第三节　二项式定理课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二项式定理”专题，依据高考评价体系梳理了定理证明、通项公式、二项式系数性质及系数和四大核心考点，通过真题分析明确求特定项、系数和为高频考查方向，归纳出(a+b)^n、(a+b)^n(c+d)^m等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”，如结合2024北京高考(x - √x)^4求x^3系数题，示范通项公式应用技巧，培养学生推理能力与运算能力。特设(a+b+c)^n型问题转化策略，帮助学生掌握答题方法，教师可据此开展精准复习，提升备考效率。

第三节 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二项式定理 【目标要求】　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=_______________________________________. (2)通项:Tk+1=_______________,它表示展开式的第k+1项. (3)二项式系数:_________________. an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*) an-kbk (k=0,1,2,…,n) 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即_____________ 增减性 当k<时,随k的增加而增大;当k>时,随k的增加而减小 = 最大值 当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大,最大值为_____________;当n是奇数时,中间两项的二项式系数相等,且同时取得最大值,最大值为 _____________ 或 3.各二项式系数的和 (1)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和:+++…+= _____________. (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即+++…=+++…=_____________. 2n 2n-1 二项式系数与项的系数的区别 二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无 关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)(a+b)n展开式中共有n项.(　　) (2)(a-b)n与(a+b)n的二项展开式的二项式系数相同.(　　) (3)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(　　) (4)(a+b)n的展开式中一定有常数项.(　　) 令r=1,得T2=x4(-1)1=-5x4,所以x4项的系数为-5,故正确. 解析 2.(人A选三P31T4改编)的展开式中x2的系数等于(　　) A.45 B.20 C.-30 D.-90 因为展开式的通项为Tk+1=(-1)k·x-(10-k)=(-1)k,令-10+k=2,得k=8,所以展开式中x2的系数为(-1)8×=45. 解析 3.若展开式中的常数项为60,则常数a的值为(　　) A.4 B.2 C.8 D.6 由二项式定理得Tr+1=x6-r=(-1)r··x6-3r.令6-3r=0,得r=2,故15a=60,a=4.故选A. 解析 4.(人A选三P34习题6.3 T1(1)改编)在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)9的展开式中,含x2项的系数是(　　) A.120 B.56 C.84 D.35 (1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)9的展开式中,含x2 项的系数是+ ++…+=+++…+=++…+=+…+=…=+==120. 解析 5.(北师大选一P178T1改编)化简:-+-+…+(-1)n=________. 0 由二项式(1+x)n=x0+x1+x2+…+xn,令x=-1,得(1-1)n=-+-+…+(-1)n=0. 解析 考向❶ 形如“(a+b)n(n∈N*)”的展开式问题 【例1】　(1)(2024·北京高考)在(x-)4的展开式中,x3的系数为 (　　) A.6 B.-6 C.12 D.-12 考点一 求展开式中的特定项 (x-)4的展开式的通项Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0,1,2,3,4).由4-=3,得r=2,所以(x-)4的展开式中x3的系数为(-1)2=6.故选A. 解析 (2)(2026·衡阳模拟)(8-x)9的展开式中系数为无理数的项共有 (　　) A. 2项 B. 3项 C. 4项 D. 5项 因为(8-x)9展开式的通项为Tr+1=89-r(-)rxr(r≤9,且r∈N),当r=1,3,5,7,9时,展开式中项的系数为无理数,故共5项. 解析 (3)(2024·天津高考)在的展开式中,常数项为____________. 解析 20 考向❷ 形如(a+b)n(c+d)m(m,n∈N*)的展开式问题 【例2】　(1)(x2+ax-1)(1-x)6的展开式中x2的系数是-2,则实数a的值为 (　　) A.0 B.3 C.-1 D.-2 展开式中含x2的项为x2·1+ax·(-x)1+(-1)·(-x)2=x2-6ax2-15x2= -(6a+14)x2,所以-(6a+14)=-2,解得a=-2. 解析 (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为_______ (用数字作答). (x+y)8展开式的通项为Tr+1=·x8-ryr,r=0,1…,7,8.令r=6,得T6+1= x2y6;令r=5,得T5+1=x3y5,所以(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28. 解析 -28 对于几个多项式积的展开式中的问题,一般可以根据因式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏. 二项式·x5-r·(ax-1)r=ar··x5-2r,令5-2r=-1,解得r=3,所以a3·=10a3=10,解得a=1. 解析 (2)(2026·苏州模拟)(x2+2x+3)(2x+1)6的展开式中,x2的系数是_____________. (x2+2x+3)(2x+1)6=(x2+2x+3)(1+2x)6,所以x2的系数为20+2×× 21+3××22=205. 解析 205 (a+b+c)n型展开式问题 求解(a+b+c)n(n∈N*)型展开式中问题的方法 (1)因式分解法:将三项式利用因式分解变化为两个二项式,然后再用二项式定理求解问题. (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含二项式的项展开,从而求解问题. (3)组合知识法:把(a+b+c)n看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成. 【典例】　在的展开式中,x2的系数为(　　) A.-50　　B. -120　　C. 120　　D. 50 解析 解析 【微练】　(1)的展开式中,x3y3的系数是_____________ (用数字作答). 表示6个因式的乘积,在这6个因式中,有3个因式选y,其余的3个因式中有2个选x2,剩下一个选-,即可得到x3y3的系数,即x3y3的系数是×(-2)=20×3×(-2)=-120. 解析 -120 (2)(2x2+y+1)5的展开式中,x4y2的系数为_____________(用数字作答). 将(2x2+y+1)5看作5个因式(2x2+y+1)相乘,根据x4y2的指数可得5个因式中有两个选2x2,两个选y,一个选1,进行相乘,即(2x2+y+1)5的展开式中x4y2的系数为×22×=120. 解析 120 【例3】　(1)(2026·成都模拟)已知的二项展开式中,第3项与第9项的二项式系数相等,则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 考点二 二项式系数与项的系数和问题 解析 (2)(多选题)若(3x-2)2 026=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 026x2 026(x∈R),则 (　　) A.a0=-22 026 B.a0+a2+a4+…+a2 026= C.a1+a3+a5+…+a2 026= D.+++…+=1-22 026 解析 一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+ bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项的系数和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)-g(-1)]. 【训练】　(1)(多选题)已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8,则(　　) A.n=4 B.展开式中所有项的系数和为1 C.展开式中二项式系数和为24 D.展开式中不含常数项 解析 (2)(2026·嘉兴模拟)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8= _____________;a1+2a2+3a3+…+10a10=_____________. 解析 300 5 120 Tk+1==· 36-2k·x6k-18.令6k-18=0,则k=3,所以常数项为T4=·30·x0=20. 【题组对点练】 题号 1 2 考向 ❶ ❷ (1)已知二项式的展开式中的系数是10,则实数a=(　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解法一:=,通项为Tr+1=(x-2)5-r,r=0,1,2, 3,4,5.当r=0 时,x2的系数为×(-2)3,当r=1 时,x2的系数为×(-2)1,当r=2,3,4,5时,不会出现含x2 的项,所以x2 的系数为(-2)3+(-2)1 =-80-40=-120. 解法二:==,x2的系数即为(x-1)10 的展开式中x7 的系数,所以x2 的系数为×(-1)3=-120. 解法三: 表示5个因式x+-2 的乘积,在这5个因式中,有2个因式都选x,其余的3个因式都选-2,相乘可得含x2 的项;或者有3个因式选x,有1个因式选,1个因式选-2,相乘可得含x2 的项,故x2 的系数为×(-2)3+×(-2)=-120.故选B. 因为,且第3项与第9项的二项式系数相等,所以=,解得n=10,取x=1,所以所有项的系数之和为310. 对于A,当x=0时,a0=(-2)2 026=22 026,A错误;对于B,C,当x=1时,a0+a1+a2+ a3+…+a2 026=12 026=1,当x=-1时,a0-a1+a2-a3+…+a2 024-a2 025+a2 026=52 026,所以a0+a2+a4+…+a2 026=,a1+a3+a5+…+a2 025=,所以B正确,C错误;对于D,当x=时,=a0+++…+,所以+++…+=(-1)2 026-a0=1-22 026,D正确. 由题意得=,则=,解得n=4,故A正确;所以=,令x=1,则所有项的系数之和为-1,故B错误;所以的二项式系数和为29,故C错误;的通项为Tk+1=(-2x)k=(-2)kx2k-9,若Tk+1为常数项,则有2k-9=0,解得k=∉N,所以不存在常数项,故D正确.故选AD. 由已知得(1+x)10展开式的通项为Tk+1=xk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数,故a2+a6+a8=++=300.对原式两边求导得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9.令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10 ×29=5 120. $