第二节直线的交点坐标与距离公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面解析几何中直线的交点坐标与距离公式，依据高考评价体系梳理了直线平行垂直判定、交点求解、距离公式及对称问题等核心考点，通过真题改编题和模拟题分析明确距离公式及对称问题为高频考点，归纳了选择、填空及解答题中的基础常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养融合”，如利用直线系方程简化交点问题求解，通过对称问题中“垂直平分”策略培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念），特设易错点警示（如距离公式应用前提），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统组织复习，提升学生高考冲刺效率。

第二节 第八章　平面解析几何 直线的交点坐标与距离公式 【目标要求】　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔___________.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2_____________. 与Ax+By+C=0平行的直线,可设为Ax+By+m=0(m≠C). (2)两条直线垂直:如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2⇔_____________.特别地,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线_____________. k1=k2 平行 k1·k2=-1 垂直 2.两直线相交 (1)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应. (2)相交⇔方程组有_____________,交点坐标就是方程组的解. (3)平行⇔方程组_____________. (4)重合⇔方程组有_____________. 唯一解 无解 无数个解 3.三种距离公式 (1)点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离为|AB|=______________________. (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=___________. (3)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离为 d=_______________. [微点清]　求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.求两平行直线之间的距离时,应先将方程化为一般式,且x,y的系数对应相等. (2a-x0,2b-y0) 1.对于直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0: (1)“两直线平行”的充要条件是“A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1”; (2)“两直线垂直”的充要条件是“A1A2+B1B2=0”. 2.与直线Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)垂直或平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0(n≠C). 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.(　　) (2)若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(　　) 由直线交点坐标的概念可知,两直线交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解,正确. 解析 (3)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.(　　) (4)点P1(0,a)和点P2(b,0)之间的距离为a-b.(　　) |P1P2|=,错误. 解析 2.若直线(2m-1)x+my+1=0和直线mx+3y+3=0垂直,则实数m的值为 (　　) A.1 B.0 C.2 D.-1或0 由两直线垂直可得m(2m-1)+3m=0,解得m=0或m=-1.故选D. 解析 3.(人A选一P72练习3题改编)已知直线l经过原点,且经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点,则直线l的方程是(　　) A.4x-3y=0 B.4x+3y=0 C.3x-4y=0 D.3x+4y=0 解析 4.(人A选一P102T1(3)改编)与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为(　　) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0 直线3x-4y+5=0的斜率是,与x轴交点为,因此它关于x轴对称的直线方程是y=-,即3x+4y+5=0. 解析 5.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为___________. 由两条直线平行,得=,所以a=6,所以直线3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,则两条平行直线间的距离为d==. 解析 考点一 两条直线的平行与垂直………………自练自悟 (1)已知直线l1:(2a+1)x+ay+1=0,l2:(a+2)x+ay+2=0,则“a=1”是“l1∥l2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 直线l1,l2平行或重合的充要条件是(2a+1)a=(a+2)a,所以a=0或a=1.将a=1代入直线l1,l2的方程,得l1:3x+y+1=0,l2:3x+y+2=0,易知l1∥l2;将a=0代入直线l1,l2的方程,得l1:x+1=0,l2:2x+2=0,直线l1,l2重合,故a=0舍去.综上所述,“a=1”是“l1∥l2”的充要条件.故选C. 解析 (2)若直线l1:(k-3)x+(k+4)y+1=0与l2:(k+1)x+2(k-3)y+3=0垂直,则实数k的值是(　　) A.3或-3 B.3或4 C.-3或-1 D.-1或4 因为直线l1:(k-3)x+(k+4)y+1=0与直线l2:(k+1)x+2(k-3)y+3=0垂直,所以(k-3)×(k+1)+(k+4)×2(k-3)=0,即k2-9=0,解得k=3或k=-3.故选A. 解析 (3)已知a>0,b>0,直线(a-1)x+y-1=0和x+2by+1=0垂直,则+的最小值为 (　　) A.16 B.8 C.4 D.2 解析 1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. 2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 【例1】　若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 考点二 两条直线的交点问题 解析 求过两条直线交点的直线方程的方法 1.列方程组解出交点,根据条件求出直线方程. 2.采用过交点的直线系方程求解. 【训练1】　经过直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点,并且经过原点的直线的方程是(　　) A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.3x+19y=0 D.19x-3y=0 解析 直线系方程 直线系方程有以下三种: (1)平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C,λ是参数). (2)垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0(λ为参数). (3)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中A1B2-A2B1≠0,待定系数λ∈R.(它不能表示直线l2) 【典例】　(1)过点A(2,3)且与直线l:2x-4y+7=0平行的直线方程是 (　　) A.x-2y+4=0　　　　B.x-2y-4=0 C.2x-y+1=0 D.x+2y-8=0 由题意,设所求直线方程为2x-4y+c=0(c≠7),因为直线经过点A(2,3),所以2×2-4×3+c=0,解得c=8,所以所求直线方程为x-2y+4=0.故选A. 解析 (2)经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为_______________. 因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0.又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,故所求直线方程为x-2y=0. 解析 x-2y=0 (3)过直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点,且斜率为3的直线方程为_______________. 3x-y+3=0 解析 解法二:设所求直线为l,因为l过已知两条直线的交点,所以直线l的方程可设为2x-y+2+λ(x+y+1)=0(其中λ为常数),即(λ+2)x+(λ-1)y+λ+2=0　①,又直线l的斜率为3,所以-=3,解得λ=,将λ=代入①,整理得3x-y+3=0. 解析 【微练】　(1)已知直线l过点(0,7),且与直线y=-4x+2平行,则直线l的方程为(　　) A.y=-4x-7　　　　　B.y=4x-7 C.y=4x+7 D.y=-4x+7 过点(0,7)且与直线y=-4x+2平行的直线方程为y-7=-4x,即直线l的方程为y=-4x+7.故选D. 解析 (2)过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是(　　) A.4x+3y-13=0 B.4x-3y-19=0 C.3x-4y-16=0 D.3x+4y-8=0 与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程可设为4x+3y+m=0.把点P(4,-1)代入,得4×4-3+m=0,解得m=-13.故选A. 解析 (3)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点,若点A(5,0)在直线l上,则直线l的方程为___________. 经过两直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,将A(5,0)代入方程,解得λ=-1,所以直线l的方程为x+3y-5=0. 解析 x+3y-5=0 【例2】　(1)(2026·石家庄模拟)已知直线l1:2x-y-4=0,l2:x+y-5=0相交于点P,则P到直线l:x+2y+3=0的距离为(　　) A.2 B. C. D. 考点三 距离问题 解析 (2)若直线l1:x+ay+9=0与l2:(a-2)x+3y+3a=0平行,则直线l1,l2间的距离是 (　　) A. B. C.4 D.2 由题设得a(a-2)=3,则(a+1)(a-3)=0,解得a=-1 或a=3,当a=-1 时,l1:x-y+9=0,l2:-3x+3y-3=0,满足题意;当a=3 时,l1:x+3y+9=0,l2:x+3y+9=0,l1与l2 显然重合,不满足题意.所以a=-1,此时直线l1:x-y+9=0 与l2:x-y+1=0 间的距离为=4.故选C. 解析 (3)已知直线l:(m+1)x-y-3m-2=0,则点P(-1,-1)到直线l的距离的最大值为_____________. 2 直线l:(m+1)x-y-3m-2=0,即x-y-2+m(x-3)=0, 由解得x=3,y=1,所以直线l 恒过定点A(3,1),当直线l与直线AP垂直时, 点P(-1,-1)到直线l的距离最大,最大值为|AP|= =2,所以点P(-1,-1)到直线l的距离的最大值为2. 解析 1.点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式. 2.运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中的x,y的系数对应相等. 【训练2】　(1)直线l1,l2分别过点M(1,4),N(3,1),它们分别绕点M和N旋转,但必须保持平行,那么它们之间的距离d的最大值是(　　) A.5 B.4 C. D.3 解析 (2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为_______________. 解法一:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知=,即|3k-1|=|-3k-3|,所以k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1. 解析 x+3y-5=0或x=-1 解法二:连接AB,当AB∥l时,直线l的斜率k=kAB=-,直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,由直线l过点P(-1,2) 知,直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1. 解析 【例3】　已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标; 考点四 对称问题 解 (2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程; 解 (3)直线l关于点M(1,1)对称的直线l'的方程. 解法一:在直线l:x+2y-2=0上任取两点,如A(2,0),C(0,1),则A,C关于点M(1,1)的对称点A',C'均在直线l'上,易得A'(0,2),C'(2,1),所以直线l'的方程为y-2=x,即x+2y-4=0. 解法二:设直线l关于点M(1,1)对称的直线l'的方程为x+2y+m=0,m≠-2,由=,解得m=-2(舍去)或m=-4,所以直线l'的方程为x+2y-4=0. 解 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键要抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点所连线段的中点在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解. 【训练3】　(1)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为_______________. 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0. 解析 x+4y-4=0 (2)已知直线l:3x-y-1=0及点A(4,1),B(0,4),点Q在l上,当|AQ|-|BQ|的值最大时,点Q的坐标为____________,|AQ|-|BQ|的最大值为_____________. 解析 (2,5) 解析 4.对称问题 (1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点的坐标为P'_______________. (2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P'(x',y'),则有可求出x',y'. 经过直线2x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0的交点的直线可设为2x-2y-1+λ(6x-4y+1)=0,将原点O(0,0)代入,得-1+λ=0,解得λ=1,所以直线l的方程为4x-3y=0. 因为a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1.则+=+=2+++2≥4+2=4+4=8,当且仅当a=2b=时,等号成立,故+的最小值为8,故选B. 由已知得,⇒,因为交点在第一象限,所以⇒-<k<.故选A. 由所以l1与l2的交点坐标为.所以所求的直线方程为y=-x,即3x+19y=0.故选C. 解法一:解方程组所以两条直线的交点坐标为(-1,0).又所求直线的斜率为3,故所求直线的方程为y-0=3[x-(-1)],即3x-y+3=0. 由题意,联立故P(3,2).则P 到直线l:x+2y +3=0 的距离为d==2,故选A. 连接MN,当直线l1,l2都与MN垂直时,它们之间的距离取得最大值,则dmax=|MN|==.故选C. 设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为Q(x,y),则所以对称点Q的坐标为. 由即直线l与l1的交点为A(2,0),点E(0,-2)是直线l1上的点,设它关于直线l的对称点为B(x1,y1),则即B,kAB==7,所以直线l2的方程为y=7(x-2),即7x-y-14=0. 如图,设B关于l的对称点为B'(m,n),因为kl=3,则即B'(3,3).连接AB',则AB'所在的直线方程为 y=(x-3)+3,即 2x+y-9=0.由得AB'与l的交点为 (2,5),记此点为Q,又在直线l任取一点M,连接 BM,B'M,由对称性得,|BM|=|B'M|,则|AM|-|BM|= |AM|-|B'M|≤|AB'|.当A,B',M三点共线时,即M与 Q重合时,此时|AQ|-|BQ|的值最大,为|AB'|==. $