第七节 解三角形应用举例 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形应用”专题，依据高考评价体系明确“利用正余弦定理解决实际问题”的考查要求，梳理仰角俯角、方位角等核心术语，结合近五年全国卷真题分析测量距离、高度、角度三大常考题型的考点权重，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题训练+模型突破+素养落地”，如以2024年全国甲卷“b²=ac求sinA+sinC”为例，运用数学思维（推理能力）整合正余弦定理，通过数学语言（模型观念）提炼“术语转化-图形建模-定理选用”解题步骤，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升高考冲刺效率。

第七节 第四章　三角函数与解三角形 解三角形应用举例 【目标要求】　能利用正弦定理、余弦定理解决简单实际问题. 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线________的叫作仰角,目标视线在水平视线________的叫作俯角   上方 下方 方位角 从某点的_______方向线起按____________方向转到目标方向线的水平角叫作方位角,方位角θ的范围是_______________   方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α   正北 顺时针 0°≤θ≤360° 坡角与坡比 坡面与水平面的夹角叫坡角(θ为坡角);坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即_____________   i==tan θ 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.(　　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为.(　　) 东北方向就是北偏东45°的方向,故正确; 解析 俯角是视线与水平线所成的角,故错误; 解析 (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(　　) (4)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(　　) 方位角与方向角都是根据角和距离确定位置关系的,故正确; 解析 从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α=β,故错误. 解析 2.(人A必二P51T3改编)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(　　) A.北偏西5° B.北偏西10° C.南偏东5° D.北偏西20° 解析 3.(人A必二P49例10改编)某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB(塔底视为点B,塔顶视为点A),在山脚下选取了两点C,D(其中A,B,C,D四点在同一个铅垂平面内),在点C处测得点A的仰角为30°,在点D处测得点A、B的仰角分别为60°、15°,测得CD=36(+1)米,则按此法测得的塔高为(　　) A.67米 B.72米 C.74米 D.76米 解析 4.位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船,需要海上加油,位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东75°方向上,则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是(　　) A.20海里 B.40海里 C.40海里 D.30海里 解析 5.如图,测量河对岸塔楼的高度AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得α=75°,β=45°,CD=20米,在点C测得塔顶A的仰角θ=60°,则塔高AB为_______米. 20 解析 【例1】　海洋洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=120 m,∠ADB=135°,∠BDC= ∠DCA=15°, ∠ACB=120°,则A,B两点的距 离为(　　) A.60 m B.120 m C.120 m D.120 m 考点一 测量距离问题 如图,在△BCD中,CD=120 m,∠BDC=15°,∠BCD=∠ACB+∠DCA= 120°+15°=135°,所以∠CBD=30°,由正弦定理得=,解得BD=120 m,在△ACD中,CD=120 m,∠DCA=15°,∠ADC=∠ADB+ ∠BDC=135°+15°=150°,所以∠CAD=15°,故AD=CD=120 m,所以在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB= 1202+(120)2-2×120×120×cos 135°=1202× 5,则AB=120,即A,B两点间的距离为120.故选D. 解析 距离问题的解题思路 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 【训练1】　斜拉桥(如图①)是我国常见的桥型之一,是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面,斜拉索AD,AC与桥面所成角∠ADB=β,∠ACB=α(如图②),主塔AB的高度为h,则CD间的距离为(　　) A. B. C. D. 解析 【例2】　如图,公路北侧有一幢楼,高为60米,公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走,在点A处测得楼顶的仰角为45°,行走80米到点B处,测得仰角为30°,再行走80米到点C处,测得仰角为θ,则tan θ=(　　) A. B. C. D. 考点二 测量高度问题 解析 求解高度问题的3个注意事项 1.在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 【训练2】　如图,两座山峰的高分别为AM=200 m,CN=300 m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离,测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为30°,N点的仰角为60°,且∠MBN=30°,则两座山峰峰顶之间的距离MN=(　　) A.200 m B.200 m C.400 m D.600 m 解析 【例3】　如图,A,B是海面上位于东西方向相距(3+)海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°、B点北偏西60°的D点有一艘船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距4海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,则该救援船 到达D点最快所需时间为(　　) A.0.2小时 B.0.3小时 C.0.5小时 D.1小时 考点三 测量角度问题 解析 角度问题的解题方法 首先应明确方向角的含义,在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步,通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 【训练3】　某校学生参加课外实践活动,“测量一土坡的倾斜程度”.如图,在坡脚A处测得坡顶一建筑物CD的顶端C对于山坡的倾斜程度为30°,沿土坡前进50 m到达E处,测得C对于山坡 的倾斜度为60°,已知CD=45 m,BC⊥AB,设土 坡对于平面的坡角为θ,则cos θ=(　　) A.-1 B.-1 C. D. 解析 1.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B=(　　) A. B. C. D. 解析 2.(2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　　) A.1 B. C. D.3 解析 解析 3.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 因为B=,b2=ac,则由正弦定理得sin Asin C=sin2B,因为B=,所以 sin Asin C=sin2 B=.由余弦定理可得,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,即a2+c2=ac,根据正弦定理得sin2A+sin2C=sin Asin C,所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=,因为A,C为三角形内角,则sin A+sin C>0,则sin A+sin C=. 解析 4.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=______. 解析 2　 5.(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sin A+cos A=2. (1)求A; (1)由已知得sin A+cos A=sin=1,因为0<A<π,所以< A+<,所以A+=,即A=. 解析 (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 解析 6.(2025·北京高考)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c的值; (1)因为cos A=-,A∈(0,π),所以sin A==,由正弦定理得asin C=csin A=c=4,解得c=6. 解析 (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高. 条件①:a=6;条件②:asin B=;条件③:△ABC的面积为10. 解析 解析 得cos B,cos C也可以唯一确定,即B,C可以唯一确定,这表明此时△ABC是存在的,且BC边上的高满足:S△ABC=a·AD=AD=10,即AD=. 解析 由题意可知∠ACB=180°-40°-60°=80°,因为AC=BC,所以∠CAB=∠CBA =50°,从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西60°-50°=10°.故选B. 设直线CD与AB交于点E,则AE⊥CE,由题意,CE==AE,DE= =AE,又CD=36(+1),且CE-DE=CD,代入解得AE=18(3+),从而DE=18(+1),进而BE=DE·tan 15°=DE·tan(60°-45°)=DE·= 18(-1),所以塔高AB=AE-BE=72米.故选B. 依题意,画出示意图如图,PM=40,∠MPC=135°,∠CMP=90°-75°=15°,在△PMC中,∠PCM=30°,由正弦定理得=,因此MC= =40(海里),所以乙船前往支援M 处的甲船需要航行的最短距离是40海里. 故选B. 由题设∠CBD=180°-75°-45°=60°,由正弦定理知=,即= ⇒BC=,所以AB=BCtan θ=×=20米. 在Rt△ABC中,tan∠ACB==⇒BC=,在Rt△ABD中,tan∠ADB ==⇒BD=,所以CD=BD-BC=-== =,故选A. 由O为楼脚,OP长为楼高,则OP=60,易得OA=60,OB=60.由OA2=AB2+ OB2-2AB·OBcos∠ABO,OC2=BC2+OB2-2BC·OBcos∠OBC,又AB= BC=80,cos∠ABO+cos∠OBC=0,两式相加得OA2+OC2=2(AB2+OB2),所以OC2=30 800,则OC=20,故tan θ===.故选C. 在Rt△ABM中,BM===400 m,在Rt△BCN中,BN== =200 m.在△BMN中,MN= = =200 m.故选A. 由题意,在△ABD中,AB=3+,∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=105°,由正弦定理可得,=,则BD== ==2;又在△BCD中,∠DBC=180°-60°-60°=60°, BC=4,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos 60°=(4)2+ (2)2-2×4×2×=48+12-24=36,所以CD=6,因此救援船到达D点需要的时间为==0.2小时.故选A. 已知∠CAD=30°,∠CED=60°,则∠CEA=120°.所以∠ACE=180°-30°-120° =30°,即△ACE为等腰三角形.所以AE=CE=50 m.根据正弦定理:= ⇒sin∠CDE==.因为BC⊥AB,所以∠ABD=90°,△ABD为直角三角形.所以cos θ==sin∠ADB=sin(π-∠CDE)=sin∠CDE=.故选D. 由cos C==,所以AB=3,所以cos B== =,故选A. 解法一:设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,在△ABC中,由题意知b=,c=2,由余弦定理b2=c2+a2-2cacos B,得19=4+a2-2·2a·cos 120°,整理得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5(舍),所以BC=3.故选D. 解法二:在△ABC中,由正弦定理得=,即=,所以sin C ==,又0°<C<60°,所以cos C==,所以sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=,所以BC== =3.故选D. 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即()2= 22+AC2-2×2×AC×cos 60°,即AC2-2AC-2=0,解得AC=1+或AC=1-(舍),由于AD平分∠BAC,且∠BAC=60°,所以∠BAD=∠CAD=30°.S△ABC=S△ABD+ S△ACD,即×2×(+1)×=×2×AD×+×(+1)×AD×,即×(+1)= AD+AD,解得AD=2. (2)由bsin C=2csin Bcos B及正弦定理==,得sin Bsin C= 2sin Csin Bcos B,又sin B≠0,且sin C≠0,所以cos B=,则sin B=,则b= ·sin B=×=2,又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+ ×=,所以c=·sin C=×=+,所以a+b+c= 2+3+,即△ABC的周长为2+3+. (2)如图所示,若△ABC存在,则设BC边上的高为AD,若选①,a=6,因为c=6,所以C=A,因为cos A=-<0,这表明此时△ABC有两个钝角,而这是不可能的,所以此时△ABC不存在,故BC边上的高也不存在;若选②,bsin C=,由正弦定理得bsin C=csin B=6sin B=,解得sin B=,此时cos B==,AD=csin B=6×=,而cos∠DAB=sin B, sin∠DAB=cos B,cos A=-,sin A=,所以cos∠CAD=cos(∠CAB- ∠BAD),sin∠CAD=可以唯一确定,所以此时CA,CD也可以唯一确定,这表明此时△ABC是存在的,且BC边上的高AD=;若选③,△ABC的面积是10,则S△ABC=bcsin A=b×6×=10,解得b=5,由余弦定理可得a== =9可以唯一确定,进一步由余弦定理可 $