数列的通项 讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦数列通项求法核心考点，系统整合公式法、作差作商法、累加法、构造法等知识，按“知识梳理-题型突破-真题演练”架构，通过考点分类讲解、方法规律总结、高考真题训练，帮助学生构建解题体系，突破递推关系转化难点。 讲义注重数学思维与模型意识培养，如构造法中引导学生用待定系数法转化等比数列模型，结合2024-2026年模拟真题分层训练，设基础到综合练习。既提升学生逻辑推理与解题效率，又为教师提供精准复习节奏把控依据，助力高效备考。

数列的通项 知识梳理： 数列的通项的求法： 1、 公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 2、 已知（即）求，用作差法：。 3、 已知求，用作商法：。 4、 若求用累加法： 。 5、 已知求，用累乘法：。 6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 （2） 形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 7、先猜后证法：先计算出数列的前几项（至少3项），观察出它们的规律，然后猜想出数列的通项公式， 再用数学归纳法证明猜想的正确性 8、其他方法 【题型1 由数列的前几项求数列的通项】 规律与方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征； (4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 1. 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）－1，7，－13，19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5，55，555，5 555，…. 解　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5). (2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝. (3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝. (4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1). 2.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 3.（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【答案】C 【分析】根据给定图形信息，利用归纳法求出六边形数形成数列的通项公式，即可求出要求的项. 【详解】六边形数从小到大排成一列，形成数列， 依题意，，归纳得， 所以. 故选：C 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 规律与方法 1.已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 2.根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 【答案】B 【解析】数列的前n项和为，所以.故选：B 2.（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后表示出并结合即可求解出结果. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，，符合的情况，所以， . 3.（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足；所以 所以的前项和为.所以 4．（2026·浙江·三模）设数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由化简得到，令，得，则数列是以为首项，为公比的等比数列，写出通项公式，再逐一验证即可. 【详解】由题意，两式相减可得：， 化简得，即 令，得到，即，解得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故， 则. 5.（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 6.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据递推关系及的关系求得、，再由等差数列的定义写出通项公式； （2）应用裂项相消法求，即可证. 【详解】（1）因为，， 当时，，又，所以或，又，则. 当时，因①；所以②， ①②：，化简：， 由，，故， 所以是以2为首项，公差为1的等差数列，则. （2）由，得， 所以， 又，所以，得证. 7.（多选 2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【答案】ABD 【分析】根据与之间的关系分析可得，即可判断A；进而可得，，即可判断BC；整理可得，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列满足， 当时，，所以， 可得， 因为，可得，所以， 则，所以，所以， 所以数列是以首项为，公差的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得，所以， 当时，， 当时，，适合上式，所以， 又由，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以B正确； 对于C，由B项知：数列的通项公式为，所以C错误； 对于D，由， 可得的前项和为： ，所以D正确. 【题型3 由递推关系求数列的通项公式】 规律与方法 1、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 2、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 1.（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 2．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 3．（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，，当时，，则， 所以 .故选：A 4.（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】因为，所以， 所以时，， 则 ， 故. 故答案为：. 5.（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 6.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 【题型4 构造法求数列的通项公式】 规律与方法 1.构造法： （1）形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． （2）形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为． （3）通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 1.（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 2.（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 3.（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 5.（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 【题型5 倒数法求数列的通项公式】 规律与方法 1.形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 1.（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 3.已知数列满足，则数列的前8项和 ． 【答案】502 【详解】由，取倒数得， 所以， 因为，所以，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，则， 所以数列的前8项和. 故答案为：502 【题型6 形如求数列的通项公式】 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 1.已知数列满足，且，求 ． 【答案】 【详解】因为，可得， 即，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以数列是常数数列，，所以， 2.已知数列中，，且满足，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 又，所以为首项为2，公差为1的等差数列，则， 则． 故答案为： 【题型7 对数法求数列通项】 规律与方法 形如，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式 1.数列{an}中,a1=1,an+1=2,则数列{an}的通项公式为　　　　　.  答案 an= 解析 由a1=1,an+1=2,得an>0,两边取常用对数,得lg an+1=3lg an+lg 2. 令bn=lg an,得bn+1=3bn+lg 2, ∴bn+1+=3bn+. ∵b1+=lg 1+≠0,∴数列bn+是以为首项,3为公比的等比数列, 则bn+=3n-1·,即bn=(3n-1-1)lg 2=lg . ∵bn=lg an,∴an=. 2.（2024·全国·高三阶段练习）设正项数列满足，，则数列的通项公式是______． 【答案】 【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式． 【详解】原式两边同时取对数，得， 即．设，则， 又， 所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以，所以． 故答案为：. 【题型8 奇偶分类讨论求通项】 规律与方法 形如求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多为等差等比）求通项公式 1.“和”常数型：，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列 2.“和”等差型：则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列 3.“和”二次型：， 则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式 4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式 5.满足，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造 同理可得形如求通项的方法。 1.（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列的前n项和为．若，，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】C 【分析】根据，即可根据奇偶项分别为等差数列，分组求和，或者利用为等差数列，即可由等差求和公式求解. 【详解】方法一： ∵①，∴当时，②， ①-②得当时，， ∴中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2． ∵，∴当n为奇数时，； 当n为偶数时，． ∴． 方法二： ∵，∴，， ∴数列是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴． 故选：C． 2.已知数列 满足 , 求数列 的通项公式. 解：由题意得 所以 (1) n为奇数， (2) n为偶数， = =        【题型9 利用前n项积求通项 】 规律与方法 已知求，用作商法：。 1.若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】∵数列的前项积， 当时，， 当时，，， 时也适合上式， ∴， ∴当时，数列单调递减，且 ，当时，数列单调递减，且 ， 故的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值之和为2. 故选：C. 2．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 3.记为正项数列的前项积，且，，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，，即， 又∵，∴是首项为2，公比为2的等比数列， ∴； 【题型10 数列的周期性及应用】 规律与方法 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 常见周期数列 1.若数列{an}满足 2.若数列{an}满足 3.若数列{an}满足 4.若数列{an}满足 5.若数列{an}满足 6. 1.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列 满足 ，则 _____. 【答案】 【详解】由得，， 所以数列周期为3，故. 2．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，， 所以，，，， ，，，，， 又，所以.故选：B 3．（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【解析】由题意得，用替换式子中的，得， 两式相加可得，即，所以数列是以6为周期的周期数列. 又，，. 所以数列的前2024项和.故选：A. 4．（2024·山西·一模）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， 同理，， 即是以6为周期的数列，所以.故选：B 5.（2026·云南昆明·模拟预测）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 【答案】1 【分析】通过赋值得出数列的周期即可求解. 【详解】由题意可知,, ,,, 所以数列是从第2项起，周期为3的数列. 则的前100项的和 课后作业： 1.数列，－，，－，…的第10项是(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ .解析　所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.答案　C 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和的关系求解即可. 【详解】由， 当时，， 当时，，满足上式， 所以. 故选：B. 3．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 4.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 5.数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(　　) A.2n－1 B.n2 C. D. 解析　设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.答案　D 6.已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得当时，，相减可求当时，的表达式，再求，再求数列的前项和，结合关系恒成立求的范围，由此可得结论. 【详解】因为， 所以当时，， 所以， 所以， 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，，时，也适合， 由恒成立，可得， 所以的最小值为， 故选：D. 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，即. 又①，    则②， 由②-①，得， 所以是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公差的等差数列 所以8.（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】因为（公和），所以，两式相减可得，， 可知数列是以为周期的周期数列，因为，所以，又公和为5，所以， 所以，. 9.已知数列的前项和为，且.若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设结合和等比数列通项公式求出数列的通项公式，进而将题设恒成立问题转化成对任意的恒成立，从而求出的最大值即可得解. 【详解】因为， 所以当时，； 当时，， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以，若对任意的正整数恒成立， 则对任意的恒成立，所以， 令，则， 所以当时，， 所以，所以对任意正整数，， 又，所以. 所以实数的最小值为. 故选：B 10.（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 11．（多选 2026·云南·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】由，可判定A正确；根据与的关系式，求得，结合等差数列的定义，可判定B正确；由得到，当时，，求得的最小值为，可判定C错误；由选项C的分析，结合等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】对于A，因为数列的前项和， 当时，可得，所以A正确； 对于B，当时，， 其中，适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以B正确； 对于C，由，令，即，解得， 所以数列满足：，，当且时，， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，由选项C的分析知：，，当且时，， 可得，所以D正确. 12.（多选 2026·福建泉州·模拟预测）记为数列的前项和，若，，则（    ） A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 【答案】ACD 【分析】先利用与作差，推导出从第二项起数列是公比为2的等比数列，再据此逐一验证选项即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，， 所以， 所以()，， 从开始，数列是公比为2的等比数列：，，，； 同时可推得前项和的通项公式：，即 . 因此A选项：，由上面的推导，，正确； B选项：为等比数列，等比数列要求从首项起公比恒定，而，，公比不唯一，不满足等比数列定义，错误； C选项：，， 也可由直接得，正确； D选项：为等差数列，先求：，，，，， ，，，，可以看到，，是公差为1的等差数列，正确. 故选：ACD. 13．（多选 25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于CD，，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，C正确； ，即，D错误； 对于B，，， 数列是递增数列，B正确. 14（多选 2026·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 【答案】BCD 【分析】通过构造新数列计算判断A，C，B，应用前n项和及通项公式的关系结合递推公式判断D. 【详解】对于A，由，得，又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 对于B，由题意得，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由对A的分析知，所以，故C正确； 对于D，由对B的分析知，故，由， 得，即时，， 又，所以，， 所以当为奇数时，均为0， 当为偶数时，均为1，故， 即，即，故D正确. 15.（2026·辽宁锦州·二模）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 【答案】 【分析】先根据为等差数列，求出，再根据的关系求出通项公式，然后检验是否符合即可. 【详解】解：由是首项为1，公差为的等差数列，则，所以， 当时，， 当时，， 检验，当时，，所以该公式对也成立， 所以. 16.（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 17.（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是______. 【答案】5 【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值. 【详解】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  ., ，即，, , 的最大值是.故答案为：5. 18.已知各项均为正数的数列的首项为1，且前项和满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】根据，利用平方差公式变形化简得到，再利用等差数列的定义求解. 【详解】∵， ∴．又，∴．又， ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列， ∴，故．当时，． 当时，符合上式．∴数列的通项公式为．故答案为： 19.（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可. （2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 20.（ 2021·全国高考乙卷（理） 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【详解】（1） 由已知条件知    ①于是．       ② 由①②得．     ③又，       ④ 由③④得． 令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的通项 知识梳理： 数列的通项的求法： 1、 公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 2、 已知（即）求，用作差法：。 3、 已知求，用作商法：。 4、 若求用累加法： 。 5、 已知求，用累乘法：。 6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 （2） 形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 7、先猜后证法：先计算出数列的前几项（至少3项），观察出它们的规律，然后猜想出数列的通项公式， 再用数学归纳法证明猜想的正确性 8、其他方法 【题型1 由数列的前几项求数列的通项】 规律与方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征； (4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 1. 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）－1，7，－13，19，…； (2)，，，，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5，55，555，5 555，…. 2.（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（   ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 3.（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（    ） A．778 B．779 C．780 D．781 【题型2 由an与Sn的关系求通项公式】 规律与方法 1.已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 2.根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 1．（2024·河南开封·二模）已知数列的前n项和为，则（    ） A．81 B．162 C．243 D．486 2.（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 3.（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·三模）设数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 6.（2026·重庆渝中·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式 (2)设，求数列的前n项和，并证明：. 7.（多选 2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 【题型3 由递推关系求数列的通项公式】 规律与方法 1、累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 2、累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 1.（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 2．（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 3．（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 4.（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 5.（25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【题型4 构造法求数列的通项公式】 规律与方法 1.构造法： （1）形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． （2）形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为． （3）通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 1.（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 2.（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 3.（25-26高三·全国·二轮复习）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 5.（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为______． 【题型5 倒数法求数列的通项公式】 规律与方法 1.形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 1.（2026·山东济宁·一模）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 2.（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知数列满足，则数列的前8项和 ． 【题型6 形如求数列的通项公式】 形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 1.已知数列满足，且，则= ． 2.已知数列中，，且满足，则 ． 【题型7 对数法求数列通项】 规律与方法 形如，可以 通过取对数构造等比数列求通项公式 1.数列{an}中,a1=1,an+1=2,则数列{an}的通项公式为　　　　　.  2.（2024·全国·高三阶段练习）设正项数列满足，，则数列的通项公式是______． 【题型8 奇偶分类讨论求通项】 规律与方法 形如求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多为等差等比）求通项公式 1.“和”常数型：，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列 2.“和”等差型：则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列 3.“和”二次型：， 则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式 4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式 5.满足，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造 同理可得形如求通项的方法。 1.（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列的前n项和为．若，，则（   ） A．48 B．50 C．52 D．54 2. 已知数列 满足 , 求数列 的通项公式. 【题型9 利用前n项积求通项 】 规律与方法 已知求，用作商法：。 1.若数列的前项积，则的最大值与最小值之和为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 3.记为正项数列的前项积，且，，. (1)求数列的通项公式； 【题型10 数列的周期性及应用】 规律与方法 1、周期数列的常见形式 （1）利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； （2）相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； （3）相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 2、解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 常见周期数列 1.若数列{an}满足 2.若数列{an}满足 3.若数列{an}满足 4.若数列{an}满足 5.若数列{an}满足 6. 1.（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列 满足 ，则 _____. 2．（2024·甘肃兰州·一模）数列满足，，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 3．（2024·四川宜宾·二模）在数列中，已知，且满足，则数列的前2024项的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2024·山西·一模）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5.（2026·云南昆明·模拟预测）若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______. 课后作业： 1.数列，－，，－，…的第10项是(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 2．已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 5.数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(　　) A.2n－1 B.n2 C. D. 6.已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 8.（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 9.已知数列的前项和为，且.若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 10.（2025·河南·模拟预测）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 11．（多选 2026·云南·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 12.（多选 2026·福建泉州·模拟预测）记为数列的前项和，若，，则（    ） A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 13．（多选 25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知数列的首项，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是递增数列 C．数列是等比数列 D． 14（多选 2026·安徽·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D． 15.（2026·辽宁锦州·二模）已知数列的前项和为，是首项为1，公差为的等差数列，则________. 16.（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则______． 17.（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是______. 18.已知各项均为正数的数列的首项为1，且前项和满足，则数列的通项公式为______． 19.（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 20.（ 2021·全国高考乙卷（理）） 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $