题号猜押08 江苏苏州中考数学27题（解答题)（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以江苏各地市一模真题为载体，聚焦中考解答题核心考点，通过典型例题构建知识逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数综合|8题|含解析式求解、对称轴、动点面积、平移变换|从基础表达式到动态几何综合，体现数形结合思想| |四边形综合|7题|涉及矩形、菱形、旋转、相似及实践探究|以几何变换为核心，融合全等与相似推理| |新定义问题|5题|定义“齐角点”“关联三角形”等概念|抽象新概念并应用，培养数学抽象能力| |阅读探究实践|11题|含折叠、旋转放缩、面积分割等探究|通过阅读理解-迁移应用，发展数学表达与创新意识|

题号猜押08 江苏苏州中考数学27题（解答题) 考点1 二次函数综合问题 1．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①或；②或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式，再根据对称轴公式求解对称轴即可； （2）①先求出直线，设（），表示出，，再由正弦得到，据此解方程即可； ②可得四边形是矩形，连接，分两种情况讨论求解：当落在上时，符合题意；当矩形的对角线的中点落在直线上，符合题意． 【详解】（1）解：由题意得，将点，代入， 则 解得 ∴抛物线表达式为， ∴对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线对称轴为直线，且抛物线交x轴于点和点B， ∴， 设直线， 则代入点得，， 解得， ∴直线 设（）， ∵轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N ∴，， ∴， ∵， 则， ∴ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去） 综上：点P的横坐标为或； ②由题意得，， ∴四边形是矩形， 连接，当落在上时，如图： 此时四边形在直线与l之间的部分是，符合题意， 将点代入， 则 解得或（舍去）； 当矩形的对角线的中点落在直线上，中点记为点， ∵矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的中点， ∴此时四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半， ∵， ∴设直线， 代入点得，， 解得， ∴直线， ∵，， ∴，即， 将点代入， 则， 解得或（舍去）， 综上：点P的横坐标为或． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出对称轴和点D的坐标，根据待定系数法求出a、b的值； （2）过E作于F，根据角平分线的性质，然后根据可得出关于的方程，解方程即可求解； （3）①先求出平移后抛物线的解析式，分两种情况讨论：；，根据二次函数的性质求解即可； ②待定系数法求出的解析式，根据题意求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 3．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①先求出抛物线与坐标轴的交点，再把点代入抛物线表达式求解即可； ②先求出，设直线交轴于点，证明，求出，再求出直线的表达式，然后与抛物线表达式联立求解点； （2）找出两个临界位置求解即可． 【详解】（1）解：①对于，当时，； 当时，，解得 ∴， ∵抛物线经过点A， ∴ 解得 ∴二次函数表达式为； ②令， 解得， ∴ 如图，设直线交轴于点， ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线， 则， 解得 ∴直线 与抛物线联立得， 解得或 ∴； （2）解：， ∴抛物线顶点为， ∵点向右平移3个单位长度得到点D， ∴， ∴顶点在线段上方， ∴当时，抛物线开口向上，抛物线与线段没有交点； 当时，抛物线经过点时，如图： 则， 解得 此时抛物线与轴交点为，即，在点上方； 当抛物线经过点时，如图： 此时， 解得， ∴要使得抛物线与线段只有一个公共点，实数a的取值范围为． 4．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）如图，过作交于，求解直线的解析式为，设，可得，证明，再进一步求解即可． （3）求解，可得顶点坐标为：，设，当顶点在线段上时，可得， 如图，当在上时，可得：，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 5．（2026·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于两点，与轴正半轴交于点，． (1)填空：______，______． (2)一次函数（）的图像与二次函数的图像交于，两点，与轴交于点，且． ①求的值与的取值范围； ②试探究是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②或 【分析】（1）求出的坐标，待定系数法进行求解即可； （2）①联立直线和抛物线的解析式，得到对应的一元二次方程，根据根与系数的关系求出的值，根据方程有2个不相等的实数根，得到，求出的范围即可；②分点在点的左侧和右侧，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得 ，解得； （2）解：①由（1）可知：， 联立，得， ∴， ∵一次函数（）的图像与二次函数的图像交于，两点，， ∴是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴方程化为， ∴，解得； ②解：由①知：， ∴当时，， ∴， 当点在点左侧时： 作轴，轴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得（舍去）或； 当点在点右侧时， ∵， ∴为的中点， ∴， ∴． 综上：或． 6．（2026·江苏镇江·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为实数）的图像与轴交于点． (1)该二次函数图像的顶点坐标为___________；点的坐标为___________； (2)二次函数的图像记为，将抛物线沿轴向右平移个单位，得到的新抛物线恰好经过点．请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，过点作轴的平行线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），与新抛物线交于、两点（点在点的左侧）． ①当时，若有，求的值； ②已知，若有，求的值；当时，直接写出的取值范围是___________． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或；或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，即可得出顶点坐标；代入求出对应的值，即可得出点的坐标； （2）根据二次函数平移的性质得出新抛物线的解析式为，再代入点的坐标，求出的表达式即可； （3）①结合（2）中的结论得，根据抛物线和抛物线的解析式，可得抛物线与抛物线关于轴对称，则，得出，再代入抛物线的解析式即可求解；②根据抛物线的对称性，设点，，其中，再根据①中的结论得到，，由列出方程求出的值，再根据二次函数的性质即可求出的值；由列出不等式求出的取值范围，再根据二次函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴二次函数图像的顶点坐标为； 令，则， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，， ∵将抛物线沿轴向右平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵新抛物线恰好经过点， ∴， 解得或， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， 解得； 由（2）得，新抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∴抛物线与抛物线关于轴对称， ∵过点作轴的平行线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），与新抛物线交于、两点（点在点的左侧）， ∴， ∴， 代入点到抛物线，则， 解得，（舍去）， ∴的值为； ②由题意得，抛物线的解析式为，对称轴为直线， ∵过点作轴的平行线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧）， ∴、两点关于直线对称， ∴设点，，其中， 由①得，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴、两点关于轴对称，、两点关于轴对称， ∴，， ∴，， 若，则， 解得或， 当时，； 当时，； ∴的值为或； 当时，， 解得或， ∴或； 当时，则， ∵抛物线在时随着的增大而增大，且当时，， ∴当时，； 当时，则， ∵抛物线在时随着的增大而增大，且当时，；当时，， ∴当时，； 综上，的取值范围是或． 7．（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）将B点坐标代入函数表达式，即可求出b； （2）①与y轴的交点为G，求出过的直线表达式，联立求出交点D的坐标；以y轴的线段为底边，表示三角形的面积，面积比就是横坐标之比，与长度无关； 面积比值取最大值，即为所求； ②先求出过的直线方程，，所以两条直线的相等，点是与抛物线交点，与抛物线解析式联立，即可求得点横坐标． 【详解】（1）解：将，代入函数表达式，得： 解得： （2）解：①已知二次函数为， 令，得，y轴交点C坐标为， 令，解方程，得到x轴两个交点， 设过的直线解析式为：， 解得： ， 设点，过直线解析式为： 解得： ， 两直线表达式联立求交点D坐标， 解得： 点D坐标： 设与y轴交点为点G，如下图： 设点A横坐标为，点P横坐标为，点D横坐标为， 时，即点P横坐标：时，取得最大值，最大值为：． ② 由①可知：, 直线的表达式为：， 设直线的表达式为：，点， 则点，，如图所示： ， ， 点是与抛物线的交点，联立得方程组 解得：，（点P在第一象限，负值不符合题意，舍去）， 点的横坐标为：4． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解； （2）作轴，轴，证明，根据，进而根据二次函数的性质，得出时，原式最小取最小值，即可求解； （3）取的中点，以长为半径作圆，根据当在圆上时，，得出，代入抛物线求得，结合是钝角以及函数图象，即可确定的范围 【详解】（1）解：令，则 ， 在左侧 ， （2）解：如图，作轴，轴 轴，轴 ， ， 当时，， ∴， ， 直线 是常数 当时，原式最小 （3）解：取的中点，以长为半径作圆 当在圆上时， ， 将代入抛物线表达式 得到 （舍）， 是钝角 考点2 四边形综合问题（动点、几何变换、相似结合运用） 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点Q与点D重合时，求t的值； (2)作点E关于直线的对称点F，连接、． ①当点P与点A重合时，求四边形和矩形重叠部分的面积； ②当四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 【答案】(1)8秒 (2)①；②或或 【分析】（1）当点和点重合时，点在边上，设，则，由勾股定理得，，，则，由此解出，进而可求出t的值； （2）①设交于H，根据矩形的性质得到，，，证明，得到，，进而证明，根据轴对称的性质得到，证明，求出，根据四边形和矩形重叠部分的面积计算即可； ②分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：当点和点重合时，点在边上，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 秒； （2）解：①当点P与点A重合时，如图所示，设交于H， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵点E关于直线的对称点F， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴四边形和矩形重叠部分的面积 ； ②如图所示，当点在上，且四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时， ， 在中，， 则， ， ∴， 在中，， ， 解得， 当时，点在矩形内部， ∴符合题意． 当点在上时，当重合时符合题意，此时如图， 则， 在中，， ， 解得． 当点在上，当重合时，此时点与点重合， 则四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， 此时． 综上所述，或或． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图1，在等边中，点D，E分别是，边上一点（不与端点重合），且，连接，交于点P．将绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； (3)如图2，连接交于点Q，已知，随着的长度发生变化，当的长度取得最小值时，则的值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3) 【分析】（1）根据等边三角形及旋转的性质可证明，得出，则，即可证明； （2）证明，得出，证明，得出，即可得； （3）如图1，将，分别绕点A顺时针旋转得到，，连接，，则，，，得出，是等边三角形，证出，，即可得，如图2，当且仅当N，M，P，C四点共线时取得最小值，连接，证明四边形为菱形，求出．如图3，过点F作交的延长线于点G，证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 由旋转的性质可得，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：的大小不变． 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图1，将，分别绕点A顺时针旋转得到，，连接，，， ，，， ，是等边三角形， ，， ， ． 如图2，当且仅当N，M，P，C四点共线时取得最小值，连接， 则是等边三角形， ． 是等边三角形， ， ， 四边形为菱形， ，， ∵， ， 垂直平分， ， ， ． 由（1）得，，， ∴，， 如图3，过点F作交的延长线于点G， ， ，， ∴． ，， ， ，即， 解得， ． 3．（2026·江苏苏州·一模）综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②存在，或． 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得．由平行线可以推导出相似三角形；根据相似三角形对应边成比例，代入数据即可得出； （2）由题意得，利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导的关系； （3）①利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未知数建立方程，最终求出； ②由（2）得，同理，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 即， 整理得， 解得； （2）解：存在，、满足的等量关系为， 理由：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴； （3）解：①∵点M、Q重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简得， ∴， ∴； ②点M、Q不重合时，如图，点M在点Q左侧时， 同理，， 由（2）得， 同理， ∴， ∴； 如图，点M在点Q右侧时， 同理，， ∴； 综上，或． 4．（2026·江苏苏州·一模）数学实验：“探”为观“纸”． 三边长度之比为的直角三角形是同学们熟悉的几何图形．那么，能否通过折叠正方形纸片得到这样的三角形呢？下面，我们利用边长为1的正方形纸片进行探究． (1)【实验1】 如图①，已知点P为边的中点，将沿折叠得到．点Q为边上一点，将沿折叠，使与重合．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论； (2)【实验2】 如图②，已知点P为边的中点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？若存在，请指出所有这样的三角形，并选择其中的一个加以证明； (3)【实验3】 如图③，已知点P为边上一点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为．是否是三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论． 【答案】(1)存在，证明见详解； (2)存在，有三个，分别是：，，；证明见详解； (3)是，证明见详解． 【分析】（1）由折叠的性质可知，，由正方形的性质可知在一条直线上，且，，在中根据勾股定理求出三条边的长度，三边比例为，即为所求的三角形； （2）由折叠的性质可知，，由勾股定理求出，可得是三边比例为的直角三角形，再证明、都与相似，三边相似比相同； （3）根据正方形的性质，点Q为边的中点，结合折叠的性质，证明，得到，接着在中结合勾股定理，可求出三边比值，结论得证． 【详解】（1）解：存在，证明如下： 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将沿折叠，使与重合， ，， ， 在一条直线上，且， ∵在中，，, ， 解得， ， ∴存在三边长度之比为的直角三角形，即． （2）解：存在，分别是，，，证明过程如下： 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为 ∴，，， ∵在中，，， ∴， ， ， ∴是三边长度之比为的直角三角形； ， ，， ， ， ，， ， ∴，，这三个直角三角形是相似的，三边长度之比都是为． （3）解：是，证明如下： 证明：正方形边长为1，点Q为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为， ∴，，，，， ，， ， ， ，即①； 在中，根据勾股定理，有， 化简得②， ②代入①，得③， ③代入②，得， ，， ， ， 三边长度之比也是三边之比为的直角三角形． 5．（2026·江苏南通·一模）如图，矩形中，，，边上有一点E，从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿向右匀速运动，连接，过点A作，与边交于点F，设点E的运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)作点A关于的对称点，连接并延长交于点G，连接．若是等腰直角三角形，求证； (3)在（2）的条件下，求t的值． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质即可得出，代入求解即可． （2）根据轴对称的性质，，．再得出，再由（1），即可证明． （3）由相似三角形的性质得出，设，，由轴对称的性质以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，求出，最后由正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：当，则， ∵矩形中， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ∴； （2）证明：∵点A与点关于对称， ∴垂直平分，在上， ∴，． ∴在是等腰直角三角形中，． ∴． 由（1）， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， 设，， ∵，点A与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点分别作的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． ②借鉴第（2）①问的方法，过点作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）证明：如图，作，， 是的角平分线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①解：如图所示,过点分别作的垂线，交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ②解: 如图，作，作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； （2）解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； （3）解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 考点3 新定义问题 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）在矩形中，为水平底边，为竖直侧边，满足，，．点P在直线上，连接，我们给出如下定义：若，则称点P为矩形的齐角点．其中，当点P落在线段上时（如图1），称点P为内齐角点；当点P落在线段的延长线上时（如图2），称点P为外齐角点．已知矩形中，，建立平面直角坐标系：令，结合上述定义，完成下列问题： (1)判断：当时，点P是否为矩形的齐角点？并说明理由． (2)若点P为矩形的内齐角点，求线段的长度． (3)若点P为矩形的外齐角点，点M在平面直角坐标系内，且以为顶点的四边形是菱形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)不是，见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，首先根据题意证明为等腰直角三角形，易得，再证明，即可获得答案； （2）当点P为矩形的内齐角点，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，在中，由勾股定理解得；设，则，，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （3）当点P为矩形的外齐角点，且点在点右侧时，首先证明为等腰三角形，易得，再在中，由勾股定理解得，进而可知，由勾股定理可得的长度，根据菱形的性质“四条边长度相等”，可知若以为顶点的四边形是菱形，则以为邻边，为对角线，进而可得点落在直线上，且，然后确定点坐标；当点P为矩形的外齐角点，且点在点左侧时，可知，不符合题意． 【详解】（1）解：点P不是矩形的齐角点，理由如下： 如下图，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点P不是矩形的齐角点； （2）当点P为矩形的内齐角点，如下图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 设，则，， 在中，，即 解得 ∴； （3）当点P为矩形的外齐角点，且点在点右侧时，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，而， ∴若以为顶点的四边形是菱形，则以为邻边，为对角线， 此时， ∵点P落在线段的延长线上， ∴点落在直线上，且， ∴， ∵， ∴； 当点P为矩形的外齐角点，且点在点左侧时，如下图， 此时，不符合题意． 综上所述，若点P为矩形的外齐角点，点M在平面直角坐标系内，且以为顶点的四边形是菱形，则点M的坐标为． 2．（2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 【答案】(1)①是，不是；② (2) 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内；②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可． 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴小于半径， ∴在的内部，符合关联三角形的定义， 即是的关联三角形； 如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴在的外部，不符合关联三角形的定义， ∴不是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标为， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴； （2）解：根据题意得：P点坐标为， 如图，过点A作轴，过P，Q作，垂足分别为点E，F， 同理（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 解得：； 3．（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 【答案】(1)；；； (2)，证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合勾股定理求出的值，即可求解；连接，根据直角三角形的性质得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，，根据平行线的性质和等角对等边得出，根据勾股定理求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据勾股定理推得，据此即可证明； （3）连接，交于点，与交于点，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据平行线的性质得出，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，求得，根据平行四边形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据中线的定义得出，分别是的中线，结合（2）的结论，即可求解； （4）过点作轴于点，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，等量代换得出，即可证明． 【详解】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， 故 ∵ 故． 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，，； ，， ∴， ∴， 在中，， 故， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， ，， ， 故， 在中，， ， 在中，， 在中，， 故，， 即，，． （2）猜想：， 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，， 即，， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， 则， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 故， ， 整理，得． （3）如图所示，连接，交于点，与交于点， ∵点、G分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∵点，分别是，的中点， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ， ∴，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ∴， ． （4）如图所示，过点作轴于点，连接， 即， 根据题意可得， ∴． 在中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 又， 故． ∴点为线段的黄金分割点． 4．（2026·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内； ②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）分将P顺时针和逆时针旋转来讨论，思路是一样的先求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可，要注意的是建立的关于t的一元二次不等式是含有参数b的，再利用一元二次不等式要有解，判别式来求出b范围. 【详解】（1）解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴等于半径，小于半径， ∴、分别在的内部和圆周之上，都符合关联三角形的定义， ∴，都是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴． （2）解：设P点坐标为，由Q点可由顺时针或逆时针旋转得到，分类讨论： 当Q由顺时针旋转得到时，如图所示： 由（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 整理得， 若此时Q点存在，则此不等式一定要有解， ∴， 解得：； 当Q由逆时针旋转得到时，如图所示： 同理可得Q点的坐标为， 由勾股定理的得， 整理得， 同样的道理若要存在Q点，则此不等式要有解， ∴， 解得， 综上所述：或． 5．（2026·江苏泰州·一模）【阅读材料】 在平面内，取一个定点O，对于平面内任意一点A（点A不与点O重合），可以在射线上找到唯一的点，使得（k为正实数），我们把这种变换叫做反演变换，点叫做点A的反演点，点O称为反演中心，k称为反演幂． 例如：如图1，点在射线上，，，则点是点A关于点O的反演点，反演幂为12；反之，点A也是点关于点O的反演点，反演幂为12． 【基础理解】 (1)如图1，点O为反演中心，点是点A关于点O的反演点，反演幂为24．若，则_______； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以点A为反演中心，利用无刻度的直尺和圆规作出点B的反演点D，反演幂为9．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 (3)如图3，为的直径，弦于点E．P，M为弦上两点，分别延长，交于Q，N，若点Q，N分别是点P，M关于点A的反演点，反演幂分别为，，试判断与的数量关系，并说明理由． (4)如图4，已知的半径为5，点A为上一定点，点P为上的动点（不与点A重合），若点Q为点P关于点A的反演点，反演幂为40，则点Q不在外部的路径是_______（填“线段”或“圆弧”），请说明理由，并直接写出此路径的长． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)线段，理由见解析， 【分析】（1）根据题意得到，即可求出答案； （2）以点和分别为圆心，大于为半径画弧，交于，两点连接，交于点，以点为圆心为直径作圆，交于点； （3）连接，，证明，得到，再根据点是点关于点的反演点，得到，同理得到，即可得到结论； （4）连接，作直径，在上取一点，使得，连接，，证明，得到，点在过点且垂直于直径的直线上，路径不在圆外的部分是线段． 【详解】（1）解：反演幂为24， ， ， ； （2）解：以为直径作圆，交于点； ∴点即为所求作的点； 由尺规作图可知，， ，，， ， ， ， 在中， ， ； （3）解：． 理由如下：连接，， ， ， 是直径， ， ，又， ， ， 即， ∵点是点关于点的反演点， ， ． 同理，． ． （4）解：线段． 理由如下： 连接，作直径，在上取一点，使得，连接，， 点为点关于点的反演点，反演幂为40， ， ， ， ， 又， ， ， 是直径， ， ， ， 点在过点且垂直于直径的直线上， 路径不在圆外的部分是线段． 路径的长为． 考点4阅读探究实践类几何问题 1．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质； （2）①利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解； ②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可； （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：①如图，在中， ， ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， 又∵M是的中点，N是的中点， ； ； （3）解：如图，过点作，过点作，连接， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 2．（2026·江苏宿迁·三模）【综合与实践】从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． (1)如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ； (2)如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图，在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段的中点E处，点F落在射线上．若，求的长． (4)在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，直接写出之间的数量关系 （用含的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正方形的性质结合勾股定理即可求解； （2）由题意得，推出，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）作交于点H，先求出，，再根据勾股定理得出，，根据相似三角形性质得出，求出即可求出结论； （4）先证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，由余弦函数可得，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， ∴旋转角为，； （2）解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作交于点H， 四边形为菱形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∴ 为的中点， ， ∴在中，， 垂直平分， ， ， ∴在中，，， ， ， ， 由题意得，， ∴ ， ， 在中，， ； （4）解：过点作于点， 由题意得， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵M是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 3．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 【答案】探究发现：，，；实践应用：；拓展延伸：24 【分析】本题考查了图形面积的分割与组合，三角形面积公式的应用，等边三角形、圆的相关性质及勾股定理． 探究发现：通过三角形的面积关系得出线段关系； 实践应用：结合等边三角形和旋转的性质求出线段长度； 拓展延伸：利用圆的性质和勾股定理求出相关线段长度，进而求出三角形面积之和． 【详解】解：探究发现：∵在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； 实践应用：如图，过点C作于点M，过点F作于点N， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵将线段绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴； 拓展延伸：如图，延长、交于点T，过点P作于点S，连接， 设， ∵是半圆O的直径， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴． 1．（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 【分析】（1）根据正方形性质可求出点B的坐标，因为点A是顶点以及在上，结合对称轴公式可求出点A坐标，进而利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）因为点T，点Q，点R，点H均在二次函数图像、直线以及x轴上，可分别表示出这四个点的坐标，进而利用两点之间的距离公式表示出线段长，并代入式子进行计算即可； （3）在第（2）问的基础上表示出线段的长，并分别根据题干中所乘系数表示出线段长，进而根据等边三角形三边相等列出等式，进行计算即可求解. 【详解】（1）解：∵正方形的边长为8，∴， ∴点B的坐标为， ∵二次函数的解析式为，∴二次函数的图像也经过原点O， ∴二次函数图像的对称轴为直线， ∵点A是二次函数图像的顶点，且在上， ∴点A的坐标为， 将点A和点B分别代入可得， ，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵点T是直线上方的抛物线上一个动点， 设点T的坐标为， ∵轴，∴点R的坐标为， ∵直线过原点，∴设直线的解析式为， 将点A 代入，可得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴点Q的坐标为， ∴， ∵轴， ∴点H的坐标为， ∴，， ∴； ∴的值为常数； （3）同（2）可设点T的坐标为， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴，， 要使等边三角形存在，则一定存在： ， 化简，可得， 化简，可得， ∴， ∵，消去，解得， 当时，，∴点T的坐标为， ∴存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，点为中点，点在第四象限的抛物线上，连接，，，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，．过作轴于点，交于点，连接交抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）先求得的长即可得点坐标，根据待定系数法即可求解； （2）求得直线的解析式为，进而求得，，根据即可求解； （3）根据轴于点，轴于点，证明四边形是平行四边形，进而证明 是矩形，得，设，则，，，进而证明， ，作轴，截取，连接，，交于，证明，得出，根据三角函数进而求得，，， ，求得直线为，联立得，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：为中点，， ， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 如图，设直线与轴相交于点， 关于，当时，， ， ，， ； （3）解：轴于点，轴于点， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ，由（2）可知， ， ， ， 作轴，截取，连接，，交于， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 同理， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 将，分别代入得， ， 解得， ， ， 解得，或（舍去）， 点的坐标为． 3．（2026·江苏无锡·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可； （3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点， ； 对称轴为直线， ，则； 将代入得， 二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为，则点， 令，则， 解得或， 点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 直线， 与相交， 过点作、过点作，与相交于点，如图所示： 与的面积相等， ， 则， 在和中， ， ， ，即点是线段的中点， 、， 的坐标为，即， 将代入直线得， 解得； （3）解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况： 当交点、均在轴上方时，，如图所示： 设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧）， 联立， 消去得， ，， ， 则以为直径的圆的圆心， ， 当与轴相切时，， 即， ， 解得或（负值舍去）； 当交点、均在轴下方时，，如图所示： 同理可知， ， 解得或（正值舍去）； 当点与点重合时， 将代入，得， 解得； 或点与点重合时， 将代入，得， 解得； 综上所述，的值为或或或． 4．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 5．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）令得到一元二次方程，计算判别式来判断与轴的交点个数即可； （2）根据抛物线对称轴的性质求出抛物线的表达式为，分情况讨论：当或时，利用抛物线的图象性质分析最大值与最小值的情况，据此解答即可； （3）根据题意得到平移后抛物线的表达式为，进而求出点、坐标，利用待定系数法求出直线的表达式，设，则、、，进而求出、、长，分情况讨论：当点在点的上方或点在点的上方时，设直线交直线于点，与交于点时，根据题意列方程求出值，结合点在直线的右侧的第一象限内，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ， 此种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：， 解得或， 、， 令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：， ， 点在直线的右侧的第一象限内， ， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 将代入得： ， ； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：， 解得， ， 、， 由题意得：， ， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得： ， ， 综上所述，点的坐标为或． 6．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 7．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 8．（2026·江苏无锡·一模）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，，点坐标，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，点是线段下方抛物线上一动点，连接交线段于点，设，当时，求的值； (3)如图2，在线段上方有一条动直线EF始终与线段平行，且与抛物线交于、两点，直线与交于点，的面积能否为，若能，直接写出点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）根据待定系数，可得出点、、的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）设点的坐标为，由勾股定理得，得方程，求解出的值，得出点坐标，再求出直线、的表达式，通过函数表达式求交点坐标，得点的横坐标可为相对应点横坐标之差的比例，即可得出的值； （3）通过直线平行，可得令直线的表达式为，设，，由韦达定理得，，用、、表示出直线、的表达式，通过求其交点坐标，得出点横坐标固定不变，始终为，令点坐标为，根据割补法求出其面积表达式，列出方程，求解出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点坐标， ∴， ∵， ∴，， 故，， 将点，，代入， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：假设点的坐标为， ∵，， ∴， ，， ∵， ∴， 得方程， 化简得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 令直线的表达式为， 将点代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得， 解得， 故点的横坐标为，纵坐标为， 分别过点、作轴于点，轴于点，如下图所示： ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：由（2）得直线的表达式为， 即对应， ∵， 故令直线的表达式为， 联立与， 得， 设，，由韦达定理得，， 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 设直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线的表达式为； 联合和， 得，结合，， 求解出， ∴点横坐标固定不变，令点坐标为， 过点作轴交轴于点，如下图所示： ∴， 即， 解得， 故点的坐标为． 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）先求出直线的解析式为．求得面积的最大值即可求得结论； （3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1） 解：二次函数的图像经过点，点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为， ， 顶点； （2）解：对称轴为直线，点，轴， ， ，， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 过作轴交于点， 设，则， ， ， ， 当时 ，为最大值， 四边形面积的最大值为； （3）解：当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或， 理由：①当四边形为平行四边形时，． 连接，过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ． 过点作轴于点， 设，则， ∵， ， ． ， ∴． ∴； ②当四边形为平行四边形时，．连接， 过点作轴于点，设与交于点，如图， ∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ， 过点作轴于点， 设，则， ∵， ∴， ， ． ∴，． 综上，当以点为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 10．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知正方形的边长为，E为边上一点，连接．以为边向外侧作正方形，连接． (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)如图2，连接，交于点O，与交于点H，延长交于点P． ①请写出的度数，并说明理由； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②5 【分析】（1）延长交于点M，证明出四边形是矩形，然后结合E为中点求出，，然后利用勾股定理求解； （2）①如图，连接，设与交于点I，得到，是等腰直角三角形，推出，，证明出，得到，然后利用三角形内角和定理即可求出； ②如图，连接，设，则，证明出，表示出，然后证明出，表示出，然后进一步得到，，最后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点M， ∵正方形的边长为， ∴， ∵正方形， ∴四边形是矩形， ∵E为中点， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 如图，连接，设与交于点I， ∵四边形，是正方形， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，连接， 设，则 ∵四边形是正方形 ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴点A，B，C，P四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 由①得，， ∴，即， ∴， ∵在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）方法1：平移线段至交于点，证明四边形是平行四边形，得出，再证明，即可得出结论； 方法2：平移线段至交于点，则四边形是矩形，再证明，即可得出结论； （2）将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，设正方形网格的边长为单位1，由勾股定理求得，，，得出，则，由即可得出结果； （3）①平移线段至处，连接，由证得 ，得出，，证明 ，得出 ，即可得出结果； ②证明，得出即可求解． 【详解】（1）(1)证明：方法1：平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得， 四边形是正方形， ，°，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 方法2：平移线段至交于点，如图， 则四边形是矩形，， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接，如图， ， 设正方形网格中小正方形的边长为单位1， 则，，，，，， 由勾股定理可得，，，， ， 即， 为直角三角形，， ； （3）解：①平移线段至处，连接，如图， 则，四边形是平行四边形， ， 四边形与四边形都是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ； ②如图， 为正方形的对角线，， ， ， ， ， ， ． 12．（2026·河南洛阳·一模）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 【答案】(1) (2)①；②点Q是四边形的等垂点，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由可等垂四边形的定义可证明，即可进一步得到，从而可证明，同理可得，即可得出结论； （2）①先证明，可得，，即可得出结论； ②延长，相交于点E，先证明，得到，，可进一步证明，再根据等腰三角形的三线合一性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论； （3）当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解； 当点B在上，点C在上时，设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F，设，即可根据相似三角形的判定与性质列方程求解． 【详解】（1）解：； 理由如下： 矩形是可等垂四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①； 理由如下： 四边形是可等垂四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， ， ，， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； （3）解：或．理由如下： 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点C作于点E， 设， 四边形是可等垂四边形， 且， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， 解得， ，， 在中，； 当点B在上，点C在上时， ， 设点O为等垂点，连接，，过点B作于点F， 设， ， ， ， ， ，， 由（2）可知，， ，， ， 解得， ， 在中，； 13．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等； （2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果； （3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果； （4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出 ，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 14．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 【答案】(1) (2)2 (3)①；② 【分析】（1）先由圆周角定理得到，然后证明，再由勾股定理可得，，则；证明，则，证明，则，即可求解和； （2）先证明，则，设，，则，则，解得在中，，在中，，再由即可得到答案； （3）①设点到的距离为，边上的高为，先证明，则①，然后在中由勾股定理得到②．联立①②解得，，再证明，则得到； ②连接，先证明，由，求出．在中有，在中有，那么，由，求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 为的平分线， ， ，， ∴， ； ，， ，， ； ，， ， ， ，， ， ， ，． 故答案为： ； （2）解：，， ， ∵， ， ， ， ， 设，，则， ， 整理得：， 解得：或（负数舍去）， 在中，， 在中，， 即； （3）解：①设点到的距离为，边上的高为， 在中，平分， ， ∴， ①， ， 在中，②． 联立①②解得，， 又，， ， ， 即； ②连接， 点I是的内心， ，， ， 即， ． ，，， ， ． 在中，， 在中，， ． ∵， ∴， ， ， ． 16．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键． （1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论； （2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论； （3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论． 【详解】解：（1），， ． 由折叠可得，， ，， ． ，， ， ，即， ． 故答案为：． （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 17．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：数量关系：，位置关系：． 理由如下：， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 【答案】（1）（2）或（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形，边长为4， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； （3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 19．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，见解析（2）（3）（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容__________； (2)小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； (3)小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设，则，利用题中给出的信息，分别求出，然后分别验证选项是否成立即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得，， 故答案为：； （2）图5中还有黄金矩形， 证明：， ， ， 矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设，则， ， ， ， ， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 江苏苏州中考数学27题（解答题) 考点1 二次函数综合问题 1．（2026·江苏扬州·一模）抛物线（b、c为常数）图象交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的表达式及其对称轴； (2)点P是抛物线上的一点，且位于对称轴左侧，轴，交直线于点M，轴，交抛物线的对称轴于点N． ①如图1，连接，若，求点P的横坐标； ②如图2，过点A作直线，轴，交抛物线的对称轴于点Q．若四边形在直线与l之间的部分的面积是它的面积的一半时，则点P的横坐标为______． 2．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 3．（2026·江苏徐州·一模）已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B． (1)如图，若抛物线经过点A，且与x轴的另一个交点为点C． ①求出这个二次函数的表达式； ②在抛物线上存在点P，使得平分，求点P的坐标； (2)把点B向右平移3个单位长度得到点D，若抛物线与线段只有一个公共点，求实数a的取值范围． 4．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 5．（2026·江苏苏州·一模）如图，二次函数的图像与轴正半轴交于两点，与轴正半轴交于点，． (1)填空：______，______． (2)一次函数（）的图像与二次函数的图像交于，两点，与轴交于点，且． ①求的值与的取值范围； ②试探究是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．（2026·江苏镇江·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为实数）的图像与轴交于点． (1)该二次函数图像的顶点坐标为___________；点的坐标为___________； (2)二次函数的图像记为，将抛物线沿轴向右平移个单位，得到的新抛物线恰好经过点．请用含的式子表示； (3)在（2）的条件下，过点作轴的平行线，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），与新抛物线交于、两点（点在点的左侧）． ①当时，若有，求的值； ②已知，若有，求的值；当时，直接写出的取值范围是___________． 7．（2026·江苏常州·一模）如图，二次函数的图像与轴交于点，（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，． (1)填空：_________； (2)若点是第一象限抛物线上一点． ①连接，交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值； ②过点作轴，垂足为，作直线交轴负半轴于点．若，求点的横坐标． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 考点2 四边形综合问题（动点、几何变换、相似结合运用） 1．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点Q，连接，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点Q与点D重合时，求t的值； (2)作点E关于直线的对称点F，连接、． ①当点P与点A重合时，求四边形和矩形重叠部分的面积； ②当四边形和矩形重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 2．（2026·江苏徐州·一模）如图1，在等边中，点D，E分别是，边上一点（不与端点重合），且，连接，交于点P．将绕点B逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； (3)如图2，连接交于点Q，已知，随着的长度发生变化，当的长度取得最小值时，则的值为_______． 3．（2026·江苏苏州·一模）综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 4．（2026·江苏苏州·一模）数学实验：“探”为观“纸”． 三边长度之比为的直角三角形是同学们熟悉的几何图形．那么，能否通过折叠正方形纸片得到这样的三角形呢？下面，我们利用边长为1的正方形纸片进行探究． (1)【实验1】 如图①，已知点P为边的中点，将沿折叠得到．点Q为边上一点，将沿折叠，使与重合．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论； (2)【实验2】 如图②，已知点P为边的中点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？若存在，请指出所有这样的三角形，并选择其中的一个加以证明； (3)【实验3】 如图③，已知点P为边上一点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为．是否是三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论． 5．（2026·江苏南通·一模）如图，矩形中，，，边上有一点E，从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿向右匀速运动，连接，过点A作，与边交于点F，设点E的运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)作点A关于的对称点，连接并延长交于点G，连接．若是等腰直角三角形，求证； (3)在（2）的条件下，求t的值． 6．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 7．（2026·江苏无锡·一模）问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． (1)【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． (2)【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． (3)【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 考点3 新定义问题 1．（2026·江苏泰州·模拟预测）在矩形中，为水平底边，为竖直侧边，满足，，．点P在直线上，连接，我们给出如下定义：若，则称点P为矩形的齐角点．其中，当点P落在线段上时（如图1），称点P为内齐角点；当点P落在线段的延长线上时（如图2），称点P为外齐角点．已知矩形中，，建立平面直角坐标系：令，结合上述定义，完成下列问题： (1)判断：当时，点P是否为矩形的齐角点？并说明理由． (2)若点P为矩形的内齐角点，求线段的长度． (3)若点P为矩形的外齐角点，点M在平面直角坐标系内，且以为顶点的四边形是菱形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 2．（2026·江苏常州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． (1)如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； (2)如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 4．（2026·江苏扬州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点Q和，给出如下定义：若存在点Q在内（包含圆周），则称为的关联三角形． (1)如图1，若点 ①已知点，，则在，中为⊙O的关联三角形的是 ； ②P是x轴上的动点，且为的关联三角形，则点P横坐标m的取值范围是 ； (2)如图2，若点，直线上存在点P使得为的关联三角形，直接写出b的取值范围． 5．（2026·江苏泰州·一模）【阅读材料】 在平面内，取一个定点O，对于平面内任意一点A（点A不与点O重合），可以在射线上找到唯一的点，使得（k为正实数），我们把这种变换叫做反演变换，点叫做点A的反演点，点O称为反演中心，k称为反演幂． 例如：如图1，点在射线上，，，则点是点A关于点O的反演点，反演幂为12；反之，点A也是点关于点O的反演点，反演幂为12． 【基础理解】 (1)如图1，点O为反演中心，点是点A关于点O的反演点，反演幂为24．若，则_______； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以点A为反演中心，利用无刻度的直尺和圆规作出点B的反演点D，反演幂为9．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 (3)如图3，为的直径，弦于点E．P，M为弦上两点，分别延长，交于Q，N，若点Q，N分别是点P，M关于点A的反演点，反演幂分别为，，试判断与的数量关系，并说明理由． (4)如图4，已知的半径为5，点A为上一定点，点P为上的动点（不与点A重合），若点Q为点P关于点A的反演点，反演幂为40，则点Q不在外部的路径是_______（填“线段”或“圆弧”），请说明理由，并直接写出此路径的长． 考点4阅读探究实践类几何问题 1．（2026·江苏宿迁·一模）按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 2．（2026·江苏宿迁·三模）【综合与实践】从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． (1)如图，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ； (2)如图，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图，在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段的中点E处，点F落在射线上．若，求的长． (4)在菱形中，，对角线相交于点O，M是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转并放缩得到（点M，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，直接写出之间的数量关系 （用含的式子表示）． 3．（2026·江苏南通·一模）综合与实践 问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系． 探究发现：如图1，在中，，P是边上一点，过点P作于D，于E，过点A作于F，连结，由图形面积分割法得： ，则 + ； 实践应用：如图2，是等边三角形，，点G是边上一点．连结，将线段绕点C逆时针旋转得，连结交于P，过点P作于D，于E，当时，求的值； 拓展延伸：如图3，已知是半圆O的直径，，是弦，弧AC=弧BE，P是上一点，，垂足为D，，，，求的值． 1．（2026·湖南株洲·一模）如图，四边形OBCD是边长为8的正方形，B，D分别在x，y的正半轴上，二次函数的图像经过点B且其顶点A在边上，连接，作轴于点H，T是直线上方的抛物线上一个动点（T不与O，A重合），过点T作轴于点R，交于点P，交于点Q． (1)直接写出点A的坐标，并求出该二次函数的解析式； (2)求证：的值为常数； (3)是否存在实数使得以，，（为常数，）的值为三边长的三角形为等边三角形？若存在，请说明理由，并求出的值和点T的坐标；若不存在，也请说明理由． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知：如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，点为中点，点在第四象限的抛物线上，连接，，，点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作轴于点，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，．过作轴于点，交于点，连接交抛物线于点，若，求点的坐标． 3．（2026·江苏无锡·一模）二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． (1)求二次函数的表达式； (2)若与的面积相等时，求的值； (3)当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 4．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 5．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 6．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 8．（2026·江苏无锡·一模）如图1，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，，点坐标，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)在图1中，点是线段下方抛物线上一动点，连接交线段于点，设，当时，求的值； (3)如图2，在线段上方有一条动直线EF始终与线段平行，且与抛物线交于、两点，直线与交于点，的面积能否为，若能，直接写出点的坐标，若不能，请说明理由． 9．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接． (1)求该二次函数的解析式及点M的坐标． (2)若点E是直线上方的抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． (3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 10．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知正方形的边长为，E为边上一点，连接．以为边向外侧作正方形，连接． (1)如图1，当E为中点时，求的长； (2)如图2，连接，交于点O，与交于点H，延长交于点P． ①请写出的度数，并说明理由； ②当时，求正方形的面积． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略． 【问题情境】 如图1，在正方形中，、，分别是，，上的点，于点．求证：小明在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法1：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 方法2：平移线段使点与点重合，构造全等三角形； 【尝试应用】 (1)请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图2，正方形网格中，点，，，为格点，交于点则：的值为_________； (3)如图3，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段，于点，． ①求的度数； ②连接交于点，直接写出的值． 12．（2026·河南洛阳·一模）在学习特殊四边形的过程中．同学们积累了一定的研究经验． 某班数学兴趣小组尝试定义了一种新的四边形，并结合所学知识对其展开进一步探究． 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：在四边形中，边上存在一点O，使得且，则四边形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． 根据定义可得出特殊的可等垂四边形的一些性质． 【初步探索】 (1)如图1，矩形是可等垂四边形，点O是它的等垂点，则和的数量关系是__________． 【类比探究】 (2)如图2，四边形是可等垂四边形，且，，点P是它的等垂点． ①四边形的边，和之间的数量关系是___________； ②在图2中取边的中点Q，并连接，，则点Q是四边形的等垂点吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由（若需使用①中的结论，可直接使用，不必另行证明）． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离． 13．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 14．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 15．（2026·湖南长沙·一模）如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接． (1)填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上） (2)如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值； (3)如图3，记，， ①试用含m，n的式子表示； ②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示． 16．（2025·山东东营·中考真题）    （1）探索发现 东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________． （2）猜想验证 项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明． （3）拓展应用 如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：． 17．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 18．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 19．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴．    ① 在中，∵，∴ ．    ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 20．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容__________； (2)小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； (3)小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 江苏苏州中考数学27题（解答题) 考点1 二次函数综合问题 1． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①或；②或 2． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 3． 【答案】(1)①；② (2) 4． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 5． 【答案】(1) (2)①，；②或 6． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或；或 7． 【答案】(1) (2)①；②4 8． 【答案】(1)， (2) (3) 考点2 四边形综合问题（动点、几何变换、相似结合运用） 1．【答案】(1)8秒 (2)①；②或或 2． 【答案】(1) 证明：为等边三角形， ，， 由旋转的性质可得，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； (2)不变， (3) 3． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②存在，或． 4． 【答案】(1)存在，证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ∴，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将沿折叠，使与重合， ，， ， 在一条直线上，且， ∵在中，，, ， 解得， ， ∴存在三边长度之比为的直角三角形，即 (2)存在，有三个，分别是：，，； 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为 ∴，，， ∵在中，，， ∴， ， ， ∴是三边长度之比为的直角三角形； ， ，， ， ， ，， ， ∴，，这三个直角三角形是相似的，三边长度之比都是为． (3)是 证明：正方形边长为1，点Q为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为， ∴，，，，， ，， ， ， ，即①； 在中，根据勾股定理，有， 化简得②， ②代入①，得③， ③代入②，得， ，， ， ， 三边长度之比也是三边之比为的直角三角形． 5．【答案】(1)3 （2）证明：∵点A与点关于对称， ∴垂直平分，在上， ∴，． ∴在是等腰直角三角形中，． ∴． 由（1）， ∴， ∴； (3) 6． 【答案】(1) 证明：如图，作，， 是的角平分线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ． (2)①；② 7． 【答案】(1) (2)下移的距离为 (3) 考点3 新定义问题 1． 【答案】(1)不是， 解：点P不是矩形的齐角点，理由如下： 如下图，过点作于点， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点P不是矩形的齐角点； (2) (3) 2． 【答案】(1)①是，不是；② (2) 3． 【答案】(1)；；； (2)， 如图所示，连接， 根据题意可得：、是的中线，， 即，， ∵、是的中线， ∴，， ∴是的中位线， 则， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 故， ， 整理，得． (3) (4) 如图所示，过点作轴于点，连接， 即， 根据题意可得， ∴． 在中，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 又， 故． ∴点为线段的黄金分割点． 4． 【答案】(1)①，；② (2)或 5． 【答案】(1)4 (2) 解：以为直径作圆，交于点； ∴点即为所求作的点； 由尺规作图可知，， ，，， ， ， ， 在中， ， ； (3)， 理由如下：连接，， ， ， 是直径， ， ，又， ， ， 即， ∵点是点关于点的反演点， ， ． 同理，． ． (4)线段， 理由如下： 连接，作直径，在上取一点，使得，连接，， 点为点关于点的反演点，反演幂为40， ， ， ， ， 又， ， ， 是直径， ， ， ， 点在过点且垂直于直径的直线上， 路径不在圆外的部分是线段． 路径的长为． 考点4阅读探究实践类几何问题 1．【答案】(1) (2)①；；② (3) 2． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 3．【答案】探究发现：，，；实践应用：；拓展延伸：24 1． 【答案】(1)点A的坐标为，二次函数的解析式为； (2)的值为常数； (3)存在时，等边三角形存在，此时点T的坐标为. 2． 【答案】(1) (2)； (3) 3． 【答案】(1) (2) (3)的值为或或或． 4． 【答案】(1) (2) (3)①；② 5． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点， 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； (2) (3)或 6． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 7． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 8．【答案】(1) (2) (3)能， 9． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为或 10．【答案】(1) (2)①， 如图，连接，设与交于点I， ∵四边形，是正方形， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②5 11． 【答案】(1) 平移线段至交于点，如图， 由平移的性质得， 四边形是正方形， ，°，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； (2) (3)①；② 12． 【答案】(1) (2)①；②点Q是四边形的等垂点， ②点Q是四边形的等垂点； 证明：延长，相交于点E， 点Q是的中点， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 点Q是四边形的等垂点； (3)或 13．【答案】（1）如图：线段，点即为所求， （2），如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴；； （3）；（4） 14．【答案】(1) (2) (3) 15．【答案】(1) (2)2 (3)①；② 16． 【答案】（1）； （2）方案①： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      ∵，                                               ∴， ∴， ∴． 方案②： 证明：∵， ∴，． ∵， ∴， ∴．                                                      ∵，                                               ∴， 即． 方案③ 证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，                                              ∴，                                        ∴， ∴． （3）证明：∵平分， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴．                                                      又∵，                                        ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 17．【答案】（1），； （2）数量关系：，位置关系：， 理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3） 18． 【答案】（1）（2）或（3） 19．【答案】（1），，， 如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2） （3） （4） 20． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形， 证明：， ， ， 矩形是黄金矩形； (3) 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $