（期末专项复习）专题14长方体和正方体解决问题拔高版一（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册期末高频易错题思维综合练（苏教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体体积与表面积的实际应用，通过25道拔高题构建“公式推导-情境迁移-综合辨析”的方法体系，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |体积计算|8题（如土豆体积、铁块体积）|排水法（水面上升体积=物体体积）|从正方体体积公式推导到不规则物体体积转化| |表面积计算|7题（如无盖鱼缸、水槽）|无盖表面积公式（少算一个顶面）|从完整表面积到实际场景中面数调整| |综合应用|10题（如净含量判断、漏刻计时）|容积与体积辨析（考虑材料厚度）|结合生活情境实现数学建模与单位换算|

（期末专项复习）专题14长方体和正方体解决问题拔高版一 一、解答题 1．计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 2．公元前344年，商鞅任“大良造”时颁发了一件标准量器商鞅铜方升。这个长方体容器内口长约12厘米，宽约7厘米，深约2厘米。如果把105毫升水倒进商鞅铜方升中，那么水深多少厘米？ 3．如图，一个棱长20厘米的正方体玻璃容器，里面已经盛了一些水。如果将一个土豆完全浸没在水中，那么水面就会上升2厘米，求这个土豆的体积。 4．工人叔叔制作一个长20厘米，宽10厘米、高40厘米的小型无盖玻璃鱼缸，至少需要多少平方分米玻璃？如果玻璃厚度忽略不计，需要多少升水可以装满？ 5．一个密封的玻璃缸，长12分米，宽4分米，高6分米，玻璃缸里的水深5分米（如图1）。将这个玻璃缸竖起来（如图2），此时玻璃缸里的水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计） 图1                图2 6．汽车的油箱长8分米，宽5分米，高4分米，如果每升汽油重0.7千克，这 个油箱可装汽油多少千克？（壁厚不计） 7．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 8．李师傅用玻璃做一个无盖的长方体鱼缸，长8分米，宽6分米，高5分米。做这个鱼缸需要多少平方分米玻璃？ 9．如图①为一个长方体玻璃缸，从里面量，长30厘米，宽15厘米，高20厘米，里面装有一些水。如图②，现将一端抬高后，AB长4厘米，CD长3厘米。 （1）玻璃缸中水的体积是多少升？ （2）如果将这端继续抬高，水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，请你画出此时从前面看，水在玻璃缸中的形状，用阴影表示。 10．一块长方形铁皮，长120cm、宽80cm。在它的四个角上分别剪去一个边长30cm的正方形，然后焊接成一个无盖的铁箱。制作这个铁箱需要多少平方厘米的铁皮？ 11．将棱长是1.5dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.75dm，然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2dm（水没有溢出）。求铁块的体积。 12．苏轼的一首词《卜算子·黄州定慧院寓居作》中有一句“缺月挂疏桐，漏断人初静”，其中的“漏”指的是我国古代计时器漏刻。王军的爸爸做了一个长方体漏刻，并在漏刻外面标了刻度。从里面量，漏刻长50厘米，宽40厘米，高30厘米。装满水的漏刻工作1小时后水面下降16厘米，此时漏刻内还剩下水多少升？ 13．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长6分米，宽4分米，高3分米，水深25厘米。 （1）做这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）为了装饰鱼缸，小明买了一些石头和水草，全部浸没在水中后，水面高度变为27厘米，问这些石头和水草的体积是多少？ 14．将三个棱长为10cm的正方体钢锭浸没在一个长方体容器中（水未溢出），取出全部钢锭后，水位下降4cm。这个容器的底面积是多少平方厘米？ 15．如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 16．如下图所示的是一个无盖的泡沫箱，从外面量长35cm、宽20cm、高18cm；从里面量长20cm、宽15cm、高16cm。请选择合适的数据算一算，泡沫箱的容积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 17．文化广场中心有一个“百花争艳”花坛，从外面量，长3.4米，宽1.2米，高0.5米。 （1）给这个花坛的四周贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）如果花坛四壁厚0.2米，那么将花坛内填满土，需要泥土多少立方米？ 18．“度量”一词最早可追溯到《周礼·夏官·合方氏》，其中提到“同其数器，壹其度量”，这里的“数器”指的是数量和器具，“度量”则是指计量的标准。 （1）填一填。 度量长度 上面线段中包含（    ）个1m，长度就是（    ）m。 度量面积 上面长方形包含（    ）个1m2，面积就是（    ）m2。 度量体积 上面长方体包含（    ）个1m3，体积就是（    ）m3。 （2）想一想，度量图形的长度、面积和体积有什么相同点？ 19．一辆汽车的油箱是一个长方体，从里面量，长为5分米，宽为3.2分米，高为4分米。 （1）做这个油箱至少需要多少平方分米铁皮？（接缝处所用材料略去不计） （2）如果每升油重0.85千克，这个油箱最多能装油多少千克？ 20．夏天快到了，张叔叔准备把承包的一个长方体养鱼池改建成露天游泳池。 （1）这个养鱼池长60米，宽35米，深2.5米，改建成游泳池需要在四壁和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）为了警示来游泳的顾客注意安全，张叔叔还准备在游泳池的内池口周围刷一圈红色的油漆，如果每刷1米红色油漆条的成本是2.6元，请你帮张叔叔计算刷红色油漆条一共需要多少元？ 21．下图是淘气的一辆玩具汽车，他计划给这个玩具汽车设计一个刚好能容纳它的长方体包装盒。 （1）以下是此长方体包装盒的草图，请在图上清晰标注出与容纳玩具汽车对应的长、宽、高数据。（纸板厚度忽略不计） （2）计算制作这个长方体包装盒，至少需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度忽略不计） 22．王叔叔用铁皮做了一个长方体的容器，下面是这个容器展开的三个面。（单位：分米） （1）在下图上画出其余的三个面，使它成为一个完整的展开图。 （2）这个容器的占地面积是多少平方分米？ 23．悦悦按如下步骤自制黑珍珠奶茶： 步骤1：准备一个长方体的杯子，从里面量，长5厘米，宽4厘米，高15厘米； 步骤2：将200毫升的牛奶倒入杯子里； 步骤3：在杯子里放入50颗大小相同的“黑珍珠”，此时正好满杯。 （1）没放“黑珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是多少厘米？ （2）每颗“黑珍珠”的体积是多少立方厘米？ 24．如图，师傅将一块长分米、宽分米的铁皮，从四角分别剪去一个边长为分米的正方形，然后折叠、焊接为一个无盖的长方体水槽。 （1）做成这个水槽至少需要铁皮多少平方分米？ （2）这个水槽最多可以盛水多少升？ 25．一个无盖的长方体玻璃缸，从里面量长8分米，宽6分米，高3分米。 （1）制作这样的一个玻璃缸，需要多少平方分米的玻璃？ （2）缸内水深2.8分米，如果竖直放入一块棱长为3分米的正方体铁块，缸里的水会溢出吗？请说明理由。 参考答案 1．不合理 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【详解】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 2．1.25厘米 【分析】先根据进率“1毫升＝1立方厘米”将105毫升换算成105立方厘米；再根据“长方体的高＝体积÷底面积”，用水的体积除以长方体容器的底面积，求出水的深度。 【详解】105毫升＝105立方厘米 105÷（12×7） ＝105÷84 ＝1.25（厘米） 答：水深1.25厘米。 3．800立方厘米 【分析】土豆完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于土豆的体积。已知正方体玻璃容器的棱长是20厘米，土豆完全浸没在水中，水面就会上升2厘米，用“正方体容器的棱长×棱长×水面上升的高度”即可求出土豆的体积。据此解答。 【详解】20×20×2 ＝400×2 ＝800（立方厘米） 答：这个土豆的体积是800立方厘米。 4． 26平方分米；8升 【分析】这道无盖玻璃鱼缸的题目，计算所需玻璃面积时要注意鱼缸只有5个面，根据长方形面积公式长×宽，用长20厘米×宽10厘米的底面积，加上2个长20厘米×高40厘米、2个宽10厘米×高40厘米的侧面积，算出总面积，再根据1平方分米＝100平方厘米，换算单位；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入计算出鱼缸的体积，再根据1升＝1000立方厘米，换算单位即可。 【详解】20×10＋（10×40＋40×20）×2 ＝200＋（400＋800）×2 ＝200＋1200×2 ＝200＋2400 ＝2600（平方厘米） 2600平方厘米＝26平方分米 20×10×40 ＝200×40 ＝8000（立方厘米） 8000立方厘米＝8升 答：至少需要26平方分米玻璃，可以装8升水。 5．10分米 【分析】观察图1，水的体积＝玻璃缸的长×宽×水深；观察图2，此时玻璃缸的侧面变成了底面，水的体积÷（原来的宽×原来的高）＝此时水深。 【详解】12×4×5÷（4×6） ＝240÷24 ＝10（分米） 答：此时玻璃缸里的水深10分米。 6． 112千克 【分析】已知汽车油箱长8分米，宽5分米，高4分米，根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”求出油箱的容积，再将立方分米换算为升（1立方分米＝1升）；每升汽油重0.7千克，用每升汽油的质量乘油箱的容积即可求出这个油箱可装的汽油质量。 【详解】8×5×4 ＝40×4 ＝160（立方分米） 160立方分米＝160升 0.7×160＝112（千克） 答：这个油箱可装汽油112千克。 7．表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 8．188平方分米 【分析】解答这道题需熟知长方体表面积的公式：长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2或长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，题目中已知长方体长8分米，宽6分米，高5分米。还需明确：这是一个无盖的长方体鱼缸，也就是长宽面只有1个。所以表面积公式可以结合题意改写为：玻璃面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2。据此解答。 【详解】根据分析： （平方分米） 答：做这个鱼缸需要188平方分米玻璃。 9．（1）4.275升 （2） 【分析】（1）根据图2，将玻璃缸的一端抬高，有一部分的水倾斜了，倾斜部分的体积就是将原本玻璃缸的高度减去AB再减去没有倾斜部分的水的高度为CD的体积除以2，即水的体积＝高度为CD水的体积＋（水缸的高度－AB－CD）水的体积÷2；注意最后根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升换算单位即可。 （2）在水倾斜的过程中，水的体积不变，当水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，水的体积＝玻璃缸的高×玻璃缸的宽×长÷2，得出水的长度＝水的体积×2÷20÷15，则长度为28.5厘米，则小于原本长方体玻璃缸的长，画出示意图即可。 【详解】（1）20－4－3＝13（厘米） 30×15×13÷2＋30×15×3 ＝5850÷2＋1350 ＝2925＋1350 ＝4275（立方厘米） 4275立方厘米＝4275毫升＝4.275升 答：玻璃缸中水的体积是4.275升。 （2）4275×2÷20÷15 ＝8550÷20÷15 ＝28.5（厘米） 10．6000平方厘米 【分析】铁箱的表面积就是剩余铁皮的面积，即长方形的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形面积＝长×宽、正方形面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 答：制作这个铁箱需要6000平方厘米的铁皮。 11．9dm3 【分析】排水法（物体体积＝上升的水的体积）、长方体底面积与体积的关系。先通过正方体石块的体积和水面上升高度，求出长方体水槽的底面积；再利用水槽底面积和铁块导致的水面上升高度，计算铁块的体积。 【详解】正方体石块的体积： （dm3） 长方体水槽的底面积：（dm2） 铁块的体积：（dm3） 答：铁块的体积是9dm3。 12．28升 【分析】水面下降16厘米，此时漏刻内还剩下水的高度是（30－16）厘米，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出此时漏刻内还剩下水的体积，根据1立方厘米＝1毫升，1升＝1000毫升，统一单位即可。 【详解】50×40×（30－16） ＝2000×14 ＝28000（立方厘米） 28000立方厘米＝28升 答：此时漏刻内还剩下水28升。 13．（1）84平方分米； （2）4.8立方分米 【分析】（1）求做一个无盖玻璃鱼缸至少需要玻璃多少平方分米，就是求无盖玻璃鱼缸的表面积，计算公式为：无盖玻璃鱼缸的表面积底面积前后两面面积左右两侧面面积长宽长高宽高。将题中相应数据代入计算公式即可计算出结果。据此解答。 （2）鱼缸中的石头和水草为不规则物体，要计算其体积，可转化为求因为加入石头和水草而升高的水的体积。而升高的水，因其置于长方体鱼缸中，求其体积，可看作是求与长方体鱼缸同长同宽、高为厘米的长方体的体积，将对应数据代入长方体体积公式（长方体的体积长宽高）计算即可。据此解答。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这样一个鱼缸至少需要玻璃平方分米。 （2）（厘米） 厘米分米 （立方分米） 答：这些石头和水草的体积是立方分米。 14．750平方厘米 【分析】水下降的体积等于放入容器中物体的体积，即水下降的体积等于3个正方体钢锭的体积；已知正方体的棱长为10cm，根据正方体的体积公式，即可求出正方体的体积，进而求出水下降的体积；再用水下降的体积除以水下降的高度，即可求出容器的底面积，据此解答。 【详解】正方体体积：（cm3） 水下降的体积：（cm3） 容器底面积：（cm2） 答：这个容器的底面积是750平方厘米。 15．4.88平方米 【分析】领奖台上面由3个长为0.8米，宽为0.5米的长方形组成，根据长方形面积公式 S＝长×宽，上面的总面积为1.2平方米； 前面由3个长方形组成，高度分别为0.6米，（0.4＋0.4）米，0.4米，宽度均为0.8米；后面与前面面积相等，前面（或后面）的总面积为2.88平方米； 左面和右面的面积相同由高度为0.8米、宽度为0.5米的长方形组成，左右面总面积为0.8平方米； 将上面，前面（后面），左面（右面）的面积相加，得到刷油漆的总面积为4.88平方米。 【详解】前后面： （平方米） 左面和右面：（平方米） 上面：（平方米） 总面积：（平方米） 答：刷油漆的面积是4.88平方米。 16．泡沫箱的容积是立方厘米，合立方分米 【分析】根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答，然后根据进行单位换算即可。 【详解】 （立方厘米） 立方厘米立方分米 答：泡沫箱的容积是立方厘米，合立方分米。 17．（1）4.6平方米 （2）1.2立方米 【分析】（1）花坛是长方体，四周贴瓷砖的面积是前后左右4个面的面积之和，根据“长×高×2＋宽×高×2”即可求出贴瓷砖的面积。 （2）花坛四壁厚0.2米，因此内部的长和宽需要减去两侧的厚度，高与外部一致（0.5米），最后根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出泥土的体积。 【详解】（1）3.4×0.5×2＋1.2×0.5×2 ＝1.7×2＋0.6×2 ＝3.4＋1.2 ＝4.6（平方米） 答：贴瓷砖的面积是4.6平方米。 （2）3.4－0.2×2 ＝3.4－0.4 ＝3（米） 1.2－0.2×2 ＝1.2－0.4 ＝0.8（米） 3×0.8×0.5 ＝2.4×0.5 ＝1.2（立方米） 答：需要泥土1.2立方米。 18．（1）度量长度：5；5 度量面积：8；8 度量体积：24；24 （2）见详解 【分析】（1）度量长度：线段被等分为5段，每段1m，因此包含5个1m，长度为5m； 度量面积：长方形由8个1m2的小正方形组成，因此包含8个1m2，面积为8m2； 度量体积：长方体由24个1m3的小正方体组成，因此包含24个1m3，体积为24m3。 （2）度量长度、面积、体积的核心逻辑一致：都是以对应的“基本度量单位”（长度单位、面积单位、体积单位）为标准，通过数出图形包含的“基本度量单位数量”，来确定图形的长度、面积、体积。 【详解】（1）度量长度：上面线段中包含5个1m，长度就是5m。 度量面积：上面长方形包含8个1m2，面积就是8m2。 度量体积：上面长方体包含24个1m3，体积就是24m3。 （2）度量长度、面积和体积时，都是以对应的基本度量单位为标准，通过数出图形包含的单位数量来确定度量结果。 19．（1）97.6平方分米 （2）54.4千克 【分析】（1）求铁皮面积相当于求长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可； （2）1立方分米＝1升。根据长方体体积＝长×宽×高，求出这个油箱的容积，油箱容积×每升油的重量＝这个油箱能装油的重量，据此列式解答。 【详解】（1）（5×3.2＋5×4＋3.2×4）×2 ＝（16＋20＋12.8）×2 ＝48.8×2 ＝97.6（平方分米） 答：做这个油箱至少需要97.6平方分米铁皮。 （2）5×3.2×4＝64（立方分米） 64立方分米＝64升 64×0.85＝54.4（千克） 答：这个油箱最多能装油54.4千克。 20．（1）2575平方米 （2）494元 【分析】（1）游泳池需要在四壁和底面贴瓷砖，计算瓷砖的面积就是求这个游泳池的5个表面积的和（前面、后面、左面、右面和下面），其中前面面积＝后面面积＝长×高；左面面积＝右面面积＝宽×高；底面面积＝长×宽；代入数据计算即可。 （2）在游泳池的内池口周围刷一圈红色的油漆，则刷油漆的长度就是两条长两条宽的长度总和，计算出来红色油漆条的长度再乘2.6元，即可计算出刷红色油漆条一共需要的钱数。 【详解】（60×2.5＋35×2.5）×2＋60×35 ＝（150＋87.5）×2＋2100 ＝237.5×2＋2100 ＝475＋2100 ＝2575（平方米） 答：贴瓷砖的面积是2575平方米。 （2）（60＋35＋60＋35）×2.6 ＝（95＋60＋35）×2.6 ＝（155＋35）×2.6 ＝190×2.6 ＝494（元） 答：刷红色油漆条一共需要494元。 21．（1）见详解 （2）1710平方厘米 【分析】（1）要设计刚好能容纳玩具汽车的长方体包装盒，那么长方体包装盒的长、宽、高应分别对应玩具汽车的长、宽、高。由图可知，玩具汽车的长是25厘米、宽是12厘米、高是15厘米，所以长方体包装盒的长是25厘米、宽是12厘米、高是15厘米，将其标注在长方体草图对应的位置即可。 （2）求需要纸板的面积，就是求这个长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米的长方体的表面积，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”，代入数据，即可解答。 【详解】（1）标注如下： （2）（25×12＋25×15＋12×15）×2 ＝（300＋375＋180）×2 ＝（675＋180）×2 ＝855×2 ＝1710（平方厘米） 答：至少需要1710平方厘米的纸板。 22．（1）见详解 （2）300平方分米 【分析】（1）长方体的展开图中，相对的面完全相同，在同一行中，中间隔一个面就是相对的面，据此可知，左面画在下面的左边，长画15分米、宽画5分米；前面画在下面的下面，长为20分米、宽为5分米；上面画在前面的下面，长为20分米、宽为15分米，据此画图。 （2）这个容器的占地面积就是下面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】（1）如图所示： （2）20×15＝300（平方分米） 答：这个容器的占地面积是300平方分米。 23．（1）10厘米 （2）2立方厘米 【分析】（1）已知长方体杯子长5厘米，宽4厘米，高15厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方体杯子的底面积；先统一单位，200毫升＝200立方厘米，然后根据“长方体体积＝底面积×高”，用牛奶的体积除以杯子的底面积，即可求出牛奶的高度。 （2）加入“黑珍珠”后正好满杯，这说明原来没有牛奶部分的体积正好是50颗“黑珍珠”的体积；用杯子高度减去牛奶高度，求出没有牛奶部分的高，再根据“长方体体积＝底面积×高”求出没有牛奶部分的体积，即50颗“黑珍珠”的体积，再除以50，即可求出每颗“黑珍珠”的体积。 【详解】（1）200毫升＝200立方厘米 5×4＝20（平方厘米） 200÷20＝10（厘米） 答：没放“黑珍珠”前，杯中倒入的牛奶的高度是10厘米。 （2）20×（15－10）÷50 ＝20×5÷50 ＝100÷50 ＝2（立方厘米） 答：每颗“黑珍珠”的体积是2立方厘米。 24．（1）220平方分米 （2）300升 【分析】（1）做成这个水槽需要的面积＝长方形面积－4个正方形面积，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 （2）由题意可知，这个长方体水槽的长是，宽是，高是5，根据，代入数据计算，再把单位转化为升即可。 【详解】（1） （平方分米） 答：做成这个水槽至少需要铁皮220平方分米。 （2） （立方分米） ＝300（升） 答：这个水槽最多可以盛水300升。 25．（1）132平方分米；（2）会溢出，因为水和铁块的体积之和大于玻璃缸的体积 【分析】（1）玻璃缸是无盖的，没有上面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”列式求出需要多少平方分米的玻璃； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，先分别求出玻璃缸和水的体积。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体铁块的体积。将水的体积加上铁块的体积，求出和，再和玻璃缸的体积做对比。如果水和铁块的体积之和更大，那么水会溢出，反之则不会溢出。 【详解】（1）8×6＋8×3×2＋6×3×2 ＝48＋48＋36 ＝132（平方分米） 答：制作这样的一个玻璃缸，需要132平方分米的玻璃。 （2）玻璃缸体积：8×6×3＝144（立方分米） 水的体积：8×6×2.8＝134.4（立方分米） 铁块体积：3×3×3＝27（立方分米） 134.4＋27＝161.4（立方分米） 161.4＞144 答：缸里的水会溢出，因为水和铁块的体积之和大于玻璃缸的体积。 学科网（北京）股份有限公司 $