精品解析：广东实验中学越秀学校2026届高三考前自测数学试题

2026届广东实验中学越秀学校数学三模试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而 ， 所以 . 2. 在梯形中，，，，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将用来表示，再求数量积即可. 【详解】由题可知，所以， 因， 则 故选：C. 3. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 4. 正四面体中，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中， ， ， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 5. 若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 其中，当时，最大值为. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性得出，再利用对数的运算性质得出即可. 【详解】，，则， ， ， 则，则. 8. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，求直线、的方程，然后求出点的坐标，最后利用建立关于的等式关系从而得解. 【详解】因为 轴，点 为线段 上一点，所以设， 又的斜率为，的斜率为， 所以直线方程为，令，则，即， 直线方程为，令，则，即， 因为 ，所以，即， 所以，则该双曲线的离心率， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中.有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列的前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 10. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义、诱导公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】根据三角函数的定义：​，， 因此 ， . 选项A.，正确. 选项B. ，最大值为，不是，错误. 选项C. ，正确. 选项D. ， ， 因为 ，故错误. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线：就是其中之一，P为曲线上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰有2条对称轴和1个对称中心 B. 若P在第一象限内，则点P到点的距离和到直线的距离相等 C. 曲线所围成的封闭图形的面积小于 D. 若P不在坐标轴上，则曲线在点P处的切线的横纵截距之和为1 【答案】BC 【解析】 【分析】首先画出曲线C的图象，结合图象可直接判断A选项；由两点之间的距离公式以及点到直线的距离公式即可判断B；由第一象限的点到点的距离，可得曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，则曲线C和两坐标轴所围成的封闭图形的面积小于，则C可判断；利用导数的几何意义求切线方程即可判断D. 【详解】对于A，曲线C：即， 如图， 曲线C关于x，y轴和直线，对称，有4条对称轴； 又曲线C关于原点对称；故A错误； 设为曲线C上一点，则 对于B，只考查曲线C在第一象限内的部分，此时曲线C：， 又由， 而，故B正确； 对于C，由对称性，考查曲线C在第一象限内的部分， 由点到点的距离， 则曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方， 则曲线C和两坐标轴所围成的封闭图形的面积小于， 所以曲线C所围成的封闭图形的面积小于，故C正确； 对于D，由对称性，只考查曲线C在第一象限内的部分， 此时曲线C：， 设为曲线C在第一象限部分上一点，则， 由，则， 则曲线C在点处的切线为， 即，即， 由以及对称性可知，曲线C在点P处的切线的横纵截距的绝对值之和为1，故D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】解：参观路线分步完成： 第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3种选法； 而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2类方法完成； 第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2种方法， 同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成； 第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成， 根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有种. 故答案为： 13. 已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用可求得；作出二面角的平面角，结合余弦定理和勾股定理可求得点坐标，由此可得的最小正周期，进而得到. 【详解】，又，； 记点为，翻折后，连接， ，，即为二面角的平面角，， ，， 轴，，，又，平面， 平面，又平面，， ，， 由图可知，的最小正周期， 又因为, . 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过空间向量法确定垂直于的平面方程，找到截面顶点，判定截面为菱形后，利用对角线求面积即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为4， 所以，则， 设截面上的点为，则， 因为过点的平面垂直于，所以是平面的一个法向量， 所以，即，整理得：， 当点在棱上时，，则，得； 当点在棱上时，，则，得； 当点在棱上时，，则，得， 所以截面为四边形， 又因为， 同理可得，所以四边形为菱形， 又因为对角线， 所以面积. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）求Γ的方程； （2）若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率求出椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程，利用判别式、韦达定理和弦长公式，结合弦长条件求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得：短轴长，故， 又因为离心率，结合椭圆关系可得：  ，解得，， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意可知，联立直线与椭圆方程： ， 消去整理得：， 设直线与椭圆交于点，， 则判别式：， 解得，即，由韦达定理得： ，， 由弦长公式，其中， 可得：， 又因为​​，所以 ， 化简可得：，两边平方得：， 即​或， 又因为，所以的取值范围为：. 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）转化为证明，求出，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，单调递增， 当时，令得， 所以时，单调递增， 时，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 要证明，只需证明， 即证明， 令， ， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 可得， 即． 17. 已知分别为锐角三个内角 的对边， 为三角形的面积，且满足 （1）求角的大小； （2）若 ，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，再根据的范围进而即得的大小； （2）由三角形面积公式可得，由正弦定理结合可得关于的三角函数式，由此得解. 【小问1详解】 由正弦定理，， 因为，所以， 则， 化简得，又， 所以，即, 即得，又，则, 则,解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，又， 由正弦定理，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以，则，即. 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 . （1）求证: 平面 ； （2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足 ，求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得两直线重合，即可求解， （2）根据线面垂直可得二面角以及线面角的平面角，利用三角形的边角关系求解长度，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，进而根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解的最大值，即可根据三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 过作， 由于平面 平面 ，且两平面的交线为,平面， 故平面, 同理可得平面, 因此两直线重合，故两点重合，结合分别在上， 故重合于,故平面 【小问2详解】 由于,故点轨迹是以为焦点，以为长轴的椭圆， 取中点为，连接, 由于，故, 由（1）知平面，平面，, 平面，故平面， 平面，故, 故为二面角 的平面角，故 又，故, 由于平面，故为 与平面 所成角， 则, 要使得与平面所成角的正弦值最小，则最小，故最大即可， 在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系，故， 所以，故， 则椭圆方程为， 设，则，， ， 故当时，取最大值， 故， 故的最小值为，其中均在上单调递增， 又， 故的最小值为， 19. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为，其期望为． （1）求与； （2）求； （3）证明：． 附：①若随机变量的可能取值为，则 ②若随机变量，则． 【答案】（1）， （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）理解及的意思，根据古典概型的概率公式计算即可； （2）根据题意求出的概率，根据数学期望的计算公式，结合数列错位相减法求和即可求解； （3）求出的概率，进行用同（2）的方法求出，进而由可求出，再利用导数证明数列不等式即可. 【小问1详解】 表示袋中共两个球，前3次摸出同一个球，第4次才摸出另一个球，故， 表示袋中共3个球，前4次摸出的是两个不同编号的球，第5次才摸出最后一个编号的球， 第5次才摸出第三个编号的球，则前4次摸球中，另外两个编号球各至少摸到一次， 则． 【小问2详解】 依题意可得：， 则， 所以 设， ， 作差可得， 所以， 所以 【小问3详解】 设随机变量表示，恰好记录了个不同的编号下，继续摸球直到记录到第个新的编号所需要的摸球次数， 则，其中， 则， ， 设， 作差可得：， 所以， 所以，即， 令，当时，，所以在单调递增， 所以，即， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广东实验中学越秀学校数学三模试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的. 1. 已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在梯形中，，，，，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 正四面体中，二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中.有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 10. 在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线：就是其中之一，P为曲线上一点，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰有2条对称轴和1个对称中心 B. 若P在第一象限内，则点P到点的距离和到直线的距离相等 C. 曲线所围成的封闭图形的面积小于 D. 若P不在坐标轴上，则曲线在点P处的切线的横纵截距之和为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种． 13. 已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则________ 14. 已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）求Γ的方程； （2）若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围． 16. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：． 17. 已知分别为锐角三个内角 的对边， 为三角形的面积，且满足 （1）求角的大小； （2）若 ，求的取值范围. 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 . （1）求证: 平面 ； （2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足 ，求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 19. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为，其期望为． （1）求与； （2）求； （3）证明：． 附：①若随机变量的可能取值为，则 ②若随机变量，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $