2026年广东深圳市中考考前数学压轴题训练

**基本信息** 聚焦深圳中考压轴题，以几何综合、函数应用为核心，融合跨学科情境，强化逻辑推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|8题|圆内接四边形、折叠变换、旋转变换|以圆与四边形性质为基础，通过折叠旋转构建空间关系，体现几何直观与推理能力| |函数与坐标系|7题|反比例函数综合、动态几何面积问题|结合坐标与函数图像，运用代数方法解决几何问题，强化数形结合思想| |实际应用与新定义|6题|无人机投放、“三倍点”新定义|从实际问题抽象数学模型，通过新定义拓展概念应用，培养模型意识与创新思维|

2026年深圳中考考前压轴训练 1 1.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，BD是⊙O的直径，若 ，∠BAC=80°，则∠AEB的度数是( ____ ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【解析】解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAC=80°， D 2 ∴∠DAE=90°-80°=10°， ∵ = ， ∴AB=AC， ∴∠C=∠ABC=50°， ∵∠D=∠C=50°， ∴∠AEB=∠D+∠DAE=50°+10°=60°． 故选：D． 3 2.如图，已知▱ABCD的顶点A在函数 的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE=3，S四边形AECD=7，则k的值为( ____ ) A.4 B.8 C.10 D.14 【解析】解：∵▱ABCD， ∴AB∥CD，AB=CD， B 4 ∴S△AOB= S▱ABCD， 设S△ABE=a, ∵若S△BOE=3，S四边形AECD=7， ∴ ， ∴a=1， ∴ ， ∴k=8． 5 故选：B． 6 3.如图，将一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使得点D的对应点F落在∠BAC内部．若∠CAE=∠BAF，且∠CAF=15°，则∠CAE的度数是( ____ ) A.30° B.25° C.20° D.15° 【解析】解：∵长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠， ∴∠DAE=∠EAF， ∵ABCD是长方形， C 7 ∴∠DAB=90°， ∴∠DAE+∠EAF+∠BAF=90°， 设∠CAE=∠BAF=x,则∠EAF=∠CAE+∠CAF=x+15°， ∴∠DAE=x+15°， ∴x+15°+x+15°+x=90°， 解得：x=20°， ∵∠CAE=20°． 故选：C． 8 4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，0)，B(0，4)，点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1，△OBC的面积为S2，则 的值为( ____ ) A. B.1 C. D 9 D.2 【解析】解：已知A(4，0)，B(0，4)， 在平面直角坐标系中，点A在x轴上，其横坐标的绝对值就是OA的长度长度， 所以OA=4， 点B在y轴上，其纵坐标的绝对值就是OB的长度，所以OB=4， 因为点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点， 所以可设C(m,2m)(m＞0)， 对于△OAC，以OA为底，OA=4， 点C到x轴的距离就是△OAC的高， 10 点C的纵坐标为2m, 根据三角形面积公式，可得S1= ×OA×2m= ×4×2m=4m, 对于△OBC，以OB为底，OB=4， 点C到y轴的距离就是△OBC的高， 点C的横坐标为m, 根据三角形面积公式可得S2= ×OB×m= ×4×m=2m, 将S1=4m,S2=2m代入， 11 可得 = =2． 故选：D． 12 二．填空题 13 5.如图，直线y=x-3与反比例函数 的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y=x-3向上平移得到直线y=k2x+b,直线y=k2x+b与反比例函数 的图象交于点C，与y轴交于点D．若 ，则b的值为 ____ ． 【解析】解：作AE⊥x轴于E， ∵直线y=x-3与x轴交于点B， 3 14 ∴B(3，0)， 由直线y=x-3可知∠ABE=45°， ∴AE=BE， ∵AB= ， ∴AE=BE=1， ∴A(4，1)， ∵点A在反比例函数 的图象上， ∴k1=4×1=4， 15 ∴反比例函数为y= ， ∵将直线y=x-3向上平移得到直线y=k2x+b, ， ∴线段AB相当于向左平移3单位，再向上平移b个单位得到CD， ∴C(1，b+1)， 把C点的坐标代入y= ，得b+1=4， 解得b=3， 故答案为：3． 16 6.如图，在正方形ABCD中，AB=3，将点A折叠到BC边上的点G处，折痕为EF，若AE=2BE，则DF=　　． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=3，∠A=∠B=∠D=90°， ∵将点A折叠到BC边上的点G处，∠AEF=∠BEG， ∴EG=AE， ∵AE=2BE， ∴AE=2，BE=1， ∴EG=2BE=2， ∴∠EGB=30°， 17 ∴∠BEG=60°， ∴∠AEF=60°， 过F作FH⊥AB于H， 则四边形AHFD是矩形， ∴FH=AD=3，AH=DF， ∵∠FHE=90°， ∴HE= HF= ， ∴DF=AH=AE-EH=2- ， 18 故答案为：2- ． 19 7.如图，FG是△ABC的中位线，E是AG的中点，∠A=∠CFE=45°，则 的值为　　． 【解析】解：设EG=a, ∵FG是△ABC的中位线， ∴BF=CF，BG=AG，FG∥CA， ∵E是AG的中点， ∴AE=EG=a, ∴BG=AG=2EG=2a, ∵∠A=∠CFE=45°， 20 ∴∠BGF=∠A=45°， ∴∠B+∠BEF=∠CFE=45°， ∴∠EFG+∠BEF=∠BGF=45°， ∴∠EFG=∠B， ∴△EBF∽△EFG， ∴EF：BE=EG：EF， ∴EF2=3a22 ∴EF= a, 如图，过点E作EK⊥BC于点K， 21 _____ ∴△EFK为等腰直角三角形， ∴EF= EK= FK， ∴FK=EK= a, ∴BK= = a, 22 ∴FC=BF=BK-FK= a, ∴ = = ． 故答案为： ． 23 8.如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数 的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k= ____ ． 【解析】解：根据直角坐标系设点M(1，n)，则点N(2，n-2)， 将点M，N代入反比例函数中， 得n=2(n-2)， ∴n=4． ∴点M(1，4)， 4 24 k=4． 故答案为：4． 25 9.如图，CD是△ABC的中线，CA=CD，将△BDC沿CD折叠得到△EDC，CE与AB交于点F．若∠BDE=90°，则tanE=　　． 【解析】解：作CH⊥AB于点H，则∠BHC=90°， ∵将△BDC沿CD折叠得到△EDC， ∴∠EDC=∠BDC，∠E=∠B， ∵∠EDC+∠BDC+∠BDE=360°，且∠BDE=90°， ∴2∠BDC+90°=360°， ∴∠BDC=135°， ∴∠CDA=180°-∠BDC=45°， 26 ∵CA=CD， ∴∠A=∠CDA=45°， ∴∠ACD=90°， ∴CH=DH=AH= AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD=2DH， ∴BH=2DH+DH=3DH=3CH， ∴tanE=tanB= = ， 27 故答案为： ． 28 10.如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别在反比例函数y=- (x＞0)，y= (k≠0，x＜0)的图象上，连接OM，ON，MN，且OM⊥ON．作MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，若 ，则k的值为　　． 【解析】解：由条件可知∠MON=∠MAO=∠OBN=90°，∠AOM+∠BON=90°，∠AOM+∠AMO=90°， ∴∠AMO=∠BON， ∴△AOM∽△BNO， 29 ∴ =( )2=( )2= ， ∴S△AOM= ×|-6|=3， ∴S△BNO= S△AOM= ， ∴ = ， 30 ∴|k|= ， 由图可知点N在第三象限，k＞0， ∴k= ． 故答案为： ． 31 11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为斜边上的中线，BE⊥AD于点E．若AE=2， ，则△ACD的面积为　　． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为斜边上的中线， ∴AD=CD=BD， ∴∠DAC=∠C， ∵∠ABC+∠C=90°，∠BAE+∠CAD=90°， ∴∠ABC=∠BAE， ∵BE⊥AD于点E， ∴∠AEB=90°， 32 ∴∠AEB=∠BAC， ∴△BAC∽△AEB， ∴ = ， ∵AE=2， ， ∴ ，BC= ， ∴AB=2 ， ∴BC=6， 33 ∴AC= = =2 ， ∴S△ACD= S△ABC= = =3 ． 故答案为：3 ． 34 三．解答题 35 12.如图，在△ABC中，点O、D在边AB上，且点D在点O右侧．以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点E，点C恰好在⊙O上．过点D作AB的垂线交BC的延长线于点F，若∠F=2∠A． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径是2，BC=3， ，求DF的长． (3)尺规作图：作△ABC边BC上的高．(保留作图痕迹，不写作法) 36 ______ 【解析】(1)证明：连接OC， ____ ∵点A在⊙O上， 37 ∴∠EOC=2∠A， ∵∠F=2∠A， ∴∠F=∠EOC． ∵∠B=∠B， ∴△BOC∽△BFD， ∵FD⊥AB， ∴∠FDB=90°， ∴∠OCB=∠FDB=90°， ∴OC⊥BF， ∵点C在⊙O上， ∴BC是⊙O的切线； 38 (2)解：在Rt△OCB 中，OC=2，BC=3， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由(1)得，△BOC∽△BFD， ∴ ， 39 即 ， ∴ ； (3)解：如图，线段AH即为所求． 40 ___ 41 13.【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点B，C，D分别旋转到点B′，C′，D′． 【初步探究】 (1)如图2，若AB=5，AD=3，C′D′恰好经过点B，则D′B= ____ ，B′到AB的距离为 ____ ． 【深入探究】 (2)如图3，若C′D′恰好经过点B，连接DB′交AB于E，试判断线段DE与B′E的数量关系，并证明． 【探究应用】 (3)若AB=5，AD=3，C′D′所在直线恰好经过点B，求BB′的长． 4 3 42 _____ 【解析】解：(1)∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′， 43 C′D′恰好经过点B， ∴∠D′=∠D=90°，AD′=AD=3， ∵AB=5， ∴BD′= =4， 过B′作B′H⊥AB于H， ___ 44 ∴∠AHB′=∠D′=90°， ∵∠D′AB′=90°， ∴∠D′AB+∠B′AB=∠B′AB+∠AB′H=90°， ∴∠D′AB=∠AB′H， ∵AB=AB′， ∴△ABD′≌△B′AH(AAS)， ∴B′H=AD′=3， ∴B′到AB的距离为3， 故答案为：4，3； (2)DE=B′E， 证明：过B′作B′G⊥AB于G， 45 ___ 由(1)知，B′G=3=AD， ∵∠DAE=∠AGB=90°，∠AED=∠B′EG， ∴△ADE≌△B′GE(AAS)， ∴DE=B′E； (3)如图，连接BB′， 46 ___ ∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′， ∴B′C′=BC=3，∠C′=∠C=90°， 由(1)知BD′=4， ∴BC′=1， ∴BB′= = ； 如图， 47 ___ ∵矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′， ∴B′C′=BC=3，∠C′=∠C=90°， 由(1)知BD′=4， ∴BC′=9， ∴BB′= =3 ； 48 综上所述，BB′的长为 或3 ． 49 14.综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙届”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以45°倾斜角起跳(以下简称“起跳”)时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式y=- +x表示，其中，v0(m/s)是起跳时的速度． 【模型应用】 50 (1)如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度v0= m/s时，则其跳远距离OA= 　　m,在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是 　　m. (2)如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为v0，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？(用含v0的代数式表示) ②记①中离地的最大高度为h,记OA=l,求证：l=4h. (3)如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线MN．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN．设两次离地的最大高度分别为CD，EF． ①填空：CD+EF= 　　m； ②设其第一次起跳的速度为v0(m/s)，求v0的取值范围． 51 _______ 【解析】解：(1)当“尖鼻蛙”起跳速度v0= m/s时， y=-x2+x,令y=0， 解得x=0或1， 即图象与x轴的交点坐标分别为(0，0)和(1，0)， ∴OA=1， 52 此时“尖鼻蛙”离地的最大高度即函数的最大值， 当x= 时，y最大为 ， 故答案为：1， ； (2)①解法一：根据二次函数最值 ，知最大高度为 53 = ； 解法二：根据二次函数对称轴- ，得， 当x= = 时， 最大高度为- ( )2+ = ； 54 ②令y=0，即- x2+x=0， 解得x1=0，x2= ， ∴l=OA= ， ∵h= ，4h= ， ∴l=4h； 55 (3)①设第一次跳远距离为l1，最大高度为h1(即CD)，第二次跳远距离为l2，最大高度为h2(即EF)， 由(2)知l1=4h1，l2=4h2， ∵共跳了8m, ∴l1+l2=8， ∴4h1+4h2=8， ∴h1+h2=8， ∴CD+EF=2， 故答案为：2； ②由题意得，两次跳跃的高度CD和EF均小于1.25， 由①得，EF=2-CD＜1.25， 56 ∴0.75＜CD＜1.25， 由(2)得，CD= ， 即0.75＜ ＜1.25， 解得： ＜v0＜5 ． 57 15.定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”． 如A(1，3)，B(-2，-6)， 等都是“三倍点”． (1)请你判断下列说法是否正确(在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”)． ①函数y=-2x+1的图象上存在“三倍点” ____ ； ②函数 的图象上有且只有一个“三倍点” ____ ； (2)一次函数y=-3x+m与反比例函数 的图象交于A、B两点，点P是线段AB的中点．求证：点P是“三倍点”． √ √ 58 (3)在-3≤x≤1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上有且只有一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 【解析】(1)解：由题意得，y=3x, ①联立y=-2x+1和y=3x并整理得：5x=1， 则x= ， ∴y= ， 故函数y=-2x+1的图象上存在“三倍点”正确； 59 ②联立数和y=3x并整理得： x2-2x+2=0， ∵Δ=0， ∴方程有两个相等的实数根， 故函数 的图象上有且只有一个“三倍点”正确； 故答案为：√、√； (2)证明：联立y=3x和反比例函数表达式得 ， 60 ∴ =-3x+m, 整理得：-3x2+mx-k=0， 设方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2= m, 则点P的横坐标为 (x1+x2)= m, 当x= m时，y=-3x+m= m, 61 ∴y=3x, ∴点P是“三倍点”； (3)由题意得，三倍点所在的直线为y=3x, 在-3≤x≤1的范围内，二次函数y=-x2-x+c的图象上有且只有一个“三倍点”， 即在-3≤x≤1的范围内，二次函数y=-x2-x+c和y=3x有且只有一个交点， 令3x=-x2-x+c,整理得：x2+4x-c=0， 则Δ=b2-4ac=16+4c=0， 解得：c=-4； 把x=-3代入y=-x2-x+c得y=-6+c,代入y=3x得y=-9， ∴-9=-6+c, 62 解得：c=-3； 把x=1代入y=-x2-x+c得y=-2+c,代入y=3x得y=3， ∴3=-2+c, 解得：c=5， 综上，c的取值范围为c=4或3＜c≤5． 63 16.综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，AC平分∠BAD，则四边形ABCD为“旋直四边形”，AC为“旋直分割线”． 【概念辨析】 (1)用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有 ____ (填序号)； 【问题解决】 (2)如图1，在“旋直四边形ABCD”中，∠ABC=∠ACD=90°， ② 64 AC为“旋直分割线”．求证：(AD-AB)2+BC2=CD2； 【拓展应用】 (3)如图2，四边形ABCD是矩形，CE⊥AC，∠EAC=∠CAD，AE与BC交于点F．若S△ACE-S△ACD= ，求 的值； (4)如图3，在▱ABCD中，AB=1，AD=4，cosB= ，点E是平面内一点，点F是AD边上一点，若四边形ABEF是“旋直四边形”，AE是“旋直分割线”，EF与BC交于点G，求CG的长． 65 _______ 【解析】(1)解：根据“旋直四边形”的定义，只要②符合题意， 故答案为：②； (2)证明：方法1：过点C作CE⊥AD于点E， 66 ___ ∵AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD， ∴∠CAB=∠CAE， 又∵∠B=∠AEC=90°，AC=AC， ∴△CAB≌△CAE(AAS)， ∴BC=CE，AB=AE， 则DE=AD-AE=AD-AB， 在Rt△CDE中，DE2+CE2=CD2， 67 ∴(AD-AB)2+BC2=CD2； 方法2：证延长DC交AB延长线于点F， ___ ∵AC为“旋直分割线”，即AC平分∠BAD， ∴∠CAB=∠CAD， 又∵∠ACD=∠ACF=90°，AC=AC， ∴△ACD≌△ACF(ASA)， ∴CD=CF，AD=AF， 68 则BF=AF-AB=AD-AB， 在Rt△BCF中，BF2+BC2=CF2， ∴(AD-AB)2+BC2=CD2； (3)解：过点C作CH⊥AE于点H， ___ ∵矩形ABCD， ∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD∥BC， 69 ∵∠D=∠AHC=90°，∠1=∠2，AC=AC， ∴△ADC≌△AHC(AAS)， ∴CH=CD=AB， ∴S△ACE-S△ACD=S△ACE-S△ACH=S△CEH= ， ∴ ， ∵AD∥BC， ∴∠3=∠1=∠2， ∴AF=CF， 70 又∵∠B=∠CHF=90°，∠AFB=∠CFH， ∴△ABF≌△CHF(AAS)， ∴BF=FH， 又∵∠3+∠FCE=90°，∠2+∠E=90°， ∴∠FCE=∠E， ∴FC=FE， 设HE=a,则BF=FH=2a,EF=FC=AF=3a,BC=5a, ∴AB= = a, ∴ = = = ； 71 (4)解：①当AE平分∠DAB时，“旋直四边形ABEF”如图所示，作FM⊥BE，EN⊥AD，垂足分别为M，N． __ 则AN=AB=1，∠NEA=∠BEA，FM∥AB， ∴∠FEN=∠FEM，四边形ABHF为平行四边形， 又∵∠FNE=∠M=90°，EF=EF， ∴△FEN≌△FEM(AAS)， 72 ∴FN=FM，∠NFE=∠MFE， ∵ ， 设HM=a,则BH=AF=3a, ∴由FN=FM得3a-1=1+a, 解得a=1，即AF=BH=3，CH=1， ∵∠FGH=∠NFE=∠MFE， ∴FH=HG=1， ∴CG=2； ②当AE平分∠FEB时，“旋直四边形ABEF”如图所示， 73 __ 则∠AEB=∠AEF，AE⊥AD，记AE与BC相交于点N， ∵AD∥BC， 则AE⊥BC， 又∵EN=EN， ∴△ENG≌△ENB(ASA)， 74 ∴BN=GN． ∵cos∠ABC= = ， ∴BN= ， ∴ ， ∴ ； ③如图，当AE平分∠DAB且EF⊥AD时，“旋直四边形ABEF”如图所示 75 ，延长AE交BC于点M，延长FE交BC于点G，作MN⊥AB于点N， __ ∵∠AFE=∠AEB=∠EGB=90°， 则△AFE∽△AEB∽△EGB， ∴∠ABE=∠MBE， ∴BE垂直平分AM，即BM=AB=1，△AEF≌△MEG(ASA)， 76 ∵ ， 则 ， ， ， 在Rt△AMN， ， 由等面积法求得S△ABM= AM•BE= AB•MN， 77 ∴ BE=1× ， 解得 ， 由△AEB∽△EGB，可得 = ， ∴BG= = ， 78 ∴ ； 综上， 或2． 79 17.央视春晚的舞台上，AI武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点O为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点O的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： (1)求图1中抛物线的函数表达式； (2)在O点正前方的水平地面上有一个正方形台阶ABCD，其中OA=5米，AB=1米． 80 ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶ABCD，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯EF，其中OE=2米，OF=4米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为t米，跳跃后落在台阶CD上(含点C、D)，求t的取值范围． _________ 【解析】解：(1)由题意得，抛物线的顶点为(2，2)，且过原点(0，0)， 81 ∴可设y=a(x-2)2+2， 将(0，0)代入得：0=a(0-2)2+2， ∴ ， ∴ ； (2)①由题意，设机器人向右平移m米， ∴ ． 由图可得C的坐标为(6，1)， 82 ∴将C代入得： ， ∴ ，m2=4+ (舍去)． 答：机器人至少需向右平移(4- )米； ②设直线EF的解析式为y=kx+b, 代入E(0，2)，F(4，0)得 ， 83 ∴ ． ∴EF为y=- x+2(0≤x≤4)． 设起跳点的坐标为(t,- t+2)， ∵起跳点从(0，0)变为(t,- t+2)， ∴原抛物线的顶点(2，2)变为(2+t,2- 84 t+2)， ∴新抛物线的解析为y=- (x-2-t)2+2- t+2=- (x-2-t)2+4- t. ∵当新抛物线经过点D(5，1)时，1=- (5-2-t)2+4- t, ∴t1= ，t2= (舍去)． ∵当新抛物线经过点C(6，1)时， 85 ∴1=- (6-2-t)2+4- t, ∴t1=2，t2=5(舍去)． 结合图象可得， ≤t≤2． ____ 86 18.综合与实践•校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点O，水平投放方向为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，单位：m. (1)【初战实测•个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为4.5m,物资水平飞行18m后在N(18，0)处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； 87 (2)【校准实验•定点标定】 如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变(与①相同)，轨迹经过标定靶点P(6，3.5)，求此时无人机悬停投放口离地高度； (3)【全域探究•通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹： ，场地中段6≤x≤10设有高1.2m实训障碍墙；地面物资接收区为线段MN，端点M(12，0)、N(18，0)；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区MN内(含端点M，N)．求投放口高度h的取值范围． 88 ______ 【解析】解：(1)由题意，设抛物线顶点式y=ax2+4.5(a≠0)， 将落地点(18，0)代入顶点式，得324a=-4.5， 89 ∴ ， ∴所求解析式为 ． 答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为 ； (2)由题意，设抛物线顶点式 ， 将P(6，3.5)代入顶点式，得 90 ， ∴h=4． 答：此时悬停高度为4米； (3)①令y=0，则 ，则 ， ∵落地区间12≤x≤18， ∴1.8≤h≤4.05； ②越障要求：当6≤x≤10时，y＞1.2，即 ， 91 ∴ ， ∵ ， ∴当6≤x≤10时， 随着x的增大而增大；当x=10时， ， ∴h＞2.45， 由①②得2.45＜h≤4.05． 92 答：投放高度h的取值范围是2.45＜h≤4.05米． 93 19.在▱ABCD中，BC=BD． (1)如图1，在CD边上求作一点E，连接BE，使得BE最短；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，以BD为直径的半圆交AB于点F，G是CD上一点，连接DF，BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件： _________________ ，使得四边形BGDF为矩形，并说明理由． ________ 点G是CD的中点 94 【解析】解：(1)如图1中，点E即为所求； ________ (2)条件：点G是CD的中点． 理由：∵BD是直径， ∴∠DFB=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DFB+∠FDG=180°， 95 ∴∠FDG=90°， ∵BD=BC，DG=GC， ∴BG⊥CD， ∴∠BGD=90°， ∴四边形BGDF是矩形． 故答案为：点G是CD的中点 96 20.综合与实践 【问题背景】 如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m,数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动． 【问题解决】 请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解． (1)方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点B处测得边缘点C的仰角为α(测角仪高度忽略不计)，已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长；(用含α的代数式表示) (2)方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下， 97 第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m,此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m,求景观灯的半径AC的长； (3)方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜．目高为1.5m(即EF=1.5m)的小亮在点F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点D，并测量得到如下三个数据：BQ=a,QF=b,FN=c. 已知∠DQB=∠MQN，∠CQB=∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式．(结果可含字母) 98 _______ 我选择数据： ______________ ， 求解过程如下： 【解析】解：(1)∵景观灯的边缘AC与地面BD平行， QF=b,FN=c 99 ∴∠BAC=90°， ∵AB=4m,∠ACB=α， ∴AC= = ； (2)∵∠ABP=∠FGH=90°，∠FHG=∠EPB， ∴△BPE∽△GHF， ∴ = ， ∴ = ， 100 ∴BE=5， 连接AD， ___ 则AD⊥PE， ∴∠ADE=∠EBP=90°， ∵∠E=∠E， 101 ∴△ADE∽△PBE， ∴ = ， ∵PE= = =6.25(m)， ∴ = ， ∴AD=0.6， 答：景观灯的半径AC的长为0.6m； (3)选择QF=b,FN=c.过C作CG⊥BQ于G，过D作DH⊥BQ于H， 102 ___ 则∠DHQ=∠CGQ=∠EFQ=∠MNQ=90°，DH=AB=CG=4m,EF=MN=1.6m,CD=HG， BG=AC=BH=AD， ∵∠DQB=∠MQN，∠CQB=∠EQN， ∴△CGQ∽△EFQ，△DHQ∽△MNQ， 103 ∴ = ， = ， ∴ = ， = ， ∴QG= ，QH= ， ∴HG=QH-QG= c, 104 ∴AC= CD= ． 答：景观灯半径AC的表达式为 ． 故答案为：QF=b,FN=c. 105 21.【定义感知】如图1，对于抛物线C：y=ax2+bx+c(a≠0)，以x轴上的点P(m,0)为中心，将抛物线C绕点P旋转180°得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”． ______ 【理解应用】 106 已知顶点为D的抛物线C：y=- x2+2与x轴交于点A，B． (1)如图2，当m=0时，求抛物线C关于共轭中心P(0，0)的共轭抛物线C1的表达式； (2)如图3，当m＞0时，若抛物线C关于共轭中心P(m,0)的共轭抛物线C2恰好经过抛物线C的顶点D，求m的值； 【拓展延伸】 (3)过点P(m,0)作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心P(m,0)的共轭抛物线C3于点M，N，记MN的长为n,n与m的函数关系图象为C4．当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，求此时m的值． 107 ______ 【解析】解：(1)∵抛物线 ， ∴抛物线顶点为D(0，2)． ∵共轭中心为P(0，0)， ∴共轭抛物线C1的顶点为(0，-2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反 108 ， ∴抛物线C1表达式为： ； (2)∵抛物线 ， ∴抛物线顶点为D(0，2)． ∵共轭中心为P(m,0)(m＞0)， ∴共轭抛物线C2的顶点为(2m,-2)，开口大小与抛物线C相同且方向相反， ∴抛物线C2表达式为： 109 ． ∵抛物线C2经过点D(0，2)， ∴ ， 解得： ． ∵m＞0， ∴ ； (3)方法一：令 得：x=±2， 110 ∴A(-2，0)，B(2，0)， 由(2)可知，抛物线 ，抛物线 ， ①当m＜-2时，点P在A的左侧， ∴点N在点M上方， ∴ 111 ． ②当-2＜m＜2时，点P在AB之间， ∴点M在点N上方， ∴ ． ③当m＞2时，点P在B的右侧， ∴点N在点M上方， 112 ∴ ． ∴当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，n=4， ∴当m＜-2或m＞2时，m2-4=4， 解得： ， ， 当-2＜m＜2时，-m2+4=4， 解得：m3=0， ∴m1=2 ， ，m3=0． 113 方法二：由定义可知抛物线C与共轭抛物线C3关于点P(m,0)成中心对称， ∴PM=PN， ∴ ， ∴n与m的函数关系图象如下图所示， 114 ___ ∴当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，n=4， ∴ ， 115 ∴ ， 解得： ， ，m3=0． 116 $ 2026年深圳中考考前压轴训练 一．选择题（共4小题） 1．（2026•福田区二模）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，BD是⊙O的直径，若，∠BAC＝80°，则∠AEB的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．（2026•南山区二模）如图，已知▱ABCD的顶点A在函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接OA交BC于点E．若S△BOE＝3，S四边形AECD＝7，则k的值为（　　） A．4 B．8 C．10 D．14 3．（2026•福田区二模）如图，将一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，使得点D的对应点F落在∠BAC内部．若∠CAE＝∠BAF，且∠CAF＝15°，则∠CAE的度数是（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 4．（2026•龙华区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（0，4），点C是直线y＝2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1，△OBC的面积为S2，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2 二．填空题（共7小题） 5．（2026•福田区二模）如图，直线y＝x﹣3与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，将直线y＝x﹣3向上平移得到直线y＝k2x+b，直线y＝k2x+b与反比例函数的图象交于点C，与y轴交于点D．若，则b的值为　 　 ． 6．（2026•福田区二模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，将点A折叠到BC边上的点G处，折痕为EF，若AE＝2BE，则DF＝　 　 ． 7．（2026•南山区二模）如图，FG是△ABC的中位线，E是AG的中点，∠A＝∠CFE＝45°，则的值为　 　 ． 8．（2026•龙岗区二模）如图，在正方形网格上建立直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中1格代表1个单位长度．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M、N在格点上，则k＝　 　 ． 9．（2026•龙岗区二模）如图，CD是△ABC的中线，CA＝CD，将△BDC沿CD折叠得到△EDC，CE与AB交于点F．若∠BDE＝90°，则tanE＝　 　 ． 10．（2026•福田区二模）如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别在反比例函数y（x＞0），y（k≠0，x＜0）的图象上，连接OM，ON，MN，且OM⊥ON．作MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，若，则k的值为　 　 ． 11．（2026•龙华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边上的中线，BE⊥AD于点E．若AE＝2，，则△ACD的面积为　 　 ． 三．解答题（共10小题） 12．（2026•福田区二模）如图，在△ABC中，点O、D在边AB上，且点D在点O右侧．以O为圆心，OA为半径作⊙O交AB于点E，点C恰好在⊙O上．过点D作AB的垂线交BC的延长线于点F，若∠F＝2∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是2，BC＝3，，求DF的长． （3）尺规作图：作△ABC边BC上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（2026•福田区二模）【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，点B，C，D分别旋转到点B′，C′，D′． 【初步探究】 （1）如图2，若AB＝5，AD＝3，C′D′恰好经过点B，则D′B＝　 　 ，B′到AB的距离为　 　 ． 【深入探究】 （2）如图3，若C′D′恰好经过点B，连接DB′交AB于E，试判断线段DE与B′E的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若AB＝5，AD＝3，C′D′所在直线恰好经过点B，求BB′的长． 14．（2026•福田区二模）综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙届”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以45°倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式yx表示，其中，v0（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 （1）如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度v0m/s时，则其跳远距离OA＝ 　 　 m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是 　 　 m． （2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为v0，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含v0的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记OA＝l，求证：l＝4h． （3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线MN．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到MN．设两次离地的最大高度分别为CD，EF． ①填空：CD+EF＝ 　 　 m； ②设其第一次起跳的速度为v0（m/s），求v0的取值范围． 15．（2026•南山区二模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”． 如A（1，3），B（﹣2，﹣6），等都是“三倍点”． （1）请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数y＝﹣2x+1的图象上存在“三倍点”　 　 ； ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”　 　 ； （2）一次函数y＝﹣3x+m与反比例函数的图象交于A、B两点，点P是线段AB的中点．求证：点P是“三倍点”． （3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上有且只有一个“三倍点”，直接写出c的取值范围． 16．（2026•龙岗区二模）综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD，则四边形ABCD为“旋直四边形”，AC为“旋直分割线”． 【概念辨析】 （1）用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有　 　 （填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“旋直四边形ABCD”中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC为“旋直分割线”．求证：（AD﹣AB）2+BC2＝CD2； 【拓展应用】 （3）如图2，四边形ABCD是矩形，CE⊥AC，∠EAC＝∠CAD，AE与BC交于点F．若S△ACE﹣S△ACD，求的值； （4）如图3，在▱ABCD中，AB＝1，AD＝4，cosB，点E是平面内一点，点F是AD边上一点，若四边形ABEF是“旋直四边形”，AE是“旋直分割线”，EF与BC交于点G，求CG的长． 17．（2026•龙岗区二模）央视春晚的舞台上，AI武术机器人凭借科技与武术的完美融合，上演了一场精彩绝伦的腾空跳跃表演．数学小组发现机器人跳跃轨迹呈抛物线形状，并进行以下研究： 信息1：机器人跳跃的轨迹看作一个点的运动轨迹，每次跳跃轨迹形状不变． 信息2：如图1，以机器人起跳点O为坐标原点建立平面直角坐标系，当机器人与点O的水平距离为2米时达到最高点，最大高度为2米． 请根据上述信息解决下列问题： （1）求图1中抛物线的函数表达式； （2）在O点正前方的水平地面上有一个正方形台阶ABCD，其中OA＝5米，AB＝1米． ①若机器人向右移动一段距离后再跳跃能越过正方形台阶ABCD，则机器人至少需向右平移多少米？ ②如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，设置滑梯EF，其中OE＝2米，OF＝4米，机器人从滑梯上起跳，起跳点的横坐标记为t米，跳跃后落在台阶CD上（含点C、D），求t的取值范围． 18．（2026•福田区二模）综合与实践•校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点O，水平投放方向为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，单位：m． （1）【初战实测•个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为4.5m，物资水平飞行18m后在N（18，0）处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； （2）【校准实验•定点标定】 如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点P（6，3.5），求此时无人机悬停投放口离地高度； （3）【全域探究•通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：，场地中段6≤x≤10设有高1.2m实训障碍墙；地面物资接收区为线段MN，端点M（12，0）、N（18，0）；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区MN内（含端点M，N）．求投放口高度h的取值范围． 19．（2026•龙华区二模）在▱ABCD中，BC＝BD． （1）如图1，在CD边上求作一点E，连接BE，使得BE最短；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，以BD为直径的半圆交AB于点F，G是CD上一点，连接DF，BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：　 　 ，使得四边形BGDF为矩形，并说明理由． 20．（2026•龙华区二模）综合与实践 【问题背景】 如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动． 【问题解决】 请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解． （1）方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点B处测得边缘点C的仰角为α（测角仪高度忽略不计），已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长；（用含α的代数式表示） （2）方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m，此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m，求景观灯的半径AC的长； （3）方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜．目高为1.5m（即EF＝1.5m）的小亮在点F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点D，并测量得到如下三个数据：BQ＝a，QF＝b，FN＝c． 已知∠DQB＝∠MQN，∠CQB＝∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式．（结果可含字母） 我选择数据：　 　 ， 求解过程如下： 21．（2026•龙华区二模）【定义感知】如图1，对于抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），以x轴上的点P（m，0）为中心，将抛物线C绕点P旋转180°得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”． 【理解应用】 已知顶点为D的抛物线C：yx2+2与x轴交于点A，B． （1）如图2，当m＝0时，求抛物线C关于共轭中心P（0，0）的共轭抛物线C1的表达式； （2）如图3，当m＞0时，若抛物线C关于共轭中心P（m，0）的共轭抛物线C2恰好经过抛物线C的顶点D，求m的值； 【拓展延伸】 （3）过点P（m，0）作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心P（m，0）的共轭抛物线C3于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为C4．当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，求此时m的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/18 14:19:41；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $