第十一章 立体几何初步（知识清单）数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 1、 空间几何体 （1） 空间几何体与斜二测画法 1. 直观图（斜二测画法） 建系：原直角坐标系 → 直观图 ， 或 。 平行不变：平行于 （或 ）轴的线段，直观图中仍平行于 （或 ）轴。 长度规则： 平行 轴：长度 不变 平行 轴：长度 减半 面积关系： （2） 构成空间几何体的基本元素 基本元素：点、直线、平面（平面无限延展，无厚薄） 位置关系： 点∈线、点∉线；点∈面、点∉面 线⊂面、线∩面 = 点、线∥面 面∥面、面∩面 = 直线 （3） 多面体与棱柱 1. 多面体：由若干平面多边形围成的几何体（棱、顶点、面） 2. 棱柱 定义：两底面平行且全等，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等。 分类：按底面边数 → 三棱柱、四棱柱、…；直棱柱（侧棱⊥底面）、斜棱柱。 特殊：长方体、正方体（直棱柱） 公式： 侧面积：（直棱柱， 为高） 体积： （4） 棱锥与棱台 1. 棱锥 定义：底面多边形，侧面共顶点的三角形。 正棱锥：底面正多边形，顶点在底面射影为中心。 公式： 体积： 2. 棱台 定义：平行于棱锥底面的平面截棱锥所得（上下底相似）。 公式： 体积： （5） 旋转体 1. 圆柱（矩形绕一边旋转） 公式： 侧面积： 表面积： 体积： 2. 圆锥（直角三角形绕直角边旋转） 公式： 侧面积： 表面积： 体积： 3. 圆台（直角梯形绕垂直底边的腰旋转） 公式： 侧面积： 体积： 4. 球（半圆绕直径旋转） 公式： 表面积： 体积： （6） 祖暅原理与几何体的体积 祖暅原理：等高处截面积恒相等 → 体积相等（“幂势既同，则积不容异”） 应用：柱、锥、台、球体积公式推导依据。 2、 平面的基本事实与推论 1. 基本事实 1（三点定面） 不共线三点 ⇒ 有且只有一个平面 使 。 2. 基本事实 2（线在面内） 若 且 ⇒ 。 3. 基本事实 3（面面交线） 若 ⇒ 且 （交线唯一）。 4. 三个推论（共面判定） 推论 1：直线 + 线外一点 ⇒ 唯一平面 推论 2：两条相交直线 ⇒ 唯一平面 推论 3：两条平行直线 ⇒ 唯一平面 3、 空间中的平行关系 （1） 平行直线与异面直线 1. 平行直线 传递性： 等角定理：两边分别平行且同向 ⇒ 两角相等；反向或一正一反 ⇒ 相等或互补。 2. 异面直线 定义：不同在任何一个平面内（不平行、不相交）。 异面直线所成角：平移至相交，取锐角或直角，范围 。 （2） 直线与平面平行（线∥面） 1. 判定定理： （平面外一条直线平行于平面内一条直线 ⇒ 线∥面） 2. 性质定理： （线∥面，过线作面交已知面 ⇒ 线∥交线） （3） 平面与平面平行（面∥面） 1. 判定定理： （一个平面内两条相交直线都平行于另一平面 ⇒ 面∥面） （垂直同一直线的两面平行） 2. 性质定理： （面∥面 ⇒ 面内线∥另一面） （两面平行，第三面截得交线平行） 4、 空间中的垂直关系 （1） 直线与平面垂直（线⊥面） 1. 定义：直线垂直于平面内所有直线 ⇒ 线⊥面。 2. 判定定理： （垂直于平面内两条相交直线 ⇒ 线⊥面） 3. 性质定理： （垂直同一平面的两直线平行） （平行线一条垂直平面 ⇒ 另一条也垂直） 4. 点面距离：垂线段长度；线面距离：平行线间距离（线∥面时）。 （2） 平面与平面垂直（面⊥面） 1. 二面角：从棱出发的两个半平面所成角，范围 ；平面角（棱上一点，两面内棱垂线所成角）。 2. 判定定理： （一个平面过另一平面的一条垂线 ⇒ 面⊥面） 3. 性质定理： （两面垂直，一面内垂直交线的直线 ⇒ 垂直另一面） 易错01 斜二测画法面积与长度错 错误：平行于y轴线段长度不变；直观图面积∶原图面积 = 1∶2 注意：平行y轴长度减半； 1．关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】C 【详解】对选项A，对于斜二测画法，平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的，故A错误； 对选项B，直观图的面积是原图面积的，故B错误； 对选项C，斜二测画法的核心是平行关系保持不变.原平行四边形的对边平行，因此直观图的对边仍平行，故仍是平行四边形，故C正确； 对选项D，不妨以水平放置的正方形为例，其直观图直角变为或，故D错误. 2．如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则，结合选项逐一分析判断. 【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 故选：D 3．一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知确定原梯形的边长且是直角梯形，进而求出其面积. 【详解】由题意，且，则， 所以原梯形是上下底分别为，高为的直角梯形，则其面积为. 故选：D 4．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ）． A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】在直观图中，因为，， 所以 在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且，， 所以在原图形中，在轴上，且， 并且在原图形中，， 所以. 故选：A 5．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作 交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 易错02 旋转体定义混淆 错误：圆锥绕斜边旋转、球绕半径旋转 注意：圆锥绕直角边；球是半圆绕直径旋转而成 6．如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ）    A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 【答案】B 【详解】由题可知，该旋转体由个球体和1个圆锥体组成. 7．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球； B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体； C选项中的图形旋转得到的是内胎； D选项中的图形旋转得到的是球. 8．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体； B中图形绕轴旋转可得圆锥； C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体； D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 9．如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台， 因此应该是由上半部分为直角三角形，下半部分为直角梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确. 10．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，结合旋转体的定义，即可求解. 【详解】由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥， 根据旋转体的定义，可得B项，符合题意. 故选：B. 易错03 棱台判断错误 错误：只要上下底面平行就是棱台 注意：棱台必须上下底平行且相似，对应边平行 11．下列几何体中，为棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用棱台的结构特征对选项中的几何体进行逐一分析判断. 【详解】用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台． 因此棱台一定是两个面互相平行，且所有侧棱延长后交于同一点， A选项，侧棱延长后没有交于一点，不是棱台，故A不符合题意； B选项，截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不符合题意； C选项，几何体不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故C不符合题意； D选项，符合棱台的定义，故D符合题意. 故选：D 12．（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 13．（多选）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 【答案】ABC 【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果. 【详解】如图， 连接，则平面可截得三棱锥，故A正确； 如图，过E作，过F作， 则过的平面可截得直三棱柱，故B正确 如图，延长至P，连接，分别与交于两点， 则可得平面截得三棱台，故C正确； 将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱. 故选：ABC. 易错04 三点共面前提遗漏 错误：“三点确定一个平面” 注意：必须是不共线三点才能确定唯一平面 14．经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【答案】A 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】由公理：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A. 15．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【分析】对于AC：根据平行的基本事实以及推论分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误； 对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面， 例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确； 对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误. 16．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 17．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 【答案】BC 【分析】根据平面的公理，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，当点在直线上时，这个点和这条直线不能确定一个平面，A错误； 对于B，不共线3点确定一个平面，正确； 对于C，过一条直线的平面有无数多个，正确； 对于D，两个平面的公共点组成的集合，是一条直线，D错误， 故选：BC 易错05 线面平行判定缺条件 错误：只看线线平行就判定线面平行 注意：必须满足，缺一不可 18．已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 19．已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是__________ 【答案】或. 【分析】利用线面平行的判定定理可推导出结论. 【详解】当时，由得； 当时，满足题中条件. 综上，直线与平面的位置关系是或. 故答案为：或. 20．已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【详解】对于①，若，，则或，所以①正确； 对于②，若，，则与平行或异面，所以②错误； 对于③，缺少与相交的条件，无法推出，所以③错误； 对于④，若，，，则或与异面，所以④正确. 易错06 面面平行判定用平行线 错误：一个平面内两条平行线平行于另一平面⇒面面平行 注意：必须是两条相交直线都平行于另一平面 21．已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若、是异面直线，，，，，则 【答案】D 【分析】利用线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用线面平行的性质、面面平行的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或、相交，B错； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得， 因为，，所以， 因为、异面，若，则，矛盾，故直线与是两条相交直线， 又，，所以；故D正确. 故选：D. 22．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，由线面关系判断面面关系判断A、B、D，利用线面垂直的性质及面面平行的判定即可判断C. 【详解】A：由，，则、可能相交或平行，不合要求； B：由，，则、可能相交或平行，不合要求； C：由，若、且相交，则，又，故，所以，符合. D：由与、所成角相等，则、可能相交或平行，不合要求； 故选：C 23．平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 【答案】D 【分析】由平面的基本性质，结合线面、面面间的关系判断是否有面面平行即可. 【详解】A：α内有无穷多条直线都与β平行，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； B：直线aα，aβ，且直线a不在α与β内，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； C：直线 ，直线，且bα，aβ，则面α与面β可能平行也可能相交，错误； D：α内的任何直线都与β平行，α内任取两条相交的直线平行于β，由面面平行的判定知，正确. 故选：D. 24．（多选）给出下面四个命题正确的是（   ） A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 【答案】BD 【分析】根据面面平行的性质和判定定理逐一判断即可. 【详解】A：因为分别在两个平行平面内的两直线平行或异面，所以本选项说法不正确； B：根据面面平行的性质可知本选项说法正确； C：由面面平行的判定定理可知必须是相交直线，不能是任意两条直线，所以本选项说法不正确； D：根据面面平行的定义可知本选项说法正确. 故选：BD 25．在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件______. 【答案】 【分析】确定为平面内的两条相交直线，，故，得到答案. 【详解】因为一个平面内两条相交直线平行于另一个面，则这两个面平行， 所以要证，需要，，以及，共五个条件， 所以需要在条件“”之外补充条件是. 故答案为：. 易错07 线面垂直判定用平行线 错误：垂直平面内两条平行线⇒线面垂直 注意：必须垂直平面内两条相交直线 26．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 27．已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（    ） A．垂直平面内的两条直线 B．垂直平面内的无数条直线 C．的方向向量垂直于平面的法向量 D．的方向向量平行于平面的法向量 【答案】D 【详解】对于A，垂直平面内的两条直线，若两直线平行，则不能推出，故A错误. 对于B，垂直平面内的无数条直线，若无数条直线两两平行，则不能推出， 故B错误. 对于C，的方向向量垂直于平面的法向量，则或，故C错误. 对于D，的方向向量平行于平面的法向量，则有. 反之，若，则有的方向向量平行于平面的法向量.故D正确. 28．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 29．已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线与垂直 D．与相交，且交线与平行 【答案】D 【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理，面面平行的性质定理进行推理，或通过模型分析即可逐一判断. 【详解】对于A，假若，则由平面，平面，可得，这与异面矛盾，故A错误； 对于B，如上图，在长方体中， 不妨设平面为平面，平面为平面，满足， 棱所在直线分别为，满足所有题设条件，但，即得不出，故B错误，； 对于C，D，如上图，由A项知，相交，设，过空间内一点，分别作，作， 因，故可确定平面， 因为，，所以，，且，故； 又因，，所以，，所以，，同理可得； 因为，，所以不重合，故有. 综上可知，C项错误，D项正确. 故选：D. 30．已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】①由直线与平面的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由直线与平面的位置关系判断；④由直线与平面垂直的性质判断. 【详解】①或，故错误； ②，或与相交，故错误； ③或，故错误； ④由直线与平面垂直的性质知，正确， 故选：C. 31．下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理可得平面中的两条直线必须相交，逐一判断是否相交即可得出结论. 【详解】对于①，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直； 对于②，若直线垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直； 对于③，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直； 对于④，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直. 所以可以保证直线与平面垂直的是③④. 故选：D 易错08 面面垂直性质漏交线 错误： 注意：必须，才能推出 32．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 33．在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理分别得出面面垂直即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以 ，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 34．已知直线和平面，，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，由空间中线面的位置关系，即可判断． 【详解】当时，由，直线与平面可能垂直，也可能平行，故充分性不成立； 当时，由，可知，故必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 35．已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】结合直线与平面的位置关系逐项判断即可得. 【详解】对A：若，，，，此时与可能平行，可能相交，故A错误； 对B：若，，，则与可能平行，可能异面，故B错误； 对C：若，，，则，故C正确； 对D：若，，，则可能在内，也可能与相交或平行，故D错误. 36．已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，，，则； ③若，，m，n是异面直线，那么n与相交； ④若，，则且． 其中错误的命题为______． 【答案】②③④ 【分析】由面面垂直的判定定理、线面平行的定理判断①④，由面面平行的判定定理判断②，由直线与平面的位置关系判断③． 【详解】①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确； ②中，由面面平行的判定定理可知，当不相交时，不一定成立，所以②错误； ③中，若，，m，n是异面直线，那么n与相交或，所以③错误； ④中，若，，则且， 或，所以④错误． 故答案为：②③④ 易错09 角度范围与取法混淆 错误：异面直线所成角取钝角；二面角与线面角不分 注意：异面角取锐角或直角；二面角 37．如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形找到异面直线与的平行线，确定异面直线的平面角，再根据角之间的关系解出该角的余弦值，可得出答案. 【详解】 连接交于点，由正方体可知， 则与所成的角为异面直线与所成的角. 由图可知，则， ， 设正方体的棱长为， ，， 则， 则异面直线与所成的角余弦值为. 38．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作交于，连接，可证得，得是与所成的角或其补角，由平行线性质求得，由余弦定理求得，从而得与所成的角. 【详解】 作交于，如图，连接，则， 又，所以，所以， 所以是与所成的角或其补角， 由，， 所以，，，所以， 在中，， 所以与所成角的余弦值为. 39．已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 【答案】A 【分析】根据条件先将直线平移得到，使得经过点，再根据直线所成的角以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的情况即可得答案. 【详解】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为， 所以，当直线经过点且直线在直线所在平面内，垂直于直线时， 直线与直线所成角相等，为时，成角为，即； 当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等， 且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有三条， 所以，解得. 所以过空间定点与、成角的直线共有3条时，. 40．如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，作辅助线找到，及二面角，四边形为正方形进而得到为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示、，即有它们的等量关系，利用结合二面角，即可求的最大值； 【详解】直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，而，，又，可知： ， 若令二面角为，作于，于；过作，过作与交于点； ∴面，又 ， ，故面 ，面 ，即； 过作，过作与交于点； ∴面，又 ， ，故面 ，面 ，即； 作于，于，连接、，即有，且； ∵，即，作有四边形为正方形，即， ∴，有，故为等腰三角形且， 令，，则，有，而， ∴，，又， ∴当时等号成立 故选：B 【点睛】本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值； 41．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C、D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折过程中，下列三个说法中正确的个数是（    ） ①存在点E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC； ②存在点E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC； ③二面角S﹣AB﹣E的平面角总是小于2∠SAE． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，四边形ABCE为梯形，所以AE与BC必然相交；对于②，假设SA平面SBC，可推得矛盾；对于③，当将△ADE沿AE翻折使得平面SAE⊥平面ABCE时，二面角S﹣AB﹣E最大，在平面SAE内，作出一个角等于二面角S﹣AB﹣E的平面角；由角所在三角形的一个外角，它是不相邻的两个内角之和，结合图形，即可判定③． 【详解】对于①，四边形ABCE为梯形，所以AE与BC必然相交，故①错误； 对于②，假设SA平面SBC，SC平面SBC，所以SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，所以SA⊥平面SCE，所以平面SCE∥平面SBC，这与平面SBC∩平面SCE＝SC矛盾， 故假设不成立，即②错误； 对于③，当将△ADE沿AE翻折使得平面SAE⊥平面ABCE时，二面角S﹣AB﹣E最大，如图，在平面SAE内，作SO⊥AE，垂足为O，∴SO⊥平面ABCE；AB平面ABCE， 所以SO⊥AB； 作OF⊥AB，垂足为F，连接SF，SO∩OF＝O，则AB⊥平面SFO，所以AB⊥SF，则∠SFG即为二面角S﹣AB﹣E的平面角； 在直线AE上取一点，使得O＝OF，连接S，则∠SO＝∠SFO； 由图形知，在△SA中，S＞A，所以∠AS＜∠SAE；而∠SO＝∠SAE+∠AS， 故∠SO＜2∠SAE； 即∠SFO＜2∠SAE．故③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了空间中的平行于垂直关系的应用，二面角的平面角的作法，以及立体几何的折叠问题，其中解答中熟记线面关系的判定与性质，以及熟练掌握二面角的平面角的作法是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于中档试题． 1．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【分析】根据斜二测画法求出原四边形各边的长度，并确定四边形为直角梯形，进而得到其周长和面积，即可得． 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 2．能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意. 【详解】此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成， 是由A中的平面图形旋转形成的. 故选：A. 【点睛】本题考查平面图形旋转形成的几何体，考查空间想象能力和推理能力，属于简单题. 3．如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，先求出各个边长，由题意，旋转后的几何体为圆台，取其轴截面，设外接球球心为O，分别讨论O在线段AD上和在DA延长线上两种情况，根据勾股定理，列出方程组，化简计算，求出，代入面积公式，即可得答案. 【详解】过C作，交AB于E， 则， 因为，且四边形ADCE为矩形， 所以，即. 由题意得，梯形绕所在直线旋转一周得到的几何体为圆台，取圆台的轴截面， 如图所示，设外接球球心为O，半径为R，， 当O在线段AD上时，则， 由勾股定理得，即， 整理得，即，不成立，故O不在线段AD上； 当球心O在DA的延长线上时，则，如图： 所以，即， 解得，所以， 所以该圆台外接球的表面积为. 故选：D 4．已知三棱锥的棱长均为1，现将三棱锥绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，如图①所示，设是的中点，将绕着旋转所经过的区域构成的几何体是以为轴，为底面半径的两个圆锥，如图②，圆锥的底面半径，高，再由圆锥体积公式求解． 【详解】如图①，在三棱锥中，是的中点， 在中，． 由，，得平面． 将绕着旋转所经过的区域构成的几何体是以为轴，为底面半径的两个圆锥，如图②， 圆锥的底面半径，高， 故所构成的几何体的体积为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是取的中点，证明平面，将将绕着旋转所经过的区域构成的几何体等价为以为轴，为底面半径的两个圆锥. 5．经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 【答案】D 【分析】利用确定平面的条件判断即可. 【详解】经过不共线3个点的平面有且只有一个， 而经过同一直线上的3个点的平面有无数个． 故选：D. 6．空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 7．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中(如图2)，检查； 项目③：打开过程中(如图2)，检查； 项目④：打开后(如图3)，检查； 项目⑤：打开后(如图3)，检查． 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】根据面面平行的判定，通过分析各个检查项目是否可以得到线线平行，进而转化为线面平行，得到面面平行，来判断桌子打开后桌面与地面是否平行． 【详解】项目①，折叠状态下(如图1)，四条桌腿长相等时，桌面与地面不一定平行； 项目②，打开过程中(如图2)，若，可以得到线线平行，从而得到面面平行； 项目③，打开过程中(如图2)，检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行； 项目④，打开后(如图3)，检查，桌面与地面不一定平行； 项目⑤，打开后(如图3)，检查，可以得到线线平行，从而得到面面平行. 故选：C 8．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 9．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面面垂直的判定定理求解. 【详解】因为，，由面面垂直的判定定理可得．选项D正确. 10．如图，在直角梯形中，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的体积最大时，则下列命题中正确的个数是 ① ②∥平面 ③与平面所成的角等于与平面所成的角 ④与所成的角等于与所成的角 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由体积最大，推出面面垂直，再结合选项，利用垂直和平行的判定及性质，进行判断. 【详解】当体积最大时，平面SAD平面ABCD，如下图所示： 对①：若又根据题意，，故平面SDB，又BD平面SDB 故可得，而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确； 对②：AB//CD，由CD平面SCD，故AB//平面SCD，正确； 对③：因为无法得知底面ABCD的边长关系，所以无法确定，故错误； 对④：AB与SC所成角度为，而DC与SA所成角度为， 两个角度显然不相等，故错误. 综上所述，正确的只有②. 故选：D. 【点睛】本题考查由面面垂直推证线面垂直，涉及线面平行，异面直线的夹角，线面角问题，属综合题. 11．（多选）上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（    ）    A．这个六面体是棱台 B．该六面体的外接球体积是 C．直线与异面 D．二面角的余弦值是 【答案】BCD 【分析】选项A：,这个六面体不是棱台，错误； 选项B：这个六面体的外接球球心在直线上，结合勾股定理，计算六面体的外接球半径，从而求得体积，正确； 选项C：和显然不相交，结合题意证得与不平行，所以和不在同一平面内，正确； 选项D：取和的中点分别为，， 即所求二面角的平面角， 解得，正确； 【详解】    因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点， 所以这个六面体不是棱台，所以错误. 由题意可知，这个六面体的外接球球心在直线上，且，因为， 解得，所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，B正确. 和显然不相交，因为， 所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确. 取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，，所以， D正确. 故选：BCD. 12．（多选）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 【答案】BCD 【分析】通过分情况并画图分析可判断A正确；由基本事实3可判断B错误；由两个相交的平面有无数个公共点可判断C错误；根据空间两直线的位置关系可判断D错误. 【详解】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面; 当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面， 确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面. 所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确； 对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误； 对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误； 对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误 故选：BCD. 13．（多选）在正四棱台中，（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】BC 【详解】对于A，显然，可知四点共面，而，故与相交，A错误； 对于B，由平面，平面平面，得平面，B正确； 对于C，由平面，平面平面，平面平面，得，由平面，平面知平面，C正确； 对于D，取的中点，中点，若平面平面，则平面， 但由知与相交，而平面，则与平面相交，矛盾，D错误．    14．（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 【答案】ABD 【分析】由题设及直线与直线平行，直线与平面平行相关知识可判断选项正误. 【详解】对于A，当//时，有可能平行于所在平面，也有可能在所在平面内，故A错误； 对于B，当//时，内的直线可能与平行，也有可能与异面，故B错误； 对于C，因 ，则存在 ，使得，又，则，结合，，则//，故C正确； 对于D，当直线与平面内无数条直线平行时，直线有可能在平面内，则此时直线与平面不平行，故D错误. 15．（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S的面积为 D．当时，S与的交点R满足 【答案】ABD 【分析】根据各选项的条件作出对应的截面图形，再经判断即可得解. 【详解】对于A选项：过点A，P，Q的平面与平面交于直线AH，AH交于H，如图： 平面平面，则，由等角定理知，， ，因，则，点H必在线段上(不含点D，)，截面S为四边形，A正确； 对于B选项：连，，，，如图： 因，且，得，，， 则，，是梯形，而，截面S为等腰梯形，B正确； 对于C选项：点Q与重合，取中点E，连PE，，如图： 正方体中，P为BC中点，则，且，得，有，且， 取中点F，连AF，，由，得，有，且，从而是平行四边形， ，是菱形，对角线，，S的面积为，C错误； 对于D选项：同C选项有，PQ延长线交延长线于点M，如图： 过M作交于N，交于R，连AN，则，四边形APMN为截面S， ，而，，则，D正确. 故选：ABD. 16．（多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 【答案】BC 【详解】对于A项，若或，此时与平面的交线的位置关系不确定 ， 可能与异面或平行，故A项错误； 对于B项，若，可能在平面或内，但是一定有或，故B项正确； 对于C项，若，因为，所以，由直线与平面垂直的性质，可得； 若，因为，同理可得，故C项正确； 对于D项，若，与平面的位置关系不确定，不一定垂直于或，故D项错误． 17．（多选）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若平面平面，则 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．四棱锥的体积为8 【答案】ACD 【分析】利用中位线得出两条线段平行，再根据线面平行的性质可判断A选项，取中点构造三角形，通过边长关系判断是否垂直，可判断B选项，将异面直线所成角转化为与之平行的两条相交直线的夹角，利用等边三角形的内角得出角度即可判断C选项，四棱锥的高为已知棱长，底面为梯形，通过面积割补法求得底面面积，再代入体积公式计算可判断D选项. 【详解】对于A，分别为的中点， ．又平面，平面， ∴平面． 又平面平面，平面，， 又，，故A正确． 对于B，设的中点为，连接，则． ，， ，不满足勾股定理逆定理， 与不垂直，则与平面不垂直． 又，与平面不垂直，故B错误． 对于C，，而为等边三角形， ，即异面直线与所成的角为，故C正确． 对于D，四棱锥的高为，. 四棱锥的体积为，故D正确． 18．（多选）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 19．（多选）已知正方体的棱长为，动点在正方体底面上（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．若，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据面面平行的判定可证得平面平面，可知当线段时，平面，知A错误；根据线面垂直的判定可证得平面，知B正确；根据勾股定理可求得点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，根据扇形弧长公式可求得C正确；作出关于平面的对称点，知所求最小值为，由长度关系可得D正确. 【详解】对于A，，，四边形为平行四边形， ，又平面，平面，平面， 同理可得：平面， ，平面，平面平面， 则当平面时，平面， 又平面平面，线段时，平面，A错误； 对于B，平面，平面，， 四边形为正方形，， ，平面，平面， 又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面， 则当与重合时，平面，B正确； 对于C，，即，， 则点轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即下图所示的优弧的长度， 优弧的长度为，即点的轨迹长度为，C正确； 对于D，延长到点，使得，则点即为点关于平面的对称点， （当且仅当三点共线时取等号）， 取中点，则，又， ， 即的最小值为，D正确. 故选：BCD. 20．（多选）在棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，过点，D与平行的平面为，则（    ） A． B．平面截该三棱柱所得截面为直角三角形 C．平面平面 D．到平面的距离是棱长的 【答案】ABD 【分析】合理选点建系，设出三棱柱棱长，利用空间向量解决几何问题. 【详解】设正三棱柱的棱长为a，，如图所示： 建立空间直角坐标系：设D为原点，为x轴，为y轴，为z轴， 则，，，，. 平面过、D且平行于，， 设平面内一点，，， 设平面的一个法向量为， 由，取. A：，，，所以，正确； B：因为，所以平面与棱柱交于，三边长为、、，满足勾股定理，即为直角三角形，正确； C：因为平面平面，可得平面的一个法向量为，，即平面与平面不垂直，错误； D：平面，到平面的距离等于B到平面的距离，即距离，是棱长的，正确. 21．（多选）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（    ） A．三棱锥A−D1PC的体积不变 B．直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为 C．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 D．二面角P−AD1−C的大小不变 【答案】ABD 【分析】对于选项A，由已知可得平面，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断； 对于选项B，由，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断； 对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断； 对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确. 【详解】对于选项A，因为，面，面，所以平面， 所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又，所以三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故A正确； 对于选项B，因为，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确； 对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误； 对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确. 故选：ABD. 22．若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 23．如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 【答案】/ 【分析】延长分别到，使，取正方形的中心，的中点，连接，交平面于，可证得平面，延长交于，则为点P所形成的轨迹，过作于，过作于，利用，可求出，从而可求出的长即可. 【详解】因为直线与平面无交点，所以平面DEF， 所以需要在平面上找一点，设为，使平面平面， 延长分别到， 使， 取正方形的中心，的中点，连接，交平面于， 因为在正方体中，F，O分别为正方形，的中心， 所以，， 所以四边形为平行四边形，可得， 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以∥平面， 延长交于，则为点P所形成的轨迹， 所以点P所形成的轨迹经过点O， 过作于，过作于， 则，所以， 所以，得，所以， 所以. 故答案为： 24．如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/0.7 【详解】如图，设圆O的半径为r，延长BA至点D，使， 连接，CD，AC，则，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 则或其补角为异面直线与所成的角， 因为，， 所以 ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 25．如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 【答案】/ 【分析】取OA的中点F，BO的中点G，根据异面直线所成角的定义作出直线与直线所成角，根据勾股定理，求出各个长度，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】取OA的中点F，BO的中点G，连接ED、EF、EG、GC、CF，如下图所示， 因为D，E分别为，的中点， 所以，且 ， 又O为AB的中点，所以，则，且 ， 因为F为OA的中点，所以且， 所以四边形EDAF为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为直线与直线所成角， 在中，，则， 在中，，则， 同理， 因为E，G分别为SB、BO的中点， 所以，且， 在中，， 在中，， 由图象可得为锐角，所以， 则直线与直线所成角的大小为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步 1、 空间几何体 （1） 空间几何体与斜二测画法 1. 直观图（斜二测画法） 建系：原直角坐标系 → 直观图 ， 或 。 平行不变：平行于 （或 ）轴的线段，直观图中仍平行于 （或 ）轴。 长度规则： 平行 轴：长度 不变 平行 轴：长度 减半 面积关系： （2） 构成空间几何体的基本元素 基本元素：点、直线、平面（平面无限延展，无厚薄） 位置关系： 点∈线、点∉线；点∈面、点∉面 线⊂面、线∩面 = 点、线∥面 面∥面、面∩面 = 直线 （3） 多面体与棱柱 1. 多面体：由若干平面多边形围成的几何体（棱、顶点、面） 2. 棱柱 定义：两底面平行且全等，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等。 分类：按底面边数 → 三棱柱、四棱柱、…；直棱柱（侧棱⊥底面）、斜棱柱。 特殊：长方体、正方体（直棱柱） 公式： 侧面积：（直棱柱， 为高） 体积： （4） 棱锥与棱台 1. 棱锥 定义：底面多边形，侧面共顶点的三角形。 正棱锥：底面正多边形，顶点在底面射影为中心。 公式： 体积： 2. 棱台 定义：平行于棱锥底面的平面截棱锥所得（上下底相似）。 公式： 体积： （5） 旋转体 1. 圆柱（矩形绕一边旋转） 公式： 侧面积： 表面积： 体积： 2. 圆锥（直角三角形绕直角边旋转） 公式： 侧面积： 表面积： 体积： 3. 圆台（直角梯形绕垂直底边的腰旋转） 公式： 侧面积： 体积： 4. 球（半圆绕直径旋转） 公式： 表面积： 体积： （6） 祖暅原理与几何体的体积 祖暅原理：等高处截面积恒相等 → 体积相等（“幂势既同，则积不容异”） 应用：柱、锥、台、球体积公式推导依据。 2、 平面的基本事实与推论 1. 基本事实 1（三点定面） 不共线三点 ⇒ 有且只有一个平面 使 。 2. 基本事实 2（线在面内） 若 且 ⇒ 。 3. 基本事实 3（面面交线） 若 ⇒ 且 （交线唯一）。 4. 三个推论（共面判定） 推论 1：直线 + 线外一点 ⇒ 唯一平面 推论 2：两条相交直线 ⇒ 唯一平面 推论 3：两条平行直线 ⇒ 唯一平面 3、 空间中的平行关系 （1） 平行直线与异面直线 1. 平行直线 传递性： 等角定理：两边分别平行且同向 ⇒ 两角相等；反向或一正一反 ⇒ 相等或互补。 2. 异面直线 定义：不同在任何一个平面内（不平行、不相交）。 异面直线所成角：平移至相交，取锐角或直角，范围 。 （2） 直线与平面平行（线∥面） 1. 判定定理： （平面外一条直线平行于平面内一条直线 ⇒ 线∥面） 2. 性质定理： （线∥面，过线作面交已知面 ⇒ 线∥交线） （3） 平面与平面平行（面∥面） 1. 判定定理： （一个平面内两条相交直线都平行于另一平面 ⇒ 面∥面） （垂直同一直线的两面平行） 2. 性质定理： （面∥面 ⇒ 面内线∥另一面） （两面平行，第三面截得交线平行） 4、 空间中的垂直关系 （1） 直线与平面垂直（线⊥面） 1. 定义：直线垂直于平面内所有直线 ⇒ 线⊥面。 2. 判定定理： （垂直于平面内两条相交直线 ⇒ 线⊥面） 3. 性质定理： （垂直同一平面的两直线平行） （平行线一条垂直平面 ⇒ 另一条也垂直） 4. 点面距离：垂线段长度；线面距离：平行线间距离（线∥面时）。 （2） 平面与平面垂直（面⊥面） 1. 二面角：从棱出发的两个半平面所成角，范围 ；平面角（棱上一点，两面内棱垂线所成角）。 2. 判定定理： （一个平面过另一平面的一条垂线 ⇒ 面⊥面） 3. 性质定理： （两面垂直，一面内垂直交线的直线 ⇒ 垂直另一面） 易错01 斜二测画法面积与长度错 错误：平行于y轴线段长度不变；直观图面积∶原图面积 = 1∶2 注意：平行y轴长度减半； 1．关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 2．如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 3．一梯形的直观图是如图的等腰梯形，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ）． A． B．2 C． D．4 5．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 易错02 旋转体定义混淆 错误：圆锥绕斜边旋转、球绕半径旋转 注意：圆锥绕直角边；球是半圆绕直径旋转而成 6．如图，封闭图形由线段，和曲线组成，其中，，三点共线，曲线是以为圆心，为半径的一段弧，且所对的圆心角为，将该图形绕着所在的直线旋转一周得到旋转体，则（    ）    A．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 B．该旋转体由个球体和1个圆锥体组成 C．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 D．该旋转体由个球体和1个圆台体组成 7．如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（   ） A． B． C． D． 8．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 9．如图是由下列哪个平面图形绕轴旋转而成的组合体（    ） A． B． C． D． 10．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是（　　）    A．   B．   C．   D．   易错03 棱台判断错误 错误：只要上下底面平行就是棱台 注意：棱台必须上下底平行且相似，对应边平行 11．下列几何体中，为棱台的是（   ） A． B． C． D． 12．（多选）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 13．（多选）在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 易错04 三点共面前提遗漏 错误：“三点确定一个平面” 注意：必须是不共线三点才能确定唯一平面 14．经过不在一条直线上的三个点的平面（   ） A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 15．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 16．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；                ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面；     ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 易错05 线面平行判定缺条件 错误：只看线线平行就判定线面平行 注意：必须满足，缺一不可 18．已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 19．已知直线和平面，若，且直线在平面内，则直线与平面的位置关系是__________ 20．已知两条不同直线，，两个不同平面，，有如下命题： ①若，，则或； ②若，，则； ③若，，，，则； ④若，，，则或与异面 以上命题正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 易错06 面面平行判定用平行线 错误：一个平面内两条平行线平行于另一平面⇒面面平行 注意：必须是两条相交直线都平行于另一平面 21．已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若、是异面直线，，，，，则 22．已知为直线，、为两个不同的平面，下面的条件能得出的是（    ） A．， B．， C．， D．与、所成角相等 23．平面α与平面β平行的充分条件可以是（    ） A．α内有无穷多条直线都与β平行 B．直线aα，aβ，且直线a不在α与β内 C．直线 ，直线，且bα，aβ D．α内的任何直线都与β平行 24．（多选）给出下面四个命题正确的是（   ） A．分别在两个平行平面内的两直线平行 B．若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面 C．如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，则这两个平面平行 D．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 25．在两平面平行的判定定理中，假设为两不同平面，为两不同直线，若要得到，则需要在条件“”之外补充条件______. 易错07 线面垂直判定用平行线 错误：垂直平面内两条平行线⇒线面垂直 注意：必须垂直平面内两条相交直线 26．已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 27．已知为直线，为平面，则下列条件是“”的充要条件的是（    ） A．垂直平面内的两条直线 B．垂直平面内的无数条直线 C．的方向向量垂直于平面的法向量 D．的方向向量平行于平面的法向量 28．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线与垂直 D．与相交，且交线与平行 30．已知直线，及平面，有下列命题：①；②；③；④.则其中正确命题的个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 31．下列平面中的两条直线与直线垂直，可以保证直线与平面垂直的是（    ） ①四边形的两边；②正六边形的两边；③圆的两条直径；④三角形的两边. A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 易错08 面面垂直性质漏交线 错误： 注意：必须，才能推出 32．已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 33．在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 34．已知直线和平面，，若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．已知，是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 36．已知，是平面，m，n是直线，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，，，则； ③若，，m，n是异面直线，那么n与相交； ④若，，则且． 其中错误的命题为______． 易错09 角度范围与取法混淆 错误：异面直线所成角取钝角；二面角与线面角不分 注意：异面角取锐角或直角；二面角 37．如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 38．在三棱锥中，，分别是，上的点，且，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 39．已知点P为空间一定点，过P且与两异面直线a、b所成角都为70°的直线共有3条，则异面直线a、b所成角为（    ）度 A．40 B．40或70 C．40或140 D．90 40．如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 41．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C、D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，在翻折过程中，下列三个说法中正确的个数是（    ） ①存在点E和某一翻折位置使得AE∥平面SBC； ②存在点E和某一翻折位置使得SA⊥平面SBC； ③二面角S﹣AB﹣E的平面角总是小于2∠SAE． A．0 B．1 C．2 D．3 1．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 2．能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是 A． B． C． D． 3．如图，在直角梯形中，，，.若梯形绕所在直线旋转一周，则所得几何体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥的棱长均为1，现将三棱锥绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 5．经过一条直线上3个点的平面（　　） A．有且仅有1个 B．有且仅有3个 C．有0个 D．有无数个 6．空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 7．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目： 项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中(如图2)，检查； 项目③：打开过程中(如图2)，检查； 项目④：打开后(如图3)，检查； 项目⑤：打开后(如图3)，检查． 下列检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．②③⑤ D．②④⑤ 8．下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   9．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，，，下列条件是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在直角梯形中，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的体积最大时，则下列命题中正确的个数是 ① ②∥平面 ③与平面所成的角等于与平面所成的角 ④与所成的角等于与所成的角 A． B． C． D． 11．（多选）上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（    ）    A．这个六面体是棱台 B．该六面体的外接球体积是 C．直线与异面 D．二面角的余弦值是 12．（多选）下列结论错误的有（    ） A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． D．没有公共点的两条直线是异面直线． 13．（多选）在正四棱台中，（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 14．（多选）下列四个命题中错误的是（    ） A．如果，是两条直线且，那么平行于经过的任何一个平面 B．如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 C．如果直线，和平面满足，，，那么 D．如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线必平行于平面 15．（多选）如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（    ） A．当时，S为四边形 B．当时，S为等腰梯形 C．当时，S的面积为 D．当时，S与的交点R满足 16．（多选）设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则下列说法正确的是（   ） A．若或，则 B．若，则或 C．若或，则 D．若，则或 17．（多选）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若平面平面，则 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．四棱锥的体积为8 18．（多选）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 19．（多选）已知正方体的棱长为，动点在正方体底面上（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．若，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 20．（多选）在棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，过点，D与平行的平面为，则（    ） A． B．平面截该三棱柱所得截面为直角三角形 C．平面平面 D．到平面的距离是棱长的 21．（多选）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（    ） A．三棱锥A−D1PC的体积不变 B．直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为 C．直线AP与平面ACD1所成角的大小不变 D．二面角P−AD1−C的大小不变 22．若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 23．如图，在棱长为2的正方体中，分别为正方形，的中心，点在正方形内（含边界）运动，若直线与平面无交点，则点所形成的轨迹长度为______． 24．如图，在圆柱中，轴截面是正方形，C在圆O的圆周上，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 25．如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $