圆的方程 课件-2027届高三数学一轮复习

高三一轮复习圆的方程 课 标 要 求 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.圆的定义及方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准 方程 _______________________ 圆心为______，半径为___ 一般 方程 _________________________ 圆心为 ，半径为 课 前 基 础 巩 固 2 2.点与圆的位置关系 平面上的一点与圆 之间 存在着下列关系： （1）在圆外，即_________________________ 在 圆外； （2）在圆上，即_________________________ 在 圆上； （3）在圆内，即_________________________ 在 圆内. 课 前 基 础 巩 固 3 常用结论 1.常见圆的方程的设法：#1.2.1 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 过原点 圆心在 轴上 圆心在 轴上 课 前 基 础 巩 固 4 2.以, 为直径的两端点的圆的方程是 . 3.圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 4.圆心在任一弦的垂直平分线上. 5.圆心到圆上任一点的距离等于半径. 6.平面内到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是圆.#1.2.6 课 前 基 础 巩 固 5 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］圆 的圆心坐标为______,半 径为___. 1 [解析] 由,得 ,所以 圆心坐标为 ,半径为1. 课 前 基 础 巩 固 6 2.［教材改编］圆心为 且过原点的圆的标准方程是__________ ________________,一般方程为_____________________. [解析] 为圆心，且圆经过原点， 半径， 所求圆的标准方程为 ， 化为一般方程，可得 . 课 前 基 础 巩 固 7 3.［教材改编］已知圆心为的圆经过， 两点，且圆 心在直线 上，则此圆的标准方程为______________ _________. [解析] 方法一：设圆心的坐标为. 因为圆心 在直线上，所以 . 因为，是圆上两点，所以 ，根据两点间的距离公式， 有 ，即. 由①②可得，，所以圆心 的坐标是， 圆的半径 ， 所以所求圆的标准方程是 . 课 前 基 础 巩 固 8 方法二：如图，设线段的中点为. 由， 两点的坐标分别为，， 可得点的坐标为 ， 直线的斜率， 因此线段 的垂直平分线的斜率为， 故其方程是 ，即. 由垂径定理可知，圆心 也在线段的垂直平分线上， 课 前 基 础 巩 固 由 解得 所以圆心的坐标是 ，圆的半径 ， 所以所求圆的标准方程是 . 课 前 基 础 巩 固 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视方程表示圆的条件致误;对圆心位置可能的情况考虑 不全致误;忽略圆的方程中变量的取值范围致误. 4.已知点在圆外，则实数 的取 值范围为__________________. [解析] 由题意得解得 或 ，故实数的取值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 11 5.半径为2,圆心的横、纵坐标互为相反数且与轴、 轴都相切的圆的 方程为_____________________________________________. 或 [解析] 由题意知圆心的坐标为或 ,所以圆的方程为 或 . 课 前 基 础 巩 固 12 6.已知点为圆上的动点,则 的最小值为____. [解析] 因为点为圆 上的动点, 所以. 因为 ,所以当时,取得最小值 . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 求圆的方程 例1（1）[2022·全国甲卷] 设点在直线上，点 和均在上，则 的方程为______________________. ［思路点拨］思路一：设圆心的坐标为 ，根据半径相等， 求得 的值，可得圆心和半径，从而得到圆的方程； 思路二：先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点连线的中点坐标 和所在直线的斜率，进而得到两点连线的垂直平分线的斜率和方程， 再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点的坐 标求出半径，从而确定圆的方程. 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 方法一： 点在直线上, 可设点 为, 又点和均在上, 点到点, 的距离相等, , 即,解得, , 的半径, 的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 15 方法二：点和点连线的中点为，点和点 连 线所在直线的斜率为，则点和点 连线的垂直平分 线的斜率为3，可得点和点 连线的垂直平分线的方程为 ，即. 由 解得 圆心为 ，半径， 的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 16 （2）[2022·全国乙卷] 过四点，，， 中的三点 的一个圆的方程为 __________________________________________ ___________________________________________________________ ___________________________________________________________. （或 或 或 ） 课 堂 考 点 探 究 17 ［思路点拨］思路一：选其中的三点，设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，求解即可. 思路二：选其中的三点，利用半径相等或圆的几何性质（两条中垂 线的交点为圆心），先求出圆心再求半径，进而求出标准方程. 课 堂 考 点 探 究 [解析] 方法一（圆的一般方程） 依题意设圆的方程为 . ①若过，，三点， 则 解得 所以圆的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 19 ②若过，，三点， 则 解得 所以圆的方程为 . ③若过，，三点， 则 解得 所以圆的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 ④若过，，三点， 则 解得 所以圆的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 方法二（圆的标准方程）设点，，， ， 圆的半径为 . ①若圆过,,三点，则圆心在直线上，设圆心坐标为 ， 则，解得,则 ，所以圆 的方程为，即 . ②若圆过,,三点，则圆心在直线上，设圆心坐标为 ， 则，解得,则 ，所以圆 的方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 22 ③若圆过，，三点，则线段的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程为，联立得,，故 ， 所以圆的方程为,即 . ④若圆过，，三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程为，联立得,，故 ，所以圆 的方程为,即 . 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] 求圆的方程有两种方法: （1）几何法:通过研究圆的性质,直线和圆、圆和圆的位置关系,进而 求得圆的基本量（圆心、半径），从而得到方程.常用到的圆的三个 性质:①圆心在过切点且垂直于切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂 线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆的圆心三点共线. （2）待定系数法:①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般 方程;②利用条件列出关于,,（或,,）的方程组;③解出,, （或,, ）,代入标准方程（或一般方程）.选择方程的形式的关键: 若已知圆上三点,则选用圆的一般方程;若已知条件与圆心及半径有关, 则选用圆的标准方程.#3.1.2 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）已知点，，则以 为直径的圆的方程为 ( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意，以为直径的圆的圆心为线段的中点 ， 半径 ， 所以圆的方程为 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 25 （2）经过，， 三点的圆的标准方程为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 根据题意可知，，，则 ， 线段的中点坐标为，可知圆心在线段的垂直平分线 上. 由，，可知， 线段 的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的方程为 ，即， 由解得 故圆心坐标为 ,圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 27 （3）已知圆经过两点，，且圆心 在直线 上，则圆 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 因为圆心在直线 上，所以设圆心， 又圆经过两点，，所以 ， 故，解得 ， 所以圆心，半径 ， 则圆的方程为 ， 化为一般方程为 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 28 探究点二 与圆有关的轨迹问题 例2 已知为圆上一定点,为圆内一点,, 为 圆上的动点. （1）求线段 中点的轨迹方程; ［思路点拨］设出线段的中点坐标，利用中点坐标公式求出 的 坐标，根据在圆上，将 的坐标代入圆的方程，即可求出中点的轨 迹方程； 课 堂 考 点 探 究 29 解：设线段的中点为 , 由中点坐标公式可知,点的坐标为. 因为点 在圆上,所以, 故线段 的中点的轨迹方程为 . 课 堂 考 点 探 究 30 （2）若 ,求线段 中点的轨迹方程. ［思路点拨］设线段的中点为 ，利用直角三角形斜边上的中线 等于斜边长的一半得到 ，再由圆心与弦中点的连线垂直 弦，结合勾股定理得到 ，利用两点间的距离 公式即可求出中点的轨迹方程. 课 堂 考 点 探 究 31 解：设线段的中点为,连接, 在中, , 设为坐标原点,连接,,则 , 所以 , 所以 , 故线段中点的轨迹方程为 . 课 堂 考 点 探 究 32 [总结反思] 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: （1）直接法,直接根据题目提供的条件列出方程; （2）定义法,根据圆、直线等定义列出方程; （3）几何法,利用圆的几何性质列出方程; （4）代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点的坐标满足的 关系式列出方程. 课 堂 考 点 探 究 33 变式题（1）[2024·新课标Ⅱ卷］已知曲线 ， 从上任意一点向轴作垂线，为垂足，则线段的中点 的 轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设,则,, 因为 在曲线上， 所以 , 整理得点的轨迹方程为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 34 （2）（多选题）在平面直角坐标系中，已知， ， 点满足，设点的轨迹为 ，则下列结论正确的是( ) A.的方程为 B.在轴上存在异于，的两个定点，，使得 C.当，，三点不共线时， D.若点，则在上存在点，使得 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 35 [解析] 设，由条件可得 ， 即，所以的方程为 ，故A错误； 由对称性可知存在， 满足条件，故B正确； ， ， ， ， 所以 ，即， 所以，故C正确； 课 堂 考 点 探 究 36 连接 ， 则，所以线段的垂直平分线的斜率， 的中点坐标为，则线段的垂直平分线的方程为 ，即， 圆的圆心到直线的距离 ，所以直线与圆相交， 故在上存在点，使得 ,故D正确．故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 与圆有关的最值问题 角度1 借助几何性质求最值（斜率型、截距型、距离型） 例3 已知为圆 上任意一点， 且点 . （1）求 的最大值和最小值; ［思路点拨］利用点与圆的位置关系即可得结果； 课 堂 考 点 探 究 38 解：圆，即 ， 圆心为，半径， 易知点在圆外，连接， 直线 交圆于，两点位于，之间， 则当与重合时， 取得最小值， 最小值为 ， 当与重合时，取得最大值，最大值为， 故 的最大值为，最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 39 （2）求 的最大值和最小值; ［思路点拨］将问题转化为斜率的最值即可； 解：易知，易知当与圆相切时， 取得最值. 当与圆相切时，可设直线的方程为， 则由 到该直线的距离为，解得， 故 的最大值为，最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 40 （3）求 的最大值和最小值. ［思路点拨］将问题转化为直线与圆的位置关系即可. 解：设，则表示过点的直线在 轴上的截距， 易知当该直线与圆相切时取得最值. 由圆心 到该直线的距离为，可得或9， 故 的最大值为9，最小值为1. 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 借助几何性质求最值的三种情况: ①形如 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; ②形如 的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; ③形如 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的 平方的最值问题. 课 堂 考 点 探 究 42 变式题 设实数，满足方程 . 解：将方程 变形可得 ， 则点是以点 为圆心，2为半径的圆上任意一点. （1）当时，求 的取值范围; 课 堂 考 点 探 究 43 根据题意，当时， 的几何意义为圆上任意一点与点 连线的斜率. 设，过点的圆的切线斜率为 ， 则切线方程为，即， 则点 到切线的距离，解得， 故 的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 44 （2）求 的最大值与最小值; 解：由，得 ，该方程表示一条直线， 易知当直线与圆相切时， 取得最大值和最小值. 当直线与圆相切时，，解得或 ， 则的最小值为，最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 45 （3）求 的取值范围. 解： ， 设，则的几何意义为圆 上任意一点与点 间的距离， 设，则，则有 ， 所以， 故 的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 46 角度2 建立函数关系式求最值 例4 在平面直角坐标系中，已知两点，，设 是 圆上的动点，则 的最大值为___. 5 ［思路点拨］思路一：设 ，则 ，利用换元法即可求出的最大值； 思路二：取的中点 ，则 ， 由余弦定理得，根据阿氏圆的性质可得 ， 故，即可得 的最大值. 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 方法一：设，则 ， , 令，则 ， 则， 当 时等号成立，故 的最大值为5. 课 堂 考 点 探 究 48 方法二：如图，设为圆与轴正半轴的交点， 取 的中点，连接，，，则 ， 则. 在 中，由余弦定理得 ， 在 中，由余弦定理得 ，其中 ， 课 堂 考 点 探 究 故 ，两式相加得 ， 即，即 ， 根据阿氏圆的性质可得 ， 故 ，其中， 故当时， 取到最大值，最大值为5. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 建立函数关系式求最值,就是根据题目条件列出关于所求目标表达式 的函数关系式,然后根据关系式的特征选用适当的方法（如参数法、 配方法、不等式法）求最值. 课 堂 考 点 探 究 51 变式题 若点为圆上的一个动点,点, 为两 个定点,则 的最大值为( ) A.2 B. C.4 D. √ [解析] 方法一:易得 , 可得,当且仅当 时取等号,所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 52 方法二:当与或重合时,; 当不与和 重合时,易得, 设,则 , , 则 , 又，所以 . 综上， .故选B. 课 堂 考 点 探 究 53 角度3 利用对称性求最值 例5 [2025·江苏南通期末]若为直线 上的动点， ，在圆上，则 的最小值 为( ) A. B.3 C. D.2 ［思路点拨］先求出点关于直线对称的点 ， 再数形结合得 ，即可求最小值. √ 课 堂 考 点 探 究 54 [解析] 设点关于直线的对称点为 ， 则解得 即， 圆的圆心为 ，半径为1， 则 ， 当且仅当，，，四点共线，且在线段上时， 取得最小值，最小值为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 55 [总结反思] 利用对称性求最值的关键是通过对称变换将复杂的距离问题转化为 简单的距离问题，从而利用两点之间线段最短等几何原理找到最值. 课 堂 考 点 探 究 56 变式题 [2025·河南周口模拟] 已知为圆 上的 动点，为圆上的动点，为直线 上的动点， 则 的最小值为_ __. [解析] 易知关于直线的对称点为， 则圆 关于直线对称的圆的方程为， 要使 的值最小，则,,（其中为圆关于直线的 对称圆 上的点）三点共线，且该直线过,两点，,在线段 上， 所以 的最小值为 . 课 堂 考 点 探 究 【备选理由】例1是圆的方程相关问题; 例1 ［配例1使用］（1）已知， 点， 是坐标原点.若点在上，则 面积的最大值 为( ) A. B.3 C. D.2 √ 教 师 备 用 习 题 58 [解析] 由 ， 得， 则圆心为 ，半径. 因为，，所以 ，， 又, ， 所以，即， 要使的面积最大，则在 的延长线上，且在圆 上，如图， 此时， 则 面积的最大值为 .故选B. 教 师 备 用 习 题 59 [解析] 将代入 可得 作出点 所在区域，如图中阴影部分所示， 故点所在区域是边长为 的正方形的内部及 半径为 的圆的外部（包括边界），其面积 . （2）已知函数，则满足条件 的点 所在区域的面积为_______. 教 师 备 用 习 题 60 例2 ［配例2使用］[2025·福建龙岩质检]已知, 是圆 上的两个相异的动点，动点满足 ，且 ，则动点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】 例2考查利用相关点法求轨迹方程； 教 师 备 用 习 题 61 [解析] 设，因为，， ， 所以， 可得 整理得 将 展开可得 . 因为， 在圆上， 所以， ， 教 师 备 用 习 题 又，即， 所以 . 由 可得 ， 又，所以 ， 可得，故动点的轨迹方程为 .故选C. 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例3使用］[2023·全国乙卷]已知实数, 满足 ,则 的最大值是( ) A. B.4 C. D.7 [解析] 方法一：方程 可化为 . 设，即 ，则当直线与 圆相切时， 取得最大值或最小值， 此时，解得或 ， 所以的最大值为 .故选C. √ 【备选理由】 例3是与圆有关的最值问题; 教 师 备 用 习 题 64 方法二：方程 可化为 ， 由圆的参数方程可设 为参数 ， 所以 ， 当 时，等号成立.故选C. 教 师 备 用 习 题 65 例4 ［配例5使用］在平面直角坐标系 中，一只蚂蚁从点 出发，爬到轴后又爬到圆 上， 则它爬行的最短路程是( ) A. B.4 C.8 D. [解析] 由圆 ，得圆心为 ，半径， 易得点关于 轴的对称点为 ， 如图，所求的最短路程即为到圆 上的点的最短距离，为 .故选A. √ 【备选理由】 例4考查利用对称性求最值; 教 师 备 用 习 题 66 例5 ［补充使用］已知， ，圆 上有且仅有一个点满足 ，则 的值为( ) A.1或3 B.2 C.3 D.1或5 [解析] 设，由，得 ， 两边平方得，整理得 ， 则点在圆心为 ，半径为2的圆上运动. 圆的圆心为，半径为 ， 由题意知，两圆相切，圆心距为1，所以，解得 或1. 故选A. √ 【备选理由】 例5是与阿波罗尼斯圆有关的问题. 教 师 备 用 习 题 67 $