第三节圆的方程课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，覆盖圆的标准方程、一般方程、点与圆的位置关系三大核心考点，依据高考评价体系梳理求圆的方程、轨迹问题、最值问题等考查要求，通过表格对比方程特征、真题分析（如2022全国甲卷）归纳常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”，如以2022全国甲卷求圆方程为例，示范待定系数法，针对最值问题总结斜率、截距、距离型几何转化策略，培养数学思维与模型意识。设“易错警示”（如一般方程充要条件）和“微练”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第三节 第八章　平面解析几何 圆的方程 【目标要求】　1.掌握圆的标准方程的特征,能根据所给条件求圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程,能对圆的一般方程与标准方程进行互化,了解二元二次方程表示圆的条件. 1.圆的定义和圆的方程 定义 圆是平面上到_____________的距离等于_____________的点的集合 标准 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C(a,b) 半径为r 定点 定长 一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 充要条件:_______________ 圆心坐标:_______________ 半径r= D2+E2-4F>0 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系: (1)|MC|>r⇔M在_____________,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (2)|MC|=r⇔M在_____________,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (3)|MC|<r⇔M在_____________,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 圆外 圆上 圆内 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　) (2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆.(　　) 当a=0时,x2+y2=a2表示点(0,0);当a≠0时,表示半径为|a|的圆. 解析 (3)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆.(　　) (4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0, D2+E2-4AF>0.(　　) 当(4m)2+(-2)2-4×5m>0,即m<或m>1时表示圆. 解析 2.(人A选一P102复习参考题7题改编)若曲线C:x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆,则实数a的取值范围为(　　) A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.[-2,0] D.(-∞,-2]∪[0,+∞) 由x2+y2+2ax-4ay-10a=0,得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a,由该曲线表示圆,可知5a2+10a>0,解得a>0或a<-2. 解析 3.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是(　　) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=4 解析 4.(人A选一P85T3改编)已知两点A(4,9)和B(6,3),则以AB为直径的圆的标准方程是　　　　　　　　. (x-5)2+(y-6)2=10 解析 5.已知P(x,y)是圆x2+y2=1上的动点,则x2+4y的最大值为_____________. 由题意得,x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5,因为y∈[-1,1],所以当y=1时, x2+4y取得最大值4. 解析 4 【例1】　(1)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则这个圆的方程为(　　) A.x2+y2-4x-2y+7=0 B.x2+y2-8x-2y-9=0 C.x2+y2+8x+2y-6=0 D.x2+y2-4x+2y-5=0 考点一 求圆的方程 解析 (2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为________________. 因为点M在直线2x+y-1=0 上,所以设点M 为(a,1-2a),又因为点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,所以点M 到两点的距离相等且为半径r,所以==r,即a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,所以M(1,-1),r=,所以☉M 的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解析 (x-1)2+(y+1)2=5 求圆的方程的常用方法 1.直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程. 2.待定系数法 (1)若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值; (2)选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 【训练1】　(1)(2026·大连模拟)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为(　　) A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10 解析 (2)(2026·泰安模拟)在平面内,M,N是两个定点,P是动点,若=4,则点P的轨迹为(　　) A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.圆 如图建立平面直角坐标系,由M,N是两个定点, 不妨设M(-c,0),N(c,0),设P(x,y),则=(x+c,y), =(x-c,y).由=4可得(x+c)(x-c)+y2=4, 即x2+y2=4+c2.所以点P的轨迹为圆.故选D. 解析 【例2】　已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点C的轨迹方程; 考点二 与圆有关的轨迹问题 解 解法二:设线段AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交 点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 解 (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),且M是线段BC的中点,所以由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0),即(x-2)2+y2=1(y≠0).因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 解 求与圆有关的轨迹问题的常用方法 1.直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. 2.定义法:根据圆、直线等定义列方程. 3.相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 【训练2】　如图所示,圆O1和圆O2的半径长都等于1,|O1O2|=4.过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程. 以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴, 建立如图所示的平面直角坐标系,则O1(-2,0), O2(2,0).由已知|PM|=|PN|,得|PM|2=2|PN|2. 连接O1M,O2N,PO1,PO2,则O1M⊥PM,O2N⊥PN. 因为两圆的半径长均为1,所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化简,得(x-6)2+y2=33,所以点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33. 解 阿波罗尼斯圆 “阿波罗尼斯圆”的定义:平面内到两个定点A(-a,0),B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心,为半径的圆,即为阿波罗尼斯圆. 【典例】　(2026·内江模拟)已知O(0,0),A(3,0),动点P(x,y)满足=2,则动点P的轨迹方程为(　　) A.(x-1)2+y2=4　　 B.x2+(y+1)2=4 C.(x+1)2+y2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 由题可知|PA|2=4|PO|2,所以(x-3)2+y2=4(x2+y2),化简得(x+1)2+y2=4,故选C. 解析 【微练】　(1)设A,B是平面上两点,则满足=k(其中k为常数,k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆,已知A(,0),B,且k=,则点P所在圆M的方程为_______________. 解析 x2+y2=3 (2)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A=2sin B,acos B +bcos A=2,则△ABC面积的最大值为_____________. 依题意,由sin A=2sin B,得|BC|=2|AC|,acos B+bcos A =+=c=2,即|AB|=2,以AB边所在的直 线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直 角坐标系,设A(1,0),B(-1,0),C(x,y),x≠0,由|BC|=2|AC|, 则C的轨迹为阿波罗尼斯圆,其方程为+y2=,x≠0,边AB上的高的最大值为,所以(S△ABC)max=. 解析 考向❶ 借助几何性质求最值 【例3】　已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上,求: (1)的最大值和最小值; 考点三 与圆有关的最值问题 解 (2)x+y的最大值和最小值; 设t=x+y,则y=-x+t,t可视为直线y=-x+t在y轴上的截距,所以x+y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即=1,解得t=-1或t=--1.所以x+y的最大值为-1,最小值为--1. 解 (3)的最大值和最小值. 解 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 考向❷ 利用对称性求最值 【例4】　已知M(-1,2),N是曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0上的动点,P为直线x+2y+2=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为_____________. 3-1 如图,曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3,1)为圆心,以1为半径的圆,则根据圆的性质可知,|PN|的最小值为|PC|-1,设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m,n),则可得即H(-3,-2),连接HC,分别交直线x+2y+2=0与圆C于点 P,N,则|PM|+|PN|=|PM|+|PC|-1=|PH|+|PC|-1≥ |HC|-1,当且仅当P,H,C三点共线时取等号,此时 取得最小值3-1,所以|PM|+|PN|的最小值为 3-1. 解析 求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路:①动化定:把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;②曲化直:将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和. 考向❸ 借助函数法求最值 【例5】　(1)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0).则的最大值为_____________. 由题意,得=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以当y=4时,的值最大,最大值为6×4-12=12. 解析 12 (2)方程x2+y2-2kx-4y+2k2-4k-10=0所表示的圆的面积的取值范围是_____________. (0,18π] 由圆的方程x2+y2-2kx-4y+2k2-4k-10=0,变形得(x-k)2+(y-2)2=-k2+4k+ 14,所以r2=-k2+4k+14=-(k-2)2+18≤18,所以0<πr2≤18π,所以该圆的面积的取值范围是(0,18π]. 解析 建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❸ ❷ (1)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值是 (　　) A.6 B.25 C.26 D.36 (x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到(5,-4)的距离的平方,因为P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,所以(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,-4)的距离与半径之和的平方,即[(x-5)2+(y+4)2]max= [+1]2=36.故选D. 解析 (2)(2026·聊城模拟)已知P是圆C:x2+y2=1外的动点,过点P作圆C的两条切线,设两切点分别为A,B,当的值最小时,点P到圆心C的距离为(　　) A. B. C. D.2 设|PC|=m,则|PA|=|PB|=,cos∠APC==,cos∠APB= 2cos2∠APC-1=2×-1==,所以=(m2-1)·==m2+-3≥2-3,当且仅当m2=,即m2=,即m=时等号成立,此时|PC|=,故选A. 解析 (3)已知圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=2,点P是直线2x+2y-5=0 上一点,定 点A(1,3),则|PC|-|PA|的最大值为_____________. 解析 圆的参数方程及其应用 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数. 【典例】　已知实数x,y满足(x-2)2+(y-3)2=3,则y-2x的最小值为 ____________. 解析 --1 【微练】　(2026·泉州模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.则x2+y2的最大值和最小值的和为_____________. x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,令则x2+y2=(2+ cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ,因为cos θ∈[-1,1],所以(x2+y2)max=7+4,(x2+y2)min=7-4.所以x2+y2的最大值和最小值的和为14. 解析 14 1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则 2.圆的“直径式”方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A. 由题意得所求圆的圆心为线段AB的中点,即(5,6),半径为==,所以所求圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 根据题意,圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则圆的圆心坐标为(4,1),半径r=×=,则圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=26,即x2+y2-8x-2y-9=0,故选B. 设圆的圆心为(a,0),半径为r,则有故圆的方程为(x-2)2+y2=10.故选D. 解法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,且AC,BC斜率均存在,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0). 设P(x,y),由题意可得,=,即|PA|=|PB|,则(x-)2+y2=2,整理得x2+y2=3. 可视为点(x,y)与原点连线的斜率,的最大值和最小值就是与该圆有公共点且过原点的直线斜率的最大值和最小值,即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y=kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径,即=1,解得k=-2+或k=-2-,所以的最大值为-2+,最小值为-2-. =,求它的最值可视为求点(x,y)到定点(-1,2)的距离的最值,可转化为求圆心(2,-3)到定点(-1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(-1,2)的距离为,所以+1,最小值为-1. 设C(-1,1)关于直线2x+2y-5=0的对称点为C'(m,n), 则即 C',故||PC|-|PA||=||PC'|-|PA||≤|C'A|= =,当P点位于CC'上时, 等号成立,故|PC|-|PA|的最大值为. 由(x-2)2+(y-3)2=3,则可设(θ为参数,0≤θ<2π),故y-2x=3+sin θ-4-2cos θ=sin θ-2cos θ-1=sin(θ+φ)-1,其中tan φ= -2,当sin(θ+φ)=-1时,y-2x取得最小值,最小值为--1. $