§2.2 数列的通项与求和 讲义-2026届高三数学二轮复习

§2.2 数列的通项与求和 目录 题型1：求数列的通项 5 题型2：数列求和 7 题型3：数列与函数、不等式的综合问题 10 【强化训练】 14 1. 求通项公式的方法 (1) 若数列的前项和为，则 (2) 若已知且的数列，则用累加法。 (3) 若已知且,则用累乘法。 (4) 若已知 方法一（构造法）：设存在非零常数，使得，其中，则数列就是公比为的等比数列。 方法二（不动点法）：设，令，求得，则是的不动点．数列满足，则，即是公比为的等比数列． (5) 形如的数列 方法一：特例如，可以两边同时取倒数转化为的形式，化归为型，求出的表达式，再求. 方法二（不动点法）：设，求不动点方程方程的根，可以分两种情况：①若其中有一个不动点，则是等差数列；②若有两个相异的不动点，则. (6) 形如的数列，可以化为 ，其中是方程的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则需构造两个数列，采取消元的方法求数列. (7) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式相减即得，然后按奇、偶分类讨论即可. (8) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式作商可得，然后按奇、偶分类讨论即可. 2. 数列求和的几种常用方法 (1) 分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见裂项技巧： ①若是等差数列，公差为，则 . ②. ③. ④. ⑤. (3) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和可用错位相减法求解．其基本步骤为： (4) 倒序相加法 如果一个数列中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法求解. 3. 数列与不等式 数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法。常见的不等式证明方法有： (1) 比较法 ①作差比较法：作差→变形→判断符号（与0比较大小）→结论． ②作商比较法：作商→变形→判断符号（与1比较大小）→结论，适用于同号的两个数或式的比较． ③单调性比较法：构造函数→判断单调性→比较函数值→结论． (2) 综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，通过一系列逻辑推理，逐步推导出所要证明的结论。 (3) 分析法 从待证明的结论出发，逐步寻找使其成立的充分条件，直至找到已知条件或公理定理。思考过程是“要证……，只需证……”。正式书写证明时，常将分析法的思路转化为综合法的顺序来书写。 (4) 放缩法 用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和.放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪项开始放缩. 放缩的常见技巧： ①添加或舍去一些项，如： ②将分子或分母放大或缩小，如： . ③利用基本不等式等，如：. 题型1：求数列的通项 【例1.1.】 已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【例1.2.】 设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 【例1.5.】 已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【例1.6.】 已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【例1.7.】 已知数列，，，是数列的前项和，则__________. 【例1.8.】 已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【例1.9.】 （多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【例1.10.】 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【例1.11.】 已知各项均为正数的数列，满足． (1)求； (2)设数列满足，记其前项和为，且，求 【例1.12.】 （多选）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 【例1.13.】 将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______. 题型2：数列求和 【例2.1.】 （多选）已知数列满足：，则（   ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．设数列满足，则既有最大项，又有最小项 【例2.2.】 设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【例2.3.】 已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【例2.4.】 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【例2.5.】 已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【例2.6.】 在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 【例2.7.】 已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【例2.8.】 已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【例2.9.】 已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【例2.10.】 已知数列满足，则______；记数列的前项和为，则______． 【例2.11.】 （多选）设等差数列的前n项和为，且，.设，数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【例2.12.】 若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【例2.13.】 （多选）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 【例2.14.】 设数列的前项和为，若． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和记为，求． 【例2.15.】 已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【例2.16.】 在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 题型3：数列与函数、不等式的综合问题 【例3.1.】 已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【例3.2.】 记为等差数列的前项和.已知且. (1)求的通项公式； (2)设函数，，求数列的前项和. 【例3.3.】 （多选）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 【例3.4.】 已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 【例3.5.】 （多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．是递增数列 B．当时， C． D． 【例3.6.】 （多选）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 【例3.7.】 （多选）记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．设，则 D．设，则 【例3.8.】 在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【例3.9.】 （多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．， C． D． 【例3.10.】 （多选）已知数列的前n项和为，若，对于，有恒成立，则称数列的前n项和是有上界的．下列数列的通项公式中，哪些数列的前n项和存在上界（    ）． A． B． C． D． 【例3.11.】 已知函数定义在区间内，时，恒有. (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 【例3.12.】 已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【例3.13.】 已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 【例3.14.】 对于可导函数，从初始值出发，定义序列．已知，． (1)设，求函数的解析式，并求的值； (2)记，，并设． （ⅰ）求证：； （ⅱ）是否存在正整数m，n，使得，，成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足条件的，，． 【例3.15.】 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． (1)当时，求； (2)若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【例3.16.】 定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为. (1)求； (2)证明：； (3)记为数列的前项和，证明：. 【例3.17.】 已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 【例3.18.】 记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 【强化训练】 1. 设是数列的前项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 3. 已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 4. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 5. （多选）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 7. （多选）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C． D． 8. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 9. 记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 10. 已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 11. 已知集合中元素的个数为. (1)若，，求. (2)若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列. (3)若，，且，求数列的前项和. 12. 若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”. (1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围. (2)若，证明：数列为“稳定数列”. (3)若为“稳定数列”，证明，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.2 数列的通项与求和 目录 题型1：求数列的通项 5 题型2：数列求和 16 题型3：数列与函数、不等式的综合问题 37 【强化训练】 64 1. 求通项公式的方法 (1) 若数列的前项和为，则 (2) 若已知且的数列，则用累加法。 (3) 若已知且,则用累乘法。 (4) 若已知 方法一（构造法）：设存在非零常数，使得，其中，则数列就是公比为的等比数列。 方法二（不动点法）：设，令，求得，则是的不动点．数列满足，则，即是公比为的等比数列． (5) 形如的数列 方法一：特例如，可以两边同时取倒数转化为的形式，化归为型，求出的表达式，再求. 方法二（不动点法）：设，求不动点方程方程的根，可以分两种情况：①若其中有一个不动点，则是等差数列；②若有两个相异的不动点，则. (6) 形如的数列，可以化为 ，其中是方程的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则需构造两个数列，采取消元的方法求数列. (7) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式相减即得，然后按奇、偶分类讨论即可. (8) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式作商可得，然后按奇、偶分类讨论即可. 2. 数列求和的几种常用方法 (1) 分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见裂项技巧： ①若是等差数列，公差为，则 . ②. ③. ④. ⑤. (3) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和可用错位相减法求解．其基本步骤为： (4) 倒序相加法 如果一个数列中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法求解. 3. 数列与不等式 数列与不等式的综合问题，如果是证明题，要灵活选择不等式的证明方法。常见的不等式证明方法有： (1) 比较法 ①作差比较法：作差→变形→判断符号（与0比较大小）→结论． ②作商比较法：作商→变形→判断符号（与1比较大小）→结论，适用于同号的两个数或式的比较． ③单调性比较法：构造函数→判断单调性→比较函数值→结论． (2) 综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，通过一系列逻辑推理，逐步推导出所要证明的结论。 (3) 分析法 从待证明的结论出发，逐步寻找使其成立的充分条件，直至找到已知条件或公理定理。思考过程是“要证……，只需证……”。正式书写证明时，常将分析法的思路转化为综合法的顺序来书写。 (4) 放缩法 用放缩法证明与数列求和有关的不等式，一般有两种方法：一种是求和后再放缩；一种是放缩后再求和.放缩时，一要注意放缩的尺度，二要注意从哪项开始放缩. 放缩的常见技巧： ①添加或舍去一些项，如： ②将分子或分母放大或缩小，如： . ③利用基本不等式等，如：. 题型1：求数列的通项 【例1.1.】 已知数列的前项和记为，若，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、前n项和与通项关系 【分析】根据的关系得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列前项和公式计算即可. 【详解】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C 【例1.2.】 设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 【例1.3.】 已知，各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项 【详解】当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由； 当时，，由. 所以. 故选项C正确. 【例1.4.】 已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，且，证明数列为等比数列，并求． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【难度】0.7 【知识点】累加法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由结合等比数列的定义并验证首项即可求解. （2）迭代原式并相减后得到，使用累加法结合等比数列的前项和即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 则，整理得， ，解得， ，解得，故， 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则. （2）因为，迭代得， 两式相减得，即， 令，则， 当时，（常数），且， 故是以4为首项，3为公比的等比数列， 取，共7个奇数，可得 ， ， ， 将以上各式相加，可得， 易得是以4为首项，为公比的等比数列的前7项和， 则有，其中， 则. 【例1.5.】 已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、写出等比数列的通项公式 【分析】由递推关系取倒数，得到，构造等比数列，求出，即可判断数列的单调性. 【详解】由，可得， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 由指数函数单调性知，数列单调递增，所以数列单调递减. 【例1.6.】 已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】通过递推公式计算前几项，当时借助函数的单调性即可得最大项. 【详解】当时，由题意得，又，故； 当时，由题意得，又，故； 当时，， 因为函数在上是减函数， 故时，达到最大，故第4项为最大项． 【例1.7.】 已知数列，，，是数列的前项和，则__________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】结合数列的周期性求解即可. 【详解】由得，，，， ， 所以数列的周期为. 一个周期内的项和为， 所以. 【例1.8.】 已知数列满足，，且，若，数列的前项和为，则满足的正整数的最大值为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由递推公式得到为等差数列，结合累乘法求出，分奇偶求和代入中得到，结合不等式求解即可. 【详解】由可得，，即， 又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以. 当时，，又，也符合， 故. 所以. 当为偶数时，， 当为奇数且时，为偶数，则， 又符合上式，故当为奇数时， . 当为偶数时，，当为奇数时，， 故. 由可得，即， 故满足条件的的最大值为23. 故选：C. 【例1.9.】 （多选）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【详解】对于A，由题意可得，，， ，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C错误； 对于D，数列的前项的和为， 所以 ，故D正确. 【例1.10.】 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【难度】0.6 【知识点】累加法求数列通项、判断等差数列、数列新定义、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 【例1.11.】 已知各项均为正数的数列，满足． (1)求； (2)设数列满足，记其前项和为，且，求 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）将代入递推式，配方得，推出，可得的公比，进而求得的通项公式； （2）由表达式得连续四项和，代入 得 ，结合枚举出唯一解，再代入具体项计算比值. 【详解】（1）由题意得，则有， 整理得， 即， 两边同时平方，得， 即，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）， 则， 即， 所以， 若，则，显然不成立， 若，即， 此时若：，则，亦不成立， 故，于是， 若，不成立， 所以， 综上， 所以. 故. 【例1.12.】 （多选）已知数列满足，且，则（    ） A．存在唯一的实数，使得为常数列 B．当时，为递减数列 C．当时，的取值范围为 D．当时，前项和为，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列前n项和的基本量计算、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【详解】对于A.由条件可知，， 若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B.因为，当时，，所以， 由可知，对所有，都有， 两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， 因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C.，， 因为恒成立， 所以，得，故C正确； 对于D.当时，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， ， 而数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以前项和为， 所以，故D正确. 【例1.13.】 将数列中随机剔除两项（其中）然后在原数列中添加一项叫做数列的一次变换，那么数列经过次变换后数列中还剩下的一项为______. 【答案】2026 【难度】0.15 【知识点】数列新定义、递归数列及性质、等差数列与等比数列综合应用 【分析】根据变换的特点，构造一个新的乘积式：，正好是新添加的项求解. 【详解】题目中一次变换是：删除两项，添加， 观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：， 这正好是新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的的乘积在变换前后是不变的。 原数列是共 2026 项， 初始乘积为：， 每一次变换会让数列的项数减少，初始有 项，经过次变换后， 数列只剩项，设为，根据不变量，有：， 解得， 故答案为：2026 题型2：数列求和 【例2.1.】 （多选）已知数列满足：，则（   ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．设数列满足，则既有最大项，又有最小项 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【详解】当时，； 当时， . 当时，上式亦成立，所以，故A正确； 对B：的前n项和为，故B错误； 对C：， 所以的前100项和为： ，故C正确； 对D：， 当时，，并且单调递减，； 当时，，并且单调递减，. 所以最小，最大，故D正确. 【例2.2.】 设数列，满足，，，设为数列的前n项和，则________． 【答案】392 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题可得，，令，解得，，利用分组求和即可求解. 【详解】由得，即，又， 所以，同理得， 由得，令，则，且， 所以，所以， 所以， 则 ． 【例2.3.】 已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若数列的前项和小于120，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）令，得，代入已知条件整理即可得证； （2）根据（1）中结论可得数列的通项，应用分组求和及等差等比的前n项和公式求，利用单调性及能成立求参数的最大值. 【详解】（1）令，则，于是，结合已知有， 所以，即． 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 即数列为等比数列． （2）由（1）知，，则， 则， 令，整理得，而在上单调递增， 且， 所以，的最大值为． 【例2.4.】 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 【例2.5.】 已知数列中，． (1)证明：为等差数列，并求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求； (3)数列满足：，求的最大项． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)1 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过对递推式两边同除以，构造出等差数列，进而求出数列的通项公式； （2）根据的奇偶性，对进行分组求和，得到统一的表达式； （3）先求出数列的通项，再构造辅助数列，通过函数单调性分析其最大项. 【详解】（1）等式两边同除以，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知，即得． （2）由（1）知，． 当为偶数时， 当为奇数时，． 综上，． （3）当时，；当时， 有，可得． 所以，．记，则． 令，则， 可得在区间上单调递增，则，即得，即． 所以当时，，即，可知数列从第4项开始每一项均小于1． 因为，所以数列的最大项是第三项， 其值为1，即得数列的最大项为1． 【例2.6.】 在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为． （i）证明：存在常数，使得； （ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】根据规律填写数列中的某项、分组（并项）法求和、递推法求概率、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，C，D），第2秒要回到A，每个方向的概率都是，从而可得，时，质点不可能返回到A，故； （2）（i）由正方体的对称性可知秒后质点到三点的概率相同，都为；质点恰好到三点的概率也相同，都为；从而可得及，进而可证明结论；（ii）由题意可得，进而可得，再进一步可得，再由累乘法可得为偶数时，为奇数时.再通过分组求和可得及所证不等式. 【详解】（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C）， 第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是. 所以. 当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为. 从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以. 故，. （2）（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到三点的概率相同，都为； 第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为； 第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为， 则， 即， 再由，即． 于是存在常数，使得． （ii）由可知， 由可知， 于是——①，——②，——③，——④. 由①②得，即——⑤， 再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥ ，化简得. 因为， 则． 由，于是．所以. 所以当为奇数时，，，……， ，上述个式子相乘得． 又由，即可知． 所以，解得， 即当为奇数时，，所以当为偶数时， 当为偶数时，，， ，上述个式子相乘得,即. 又由可知．解得，即当为奇数时，． 因此，当为奇数时，；当为偶数时，． 当时，， 则． 当时，， 即． 所以存在常数，使得． 【例2.7.】 已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】裂项可得，再分组求和即可得. 【详解】， 则、 . 【例2.8.】 已知数列中，，满足． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： (2)设为数列的前项和，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.64 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）利用构造法将转化为，利用等比数列的通项公式求解. （2）求出，求出，利用裂项相消法求出. 【详解】（1）由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2）由， 则， 所以 即. 【例2.9.】 已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.7 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）令，结合条件化简计算得，即可证明； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 【例2.10.】 已知数列满足，则______；记数列的前项和为，则______． 【答案】 【难度】0.67 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列的定义、裂项相消法求和 【分析】根据条件，结合等比数列的定义，可得表达式，即可得的值，根据题意，整理变形，可得裂项之后的表达式，进而可得表达式，代入数据，即可得答案. 【详解】因为，所以，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，则； 设，则， 解得，所以， 所以 ， 所以． 【例2.11.】 （多选）设等差数列的前n项和为，且，.设，数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.67 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据等差数列性质可得，进而可得，即可得，即可判断AB；根据整理可得，利用裂项相消法求和，即可判断CD. 【详解】因为，即， 且，则， 所以等差数列的公差，，故A正确； 所以，故B错误； 因为，则，即， 所以，即， 所以， 所以，故CD正确. 【例2.12.】 若，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.53 【知识点】求函数值、累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】由题设可得，进而利用累加法可得，再结合求出，进而求解即可. 【详解】由，得， 则 ， 由，，可得， 又，则， 所以. 【例2.13.】 （多选）已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（   ） A．数列为递增数列 B．的最小值为32 C．若，则的最小值为2649 D．若，则的最大值为86 【答案】ABC 【难度】0.25 【知识点】判断数列的增减性、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和 【分析】当为奇数时，；当为偶数时，．由此为基础，可分析A；依次分析，判断B；利用累加法，可得的最小值，判断C；分析，判断D. 【详解】当为奇数时，有，即； 当为偶数时，有，即． 所以若，，则 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以数列为递增数列，所以正确. 由题可知，，，， 所以，，. 所以的最小值为.所以B正确. 由A项分析知，当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以， ， ， ， …… ， . 累加得，， 所以.所以C正确. 若， 结合C分析得，当为奇数时， ， 所以 即. ，所以D不正确. 【例2.14.】 设数列的前项和为，若． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和记为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 【例2.15.】 已知等差数列的公差为2，正项等比数列的首项为2，且，. (1)求和的通项公式； (2)若，记数列，的前项和分别为，，求使（）成立的的最小值； (3)在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列，.求. 【答案】(1)，； (2)8； (3) 【难度】0.56 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可得解， （2）利用裂项相消法求和，即可解不等式得解， （3）根据等差数列的性质先求解，进而利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设的公比为，依题意，有 解得，，所以，. （2）由（1）知， ， 所以， 由，得， 化简得，解得，所以的最小值为8. （3）依题意，， 则 ， 两式相减可得： ， 所以. 【例2.16.】 在信息传输过程中，为确保信息安全，需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第轮对密钥片段进行一次变换，具体变换规则如下：若为奇数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加1，偶数项的值减少；若为偶数，则将在第轮变换中让序列的奇数项的值增加，偶数项的值减少2．若初始密钥序列，，则加密序列的所有项之和为，已知数列的前项和，且满足． (1)写出，并求出数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)证明：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明过程见解析. 【难度】0.25 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】（1）本小问是两个独立的问题，前一部分是新定义，按新定义求出；后一部分是已知数列的和，求数列的通项，求和与通项的关系求解，是常规考法； （2）先找到题中给出的关系，再分奇偶讨论； （3）先放缩，再求和，最后证明不等式. 【详解】（1）因为， 所以， ， ， ； 因为，所以，； 时，， ， ，， 所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， . （2）经过变换后，奇数项的每一项都增加1，偶数项的每一项都减少，各项之和增加； 经过变换后，奇数项的每一项都增加，偶数项的每一项都减少2，各项之和增加； 所以经过和两轮变换后，各项之和增加， ， 所以， 即为偶数时，； 为奇数时，为偶数，令，则， ， ； 综上，. （3），， 所以， 所以， 设， 所以， 两式相减得， 设， 则， 两式相减得， ， 所以， 所以， ， 所以. 题型3：数列与函数、不等式的综合问题 【例3.1.】 已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 【例3.2.】 记为等差数列的前项和.已知且. (1)求的通项公式； (2)设函数，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】导数的运算法则、等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据前项和的定义，以及等差数列的性质，转化为的方程组，即可求解； （2）根据等比数列的求和公式，以及导数公式求得，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）设数列的公差为，由可知 ，则 又，令可得 联立解得，，则 （2）当，时， ，当，时，成立， 所以 ，则， 【例3.3.】 （多选）已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】对A、C：由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，则可得，即可求出，结合，两边取对数运算可得，即可得其公差；对B、D：由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，即可得，即可得其公比. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图： 所以； 对A、C：由题得，所以，即， 若成等差数列，则，所以， 所以成等比数列，由，则， 即，所以， 由，解得，因为， 所以， 则，即数列的公差为， 故A正确、C错误； 对B、D：由，若成等比数列，则， 则，即有，故成等差数列， 又，则， 故，即数列的公比为， 故B、D正确. 【例3.4.】 已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. (1)求{，的通项公式； (2)的前n项和为，，求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【难度】0.25 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可； （2）根据等差数列求和公式得到，然后利用错位相减法求和即可； （3）通过放缩的思路得到，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. （2），，，         ①     ② ①-②得：         ③     ④ ③-④得： ，. （3），， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时， ， 综上，原不等式成立. 【例3.5.】 （多选）已知数列满足，，则下列结论正确的是（   ） A．是递增数列 B．当时， C． D． 【答案】ABD 【难度】0.49 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、裂项相消法求和 【分析】利用作差法可判断数列的单调性，判断A的真假；利用数列的单调性，结合累加法和累乘法可判断BC的真假；利用裂项求和法可判断D的真假. 【详解】对于A，易知，由，得，所以，所以是递增数列，故A正确； 对于B，由对A的分析，知， 所以（仅当时取等号）， 由，得， 所以当时，， 所以当时，， 因此当时，，故B正确； 对于C，由，得， 由对B的分析知，当时，，所以， 故当时，， 所以，故C错误； 对于D，由，得， 即， 所以，故D正确． 【例3.6.】 （多选）已知数列的首项，且满足，下列说法正确的有（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列的前项和大于4 D．数列为单调递减数列 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】代入计算可判断A；根据等差数列定义计算可判断B；根据裂项相消法计算可判断C；根据作商法计算可判断D. 【详解】因为，所以， 对于A，由题意可得，因为， 所以，故A正确； 对于B，由等差数列定义可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B可知，，， 则， 设数列的前项和为， 则 ， 所以数列的前项和小于4，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为， 所以，则数列为单调递减数列，故D正确. 【例3.7.】 （多选）记为数列的前项和，已知（为常数），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C．设，则 D．设，则 【答案】BCD 【难度】0.42 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【详解】 对于A，当时，，于是，故A错误； 对于B,， 两式相减得， 可知是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 即可得当时，， 于是，故，故D正确． 【例3.8.】 在数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.42 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】先利用累加法结合等比数列求和求出数列的通项公式，再将一元二次不等式因式分解，结合数列的奇偶项单调性，确定不等式对任意恒成立时的取值范围. 【详解】根据题意，， 即，当时，，符合上式， 所以， 因为，整理可得， 所以 当为奇数时，单调递减且，最大值为；当为偶数时，单调递增且，最小值为， 所以. 【例3.9.】 （多选）已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．数列为递增数列 B．， C． D． 【答案】ABC 【难度】0.25 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、数学归纳法证明数列问题 【分析】利用归纳法结合数列单调性的定义判断A，利用数列的单调性和判断B，构造函数并结合导数判断C，D即可. 【详解】对于A，由题意得当时，，满足，成立， 假设当时，，当时，由已知得， 可得，因为，所以， 令，可得，且， 则在上单调递增，得到，故， 综上可得，对于任意，， 因为，所以， 可得数列为递增数列，故A正确， 对于B，因为，且数列为递增数列， 所以，，故B正确， 对于C，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则， 则在上单调递减，且，得到，即， 故在上单调递增，而，可得， 则，即，故C正确， 对于D，欲证，则证， 即证，故证即可， 令，则， 令，则，可得在上单调递减， 且，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点，即零点， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 此时不满足，故D错误. 【例3.10.】 （多选）已知数列的前n项和为，若，对于，有恒成立，则称数列的前n项和是有上界的．下列数列的通项公式中，哪些数列的前n项和存在上界（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、裂项相消法求和 【分析】选项A：利用放缩后，每一项都小于一个等比数列的项，而公比小于1的等比数列的和永远不超过某个固定数，因此前项和有上界. 选项B：通过裂项放缩可看出，前项和始终小于一个固定数，有上界. 选项C：通过做商判断单调性以后逐步分析前项和的变化，前项和会无限递增，没有上界. 选项D：一正一负交替出现，后面的项越来越小，分类讨论总项数为奇数和偶数两种情况得到前项和始终不超过1，有上界. 【详解】选项A：由，得， 令，数列前项和:， 故有上界. 选项B：对数列，前项和. 当时，， 所以求和得：. 选项C： . 作商判断单调性：. 所以当足够大时，必有， 即必有存在正整数使得， 即时恒有， 即从第项起单调递增， 所以无限增大，无上界. 选项D：，设 ， 当为奇数时 令 ，则 ， 因为 ，所以每个括号内的项均为正数，因此：. 当为偶数时 令 ，则 ， 每个括号内的项均为正数，因此：， 综上所述,有上界. 【例3.11.】 已知函数定义在区间内，时，恒有. (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析，；（ii） 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【详解】（1）证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． （2）（i）由题意得， 又， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 所以对恒成立， 即恒成立，即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 【例3.12.】 已知数列满足． (1)证明：求的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.45 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由数列的通项公式可得，利用放缩法即可得到，再利用裂项相消法即可证明. 【详解】（1）当时，可得， 当时，可得， 因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 即； （3）因为 ， 所以 ，即命题得证. 【例3.13.】 已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.55 【知识点】导数的运算法则、利用导数证明不等式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用直接求出，再验证是否满足即可； （2）先对求导，得到，再代入（1）中的求出； （3）先根据条件算出数列的通项公式，再利用裂项求和法得到前项和，最后构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）由题意，得，则， 所以当时，， 又因为，所以. （2）对求导，得，所以. （3）由题意可得，从而，，所以， 得到， 设，则当时，单调递减， 当时，单调递增，得， 因此，即，所以. 【例3.14.】 对于可导函数，从初始值出发，定义序列．已知，． (1)设，求函数的解析式，并求的值； (2)记，，并设． （ⅰ）求证：； （ⅱ）是否存在正整数m，n，使得，，成等比数列，若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足条件的，，． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，证明见解析 【难度】0.15 【知识点】导数的运算法则、由递推数列研究数列的有关性质、等比数列下标和性质及应用 【分析】（1）根据题意，迭代函数为，代入已知函数及其导函数，化简得，然后从初始值出发，依次计算即可； （2）（i）利用是的两个根，根据题意将代入，通过代数恒等变形得到分子为，分母为，从而有；（ii）由（i）的条件计算，假设存在正整数m，n，使得，，成等比数列，即，结合，可得，因为底数不为0或，则有指数相等，即，等式两边同时除以，结合指数的运算，可分析出无正整数解满足，得证. 【详解】（1）由题意得，则， 则有， 令，则， 取，则， 则， （2）（i），， 易得是的两个根， 则有，且， 由， 则， 因为，则有， 则 ， 因为，则有， 则， 于是，得证； （ii），迭代得， 即，， 其中，且， 若存在正整数m，n，使得，，成等比数列， 即，结合，可得， 因为， 所以， 同时除以得， 因为，则可设， 则有，即， 易得等号左边为偶数之差，结果为偶数，右边为奇数1，矛盾， 故无正整数解满足， 因此，不存在这样的正整数m，n，使得，，成等比数列. 【例3.15.】 已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点． (1)当时，求； (2)若 证明：（i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】求函数的零点、辅助角公式、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）将函数化简，再根据正弦函数的零点求解； （2）（i）根据的零点求出的表达式，最后根据等比数列的定义证明； （ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，解得， 因为为的从小到大的第（）个零点，所以； （2）（i）由，得，则，其中， ，所以， ，又， 因此，所以数列是等比数列； （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 【例3.16.】 定义，我们称为维向量，其模长，维向量可构成维空间.在维空间中放置一个维球，记其半径为，体积为，则.记维向量，已知维球的直径，其体积为. (1)求； (2)证明：； (3)记为数列的前项和，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】判断或写出数列中的项、由递推数列研究数列的有关性质、错位相减法求和 【分析】（1）根据题意求出维球的直径，利用公式代入计算即可； （2）将，代入公式进行化简，再对问题进行证明； （3）对通项公式进行化简，再结合错位相减法求和计算即可. 【详解】（1）显然，于是， 故， . （2）注意到，， 于是， ， 可得. （3）注意到 ， 设的前项和为， ， ， 两式相减得； 于是. 【例3.17.】 已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据题意结合累加法求解即可； （2）根据题干递推关系，利用两角和差的余弦公式化简推得，结合同角三角函数关系即可证得； （3）利用和差角的余弦公式可得，再根据三角函数的诱导公式化简并分组求和即可求解. 【详解】（1）由可得： ， ， ， ， 由累加法得， 又因为， 所以，故. （2）由（1）可得， 则由， 可得， 即 整理得，因，则， 所以， 故. （3）由 ，可得 所以 . 【例3.18.】 记正项数列的前n项和为． (1)若，求； (2)若，且，证明： (3)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.19 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）由，求得，结合裂项法求和，即可求解； （2）假设存在，使得，取满足该式的n的最小值，设为k，即，根据题意，求得当，且时，必有，结合反证法，即可得证； （3）根据题意，求得，得到，结合，证得；再由，利用累加法求得，结合裂项法求和，证得，即可得证. 【详解】（1）解：因为，所以，则， 所以． （2）证明：假设存在，使得，取满足该式的n的最小值， 设为k，即，① 由已知得，② 又由①+②得，所以 因为k是满足的n的最小值，若，则， 若，则，即是中最小的项． 当时，有，取整数使得且，此时必有， 这与相矛盾，假设不成立，故． （3）证明：先证： 由，可得， 由，可得， 所以；          再证： 由， 可得，所以． 当时，， 累加得，即． 所以， ． 【强化训练】 1. 设是数列的前项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、由Sn求通项公式 【分析】根据递推关系推出数列为等差数列，结合等差数列通项公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，即. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 2. 已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】解法1：由数列满足， 可取，则； 取，则； 取，则， 猜想数列是周期为3的周期数列，. 解法2：由得，，逐项代换可得， 数列是周期为3的周期数列，. 故选：C 3. 已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 4. 已知数列的前项和为，满足，在数列中，，且，设为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据递推关系得到另一个式子，作差可求出，根据可推出，累乘法可求出数列的通项公式，再通过数列的递推关系得到另一个式子，作商可得到的通项公式，进而求解，要注意所求式子对的限制. 【详解】因为，① 所以，（若，则，从而得，与矛盾），当时，，② ①②得，移项得，所以. 由得，解得，所以， 所以， 而也满足上式，所以数列的通项公式为. 因为，③ 所以当时，，④ 由指数函数的性质知③，④式等号左右两侧都是正数， 所以③④得，即. 当时，由得，又所以， 所以均满足，所以数列的通项公式为，即数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以. 5. （多选）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知条件得出数列为等比数列，根据条件写出数列的通项公式即可得出选项A，由数列的通项公式把的通项公式写出来，然后利用放缩法分析得出选项B，利用放缩法、裂项相消法分析得出C选项，先分析时的情况，再利用放缩法，结合等比数列求和公式分析时的情况，最后得出选项D. 【详解】由得：数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以，故A选项正确； 由，则， 故B选项不正确； 由， 所以， 所以， 所以 ，故C选项正确； 当时，成立， 当时，， 所以 ， 综上所述：，故D选项正确； 故选：ACD. 6. （多选）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】对于A，利用与的关系即可求解，对于B，利用等差数列的前项和公式求解即可；对于C，求出数列是周期为3即可求解；对于D，利用裂项相消即可求解. 【详解】对于A，当时，,解得：， 当时，， 化简可得：， 所以, 则是首项为,公比为的等比数列，所以， 即,故A正确； 对于B，在等差数列中，,则, ,由于,则, 所以等差数列的公差小于，则, 则时，最大，故B正确； 对于C，数列满足，，则,,, 所以数列是周期为3的数列， 计算一个周期内的乘积：，,,故, 所以,故C不正确； 对于D，由题可得：, 所以数列的前项和, 即,由于,则， 即数列的前项和小于，故D正确； 故选：ABD 7. （多选）已知数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列为等差数列 C． D． 【答案】BC 【难度】0.51 【知识点】对数的运算、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先利用与的递推关系求出数列的通项公式，再依次分析其对数数列的性质、前项和的范围，以及相关函数的取值范围，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，当时，， 所以，则得， 又当时，，由，得，则，，故A错误； 对于B：因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 因此数列是首项为，公差为的等差数列，B正确； 对于C：， 当为奇数时，，因是递减数列，则； 当为偶数时，，因是递增数列，则， 所以，C正确； 对于D：因为在上单调递增，而， 则，D错误． 8. 已知等差数列首项为2，公差为2，前n项和为，数列前n项和为，且满足．若对于任意，成立，则m的最小值为_____________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题、根据数列的单调性求参数 【分析】写出数列的通项公式，观察结构，利用分组求和写出，对于任意，成立，则最小值等于最大值，通过单调性求出最值. 【详解】由题可知，则， ， ==. 设，. ， 当时，，单调递减，当时，，单调递增. 则在时取得最大值. 9. 记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 10. 已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.61 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【详解】（1）由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. （2）由（1）知，， （拆项方法二）：， 11. 已知集合中元素的个数为. (1)若，，求. (2)若，均为等差数列且，，，证明：也为等差数列. (3)若，，且，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.5 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列新定义 【分析】（1）根据数列的新定义列举即可求得； （2）根据数列的新定义，结合等差数列的定义即可证明； （3）先根据数列递推式构造等比数列，求出，再由数列的新定义推出的通项公式，再进行分组求和，借助于等比数列求和公式即得. 【详解】（1）若，，则，， 则满足的整数为，0，1，…，8，共有10个，故； （2）因为，，所以， 所以. 因为，均为等差数列，所以可设，， 则为常数， 故是以为首项，为公差的等差数列. （3）由，得，即， 则数列是为首项，公比为2的等比数列， 则，则. 当时，，，. 当时，，，. 当时，，因，所以，故大于的最小整数为， 又为整数，则. 当时，符合上式；当时，， 故 当时， ， 又，所以. 12. 若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”. (1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围. (2)若，证明：数列为“稳定数列”. (3)若为“稳定数列”，证明，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列新定义 【分析】（1）结合定义，由得，代入n=2对应的不等式，解一元二次不等式即可得到​的取值范围； （2）先化简得，对前n项和做裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有； （3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边. 【详解】（1）由题意，是稳定数列，故对，. 已知，则​（），对，有， 解左边不等式，得正根​； 解右边不等式，得正根​， 故的取值范围为. （2）当时，，满足， 当时，对于任意正整数，有，则， 则由，可得， 又由，可得, 所以， 则， 所以数列为“稳定数列”. （3）因为为“稳定数列”，所以，则，， 则，由，可得， 由为“稳定数列”可得，则， 当时，，则， 因为，所以，故，. 由得，结合，则，则， 当时，，则， 当时，，故， 从而，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $