精品解析：云南楚雄州东兴中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试题

数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 方程的解的集合为 B. 很小的正整数可以构成集合 C. 若，，则 D. 不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合中的元素满足互异性、确定性，可判断A、B错误；自然数包括0，故D错误；根据集合中的元素运算，可得C正确. 【详解】对于选项A，，解得或，故方程的解的集合为，故A错误； 对于选项B，“很小”不是一个确定的范围，与集合中元素满足确定性相矛盾，故不能构成一个集合，故B错误； 对于选项C，，故，故C正确； 对于选项D，不大于4的自然数包括0，1，2，3，4，故D错误. 故选：C 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算化简后即可求解. 【详解】复数， 故虚部为. 故选：A 3. 随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（ ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A. 2.3，1.91 B. 2.3，2.27 C. 1.7，1.91 D. 1.7，2.27 【答案】A 【解析】 【分析】由分层随机抽样的总体平均数和方差公式直接计算即可得解. 【详解】由题可得总体10人消费的平均数为， 总体10人消费的方差为. 故选：A 4. 自点发出的光线所在直线与圆相切，则满足条件的的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离相等求解. 【详解】由，整理得， 故圆心，半径， 设的方程为，则到该直线的距离. 化简得， 则该方程有两个不同的解，且. 5. 已知数列满足，则前2023项的和的值为（ ） A. 506 B. 1012 C. 1013 D. 2024 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列满足， 所以， 故数列是以3为周期的周期数列，且， 所以. 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角差的余弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，可得，则， 又由，所以， 所以 ． 故选：C． 7. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，易得外接球半径，利用正弦定理得到截面的外接圆半径为，从而得到球心到面的距离，结合题意即可得到最大值. 【详解】三棱锥的外接球就是以、、为长、宽、高的长方体的外接球， 其直径为，即， 又，所以， 则，于是由正弦定理，的外接圆半径为， 故球心到面的距离为. 所以点到面距离的最大值是. 故选：C. 8. 设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的焦点为，所以的右焦点，左焦点， 因为点在的外部，所以，可得， 则的离心率， 因为点是上的动点，所以， 故恒成立可转换为恒成立， ，当且仅当点为射线与在第四象限的交点时取等号， 所以，故， 因此的离心率的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A. B. 直线与平面平行 C. 点和到下底面的距离相等 D. 直线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用六棱柱的性质特征以及正六边形的性质，对选项逐一分析即可得出结论. 【详解】据棱柱的定义可知，故A正确； 由于为正六边形，则直线与相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面，故点和到下底面的距离相等，C正确； 由于，而直线与不垂直，所以D错误， 故选：AC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 若，则实数的最大值为 D. 若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 11. 已知函数的图象与直线，从左往右的连续4个交点依次为，且.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的可能取值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的性质及和角正弦公式判断A、B；根据题设及正弦型函数的图象分析等量关系，结合三角恒等变换及诱导公式得到参数关系式，进而判断C、D. 【详解】对于A，由恒成立，且，可得， 即，故的可能取值为，故A正确； 对于B，由，则， 即，可得， 所以，而当时，，故B错误； 对于C，由题设，且的最小正周期，如下图所示， 所以，且， 所以， 即，则， 所以，则， 综上，，则， 因，而，故，故C正确； 对于D，由，且的最小正周期， 所以，则， 所以， 所以， 即，则， 不妨令，，而， 而为锐角，所以且为钝角， 则，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【详解】向量在上的投影向量为. 13. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线的切点横坐标为，由导数的几何意义求得，得到切线方程，再设设直线与曲线的切点横坐标为，由导数的几何意义即可求解. 【详解】设直线与曲线的切点横坐标为， 由，得，解得 所以切点坐标为，代入直线方程得到. 设直线与曲线的切点横坐标为， 则， 且，联立得， 所以，即. 所以， 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则______. 【答案】4050 【解析】 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解. 【详解】由题意得为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则， 所以函数关于直线对称， 所以，从而得， 所以函数为周期为4的函数， 因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为，所以， 所以. 故答案为：4050. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，，. （1）求外接圆的面积； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 已知，由正弦定理，得， 即，显然，故， 由，得， 所以外接圆的半径，其面积为. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理，可得， 解得（舍去），故. 【小问3详解】 由正弦定理，且，，得， 又，则为锐角，故， 故， 故 . 17. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】（1），，不独立 （2）分布列见解析，446 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 ， ，， ，所以A，B不独立； 【小问2详解】 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义直接求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）根据（2）得，进而得，再令将不等式转化为，最后构造函数研究函数的性质解不等式. 【小问1详解】 解：当时，，则 ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即 所以，曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 解：函数的定义域为， 所以，当时，在恒成立，在上单调递增； 当时，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 解：由（2）知，当时，在上单调递增，函数无极值； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，无极小值. 所以，当时，函数有极大值. 不等式即为，整理得， 令，则不等式化简为 令，则， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以的解集为，即 所以，即的解集为， 所以，关于的不等式的解集为. 19. 已知双曲线的右焦点为，且过点. （1）求的标准方程； （2）设斜率不为0的直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点； （3）记的两条渐近线分别为和（其中为过第一､三象限的直线），直线与的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与的右支交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一系列点，则称这些点为“几何级联点直线”，记的坐标为，证明：数列是常数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标可确定的值，再根据双曲线过点，可得关于的方程组，求的值可确定双曲线的方程. （2）设直线，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，并用它表示直线，求其与轴交点即可. （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立，表示出，，再用它们表示出点的坐标，再探索的值即可. 【小问1详解】 设的焦距为， 因为的右焦点为，且过点， 所以，解得. 所以的标准方程为. 【小问2详解】 如图： 由（1）知的右焦点为， 则直线， 设，由点关于轴的对称点为点，则， 联立，得， 由题可知，即，且， 则. 则直线的方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 ， 当，且时，. 故直线过定点. 【小问3详解】 依题可知，. 设斜率为2且与双曲线右支相交于两点的直线方程为， 联立，整理得， 因为该方程有两个正根，则， 解得或（舍）， 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为， 即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②得， 所以， 因为， 所以， ， 即， 所以， 故数列是常数列. 【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 方程的解的集合为 B. 很小的正整数可以构成集合 C. 若，，则 D. 不大于4的自然数组成的集合中的所有元素为1，2，3，4 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 随着2025年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10月12日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10人（其中男7人，女3人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10人消费的平均数和方差分别是（ ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2） A. 2.3，1.91 B. 2.3，2.27 C. 1.7，1.91 D. 1.7，2.27 4. 自点发出的光线所在直线与圆相切，则满足条件的的斜率之和为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知数列满足，则前2023项的和的值为（ ） A. 506 B. 1012 C. 1013 D. 2024 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，，.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左､右焦点分别为，且点与抛物线的焦点重合，点在的外部，点是上的动点，满足恒成立，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（　　） A. B. 直线与平面平行 C. 点和到下底面的距离相等 D. 直线 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 若，则实数的最大值为 D. 若，则实数的最大值为1 11. 已知函数的图象与直线，从左往右的连续4个交点依次为，且.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的可能取值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标是__________. 13. 已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则________. 14. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，，. （1）求外接圆的面积； （2）求的值； （3）求的值. 17. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，解关于的不等式. 19. 已知双曲线的右焦点为，且过点. （1）求的标准方程； （2）设斜率不为0的直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点； （3）记的两条渐近线分别为和（其中为过第一､三象限的直线），直线与的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与的右支交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一系列点，则称这些点为“几何级联点直线”，记的坐标为，证明：数列是常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $