D1 所以AB1∥C1D 所以AB1∥平面DC1D1 针对训练 一个基础 平面的基本性质（四个公理），它是立体几何的逻辑起点，是后续所有推理的依据。 两大类几何体 多面体：棱柱、棱锥、棱台。 旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球。 两种核心关系 平行关系：线线、线面、面面的判定与性质。 垂直关系：线线、线面、面面的判定与性质。 两种度量 1. 表面积：侧面积与底面积之和。 2. 体积：柱体、锥体、台体、球体的体积计算。 两种核心思想 1. 降维思想：将空间问题转化为平面问题解决。 2. 转化与化归思想：线线、线面、面面关系的相互转化。 课堂总结 感谢聆听! $