第七节　抛物线课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“抛物线”专题，覆盖定义、标准方程、几何性质及直线与抛物线位置关系等核心考点，依据高考评价体系梳理目标要求，通过教材回顾与微点清易错点，结合近5年高考真题分析考点权重，归纳定义应用、焦点弦计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养渗透”，如2023新课标Ⅱ卷多选题结合几何性质培养数学思维，例1用定义法与轨迹方程法提升数学眼光，总结焦点弦长等结论助力解题。通过小题快练与考点训练帮助学生掌握答题技巧，教师可依此系统教学，高效冲刺高考。

第七节 第八章　平面解析几何 抛物线 【目标要求】　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的几何性质(范围、对称性、顶点).2.了解抛物线的简单应用. 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_________的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. [微点清]　当定点在定直线上时,动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线. 相等 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形         顶点 _____________ O(0,0) 对称轴 ___________ ___________ 焦点 _____________ _____________ _____________ _____________ 准线 ___________ ___________ ___________ ___________ 离心率 e=1 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ x轴 y轴 F F F F x=- x= y=- y= [微点清]　四种不同抛物线方程的共同点:①原点都在抛物线上;②焦点都在坐标轴上;③准线与焦点所在坐标轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即=. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)抛物线实质上就是双曲线的一支.(　　) (2)P(x,y)到F(3,0)的距离与到直线x-y-3=0的距离相等,则动点P的轨迹是抛物线.(　　) 若“P(x,y)到F(3,0)的距离与到直线x-y-3=0的距离相等”,F(3,0)在直线x-y-3=0上,所以此时不符合抛物线的定义,所以错误. 解析 (3)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为2p.(　　) (4)直线与抛物线有唯一公共点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(　　) 如图,由图可知,直线与抛物线有唯一公共点不一定 相切,相切一定有唯一公共点. 解析 2.(人A选一P132 例1(1)改编)抛物线y=x2的焦点坐标为(　　) A. B. C. D. 由题意,抛物线x2=y 的焦点坐标为. 解析 3.(人A选一P133T3改编)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为(　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 由题意可得|MF|=xM+,则3+=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x.故选B. 解析 4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),点A在抛物线上,O是坐标原点,若△OFA的面积为,则|AF|长度为(　　) A.2 B.3 C. D.4 由F(1,0),得=1,即p=2,故抛物线的方程为y2=4x.设A(x0,y0),则△OFA的面积为×|OF|×|y0|=×|y0|=,得y0=±2,将y0=±2代入y2=4x,得x0=3,由焦半径公式|AF|=x0+1=4.故选D. 解析 5.(人B选一P164例2改编)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为_________. 设点P的坐标为(x,y),则x2=-5y,而且|PA|2=x2+(y+3)2=y2+y+9= +,又因为y≤0,所以y=-时,|PA|2取最小值.因此所求最小值为. 解析 【例1】　(1)已知点F(0,1),动点M在直线l:y=-1上,过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为(　　) A.x2=-4y B.x2=4y C.x2=-2y D.x2=2y 考点一 抛物线的定义及标准方程 解法一(轨迹方程法):设点P(x,y),则点M(x,-1).连接PF,由题意知|PF|=|PM|,即=|y+1|,整理得x2=4y,则曲线C的方程为x2=4y.故选B. 解析 解法二(几何定义法):由题意知,点P到点F(0,1)的距离等于其到直线y=-1的距离,则点P的轨迹为以点F(0,1)为焦点,以y=-1为准线的抛物线,则曲线C的方程为x2=4y.故选B. (2)(2024·天津高考)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为________. 由题意知圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),则F(1,0),故=1,p=2,由抛物线的定义得|AF|=xA+1=5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y=(x-1),即4x-3y-4=0,所以原点到直线AF的距离=. 解析 “看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”,许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形,由形想数,数形结合”是灵活解题的一条捷径. 【训练1】　(1)(2025·全国二卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 根据直线y=-2x+2得F(1,0),所以C的准线方程为x=-1,C的方程为y2=4x,所以B(-1,4),所以A(4,4),所以|AF|=|AB|=5. 解析 (2)(2026·漳州模拟)已知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点,则|PN|+|PF|的最小值为(　　) A. B.2 C. D.3 过点P作PQ⊥抛物线C的准线l:y=-1于点Q,由抛物线定义可得|PQ|=|PF|,则|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|,当且仅当N,P,Q三点共线,NQ⊥抛物线C的准线,即xP=1时,|PN|+|PF|有最小值2.故选B. 解析 【例2】　(2023·新课标Ⅱ卷)(多选题)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 (　　) A.p=2 B.|MN|= C.以线段MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 考点二 抛物线的几何性质 A项,直线y=-(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2= 2px(p>0)的焦点F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A项正 确,且抛物线C的方程为y2=4x.B项,设M(x1,y1), N(x2,y2),由消去y并化简得 3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3++2= 解析 ,B项错误.C项,设线段MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直线l的距离等于|MN|的一半,所以以线段MN为直径的圆与直线l相切,C项正确.D项,由上述分析可知y1=-×(3-1)=-2,y2=-×=,所以|OM|==,|ON|==,所以三角形OMN不是等腰三角形,D项错误.故选AC. 解析 应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. 【训练2】　(2025·八省联考)(多选题)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点,则(　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 由题可知,=2,则p=4,A项正确.设M(x0,y0),则MF=x0+,OF=,又因为x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B项正确.由抛物线的定义知,M到F的距离与M到准线的距离相等,故圆与准线相切,C项正确.当∠OFM=120°时,则∠MFx=60°,|MF|==8,所以S=|OF|·|MF|sin 120°=×2 ×8×=4,D项错误,故选ABC. 解析 【例3】　(1)(2026·南昌模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为(　　) A.x-y-3=0 B.2x-y-1=0 C.x-y-1=0 D.x-y-2=0 考点三 直线与抛物线的位置关系 设A(x1,y1),x1>0,y1>0,由x2=4y,得p=2,所以抛物线的准线方程为y=-1,由抛物线的定义可得|AF|=y1+1=4,得y1=3,代入x2=4y,得x1=2(负值舍去),由x2=4y得y=x2,所以y'=x,所以抛物线C在点A处的切线斜率为×2=,所以抛物线C在点A处的切线方程为y-3=(x-2),即x-y-3=0,故选A. 解析 (2)(2025·全国一卷)(多选题)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 对于A,由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确;对于B,过B作BB'⊥l,垂足为B',由|BB'|=|BF|,∠BB'E=∠BFE知△BB'E≌△BFE,即∠B'EB=∠FEB,同理可知∠AED=∠AEF,所以∠AEB=90°,又因为以焦点弦AB为直径的圆与准线相切,故点E在此圆上(即为切点),AB为直径,AE为弦,所以|AB|>|AE|,故选项B错误;对于C,根据抛物线焦点弦中通径最短,p=3, 解析 则|AB|≥2p=6,故选项C正确;对于D,因为AE⊥BE,如图,设∠AFx=θ,由S△AEB=|AE|·|BE|=|AB|·|EF|,可得|AE|·|BE|=|AB|·|EF|==≥ 2p2=18,D正确.故选ACD. 解析 1.切线问题可借助于方程组的解唯一,利用判别式确定,也可以借助导数的几何意义求解. 2.有关弦的问题可借助于一元二次方程根与系数的关系及弦长公式求解. 【训练3】　(1)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 由题意可知F(1,0),设lAB:x=ky+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x得y2-4ky-4=0,则y1y2=-4,所以x1x2==1,|AF|+4|BF|=x1+1+4(x2 +1)=x1+4x2+5≥2+5=9,当且仅当x1=2,x2=时取得等号.则|AF|+4|BF|的最小值为9.故选D. 解析 (2)(2026·T8检测训练)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为1的直线l与抛物线C交于M,N两点,则的值为_______. 设M(x1,y1),N(x2,y2),由抛物线定义得|FM|=x1+,|FN|=x2+.所以===. 解析 抛物线的常用结论及应用 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1)x1·x2=,y1y2=-p2. (2)若A在第一象限,B在第四象限,则|AF|=,|BF|=,弦长|AB|=x1+x2+p=,S△AOB=(α为弦AB的倾斜角). (3)+=. (4)以弦AB为直径的圆与准线相切. (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切. (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. (7)通径:过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p,过焦点最短的弦. 【典例】　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|=(　　) A.4　 　　 B.　 　　 C.5　 　　 D.6 解法一:由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图.设A, B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E,设|BF| =m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,由抛物线的定义 知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,所以cos θ==,则 sin2θ=.又y2=4x,知2p=4,故由弦长公式得|AB|==.故选B. 解析 解法二:因为|AF|=2|BF|,+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=.故选B. 解析 【微练】　(1)(2026·海南调研)(多选题)已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是(　　) A.+=1 B.|AF|=6 C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点 如图,过点B作x=-的垂线,垂足为B',又F,直 线l的斜率为,则直线l的方程为y=. 联立得12x2-20px+3p2=0.解得xA=,xB=.由|AB|= 解析 |AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.所以抛物线的方程为y2=6x.则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;|BF|=8-|AF|=2,|BD|===4,所以|BD|=2|BF|,故C正确;|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确;而+=,故A错误.故选BCD. 解析 (2)已知抛物线C:y2=16x,倾斜角为的直线l过焦点F且交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO的面积为_________. 64 解法一(常规解法):依题意,抛物线C:y2=16x的焦点为F(4,0),直线l的方程为x=y+4.由消去x,整理得y2-16y-64=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=16,y1y2=-64.S△OAB=|y1- y2|·|OF|= 2=2=64. 解析 解法二(活用结论):依题意,抛物线y2=16x,p=8.又l的倾斜角α=.所以S△OAB===64. 解析 $