第五单元 方程（期末知识清单）五年级数学下学期（西南大学版）

第五单元 方程 期末复习知识清单 考点一、用字母表示数 1. 核心意义 (1)用含有字母的式子表示计算公式、运算定律和数量关系，比文字叙述更简明、通用。 2. 书写规范 (1)乘号省略：数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“·”或省略不写。 例： 写作 或 ； 写作 。 (2)数字前置：数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面。 例： 应写作 ，不可写作 。 (3)特殊规定： ①　 与任何字母相乘， 省略不写（如 写作 ）。 ②　 写作 ，读作“a的平方”，表示两个 相乘；注意区分 （表示两个 相加）。 ③　加减除运算符号不能省略。 考点二、含有字母式子的化简与求值 1. 式子化简 (1)合并：利用乘法分配律逆运算，将含有相同字母部分的项进行合并。 例： ； 。 (2)注意事项：只有字母部分完全相同的项才能合并（如 与 不能合并， 与 不能合并）。 2. 代入求值 (1)标准步骤： ①　写出原式：保留含有字母的原始表达式。 ②　代入数值：将字母替换为具体的数值，恢复省略的乘号。 ③　计算结果：按照四则运算顺序计算出最终数值。 (2)格式规范： (1)当字母取特定值时，式子的值也随之确定。 (2)例：当 时，求 的值。 考点三、等式的认识及列等量关系式 1. 等式的定义 (1)概念：表示相等关系的式子叫做等式。 (2)特征：必须包含等号“=”。 (3)辨析：所有的方程都是等式，但并非所有的等式都是方程（如 是等式但不是方程）。 2. 寻找等量关系 (1)常见关键词：“一共”、“总和”、“比...多/少”、“是...的几倍”、“剩余”、“平均”等。 (2)基本数量关系模型： ①　加减关系：部分 + 部分 = 整体；整体 - 部分 = 另一部分。 ②　乘除关系：单价 数量 = 总价；速度 时间 = 路程；工作效率 工作时间 = 工作总量。 ③　几何公式：长方形周长 ，面积 等。 (3)策略：画图辅助（线段图）、列表整理信息，直观呈现数量间的平衡关系。 考点四、等式的性质1和2 1. 等式的性质1（加减性质） (1)内容：等式两边同时加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等。 (2)表达式：若 ，则 ， 。 (3)应用：用于解形如 或 的方程，目的是消去常数项，使左边只剩 。 2. 等式的性质2（乘除性质） (1)内容：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 (2)表达式：若 ，则 ；若 ，则 。 (3)应用：用于解形如 或 的方程，目的是消去系数，使 的系数变为1。 (4)关键限制：除数不能为0。 考点五、方程的认识 1. 方程的定义 (1)核心要素： ①　必须是等式。 ②　必须含有未知数（通常用 等字母表示）。 (2)判断标准：同时满足上述两个条件的式子才是方程。 例： 是方程； 不是； 不是。 2. 方程的解与解方程 (1)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（是一个数值） (2)解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。（是一个过程） (3)区别：“解”是结果，“解方程”是动作/过程。 考点六、解方程 1. 基本类型与解法 (1) 型： ①　依据等式性质1，两边同时减（或加） 。 ②　例： 。 (2) 型： ①　依据等式性质2，两边同时除以 。 ②　例： 。 (3) 型： ①　依据等式性质2，两边同时乘 。 ②　例： 。 2. 复杂类型解法（两步及以上） (1) 视整体法：将含有 的部分看作一个整体。 ①　例： 。先将 看作整体，两边减3得 ，再两边除以2得 。 ②　例： 。先将 看作整体，两边除以3得 ，再两边加2得 。 (2) 合并：先化简方程左边或右边，再求解。 例： 。 3. 规范格式与检验 (1)书写格式： ①　开头写“解：”。 ②　等号对齐。 ③　逐步变形，不要跳步。 (2)检验方法： ①　将求出的未知数的值代入原方程。 ②　计算左边和右边的值。 ③　若左边 = 右边，则说明解正确；否则错误。 ④　结论：所以， 是原方程的解。 考点七、列方程解含一个未知数的问题 1. 解题步骤 (1)审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题。 (2)设元：设未知数为 （通常直接设所求量为 ，有时间接设更方便）。 (3)找关系：分析数量关系，找出等量关系式。 (4)列方程：根据等量关系列出方程。 (5)解方程：求出 的值。 (6)检验作答：检验是否符合题意，并写出答语。 2. 常见题型 (1)一般应用题：如购物找零、行程相遇、年龄问题等。 (2)几何图形题：已知周长、面积求边长或高。 (3)倍数问题：已知两个量的倍数关系及和/差，求这两个量（虽涉及两个量，但可通过倍数关系转化为一个未知数）。 例：甲是乙的3倍，甲乙之和为40。设乙为 ，则甲为 ，列方程 。 考点八、列方程解含两个未知数的问题 1. 问题特征 (1)题目中包含两个未知的数量。 (2)这两个未知数之间通常存在两种关系： ①　倍数/比例关系：一个数是另一个数的几倍或几分之几。 ②　和/差关系：两个数的和或差是多少。 2. 设元策略（关键） (1)设“1倍量”为 ：通常设较小的数、标准量或作为基准的量为 。 (2)表示另一量：根据倍数关系，用含有 的式子表示另一个未知数。 ①　例：若甲是乙的3倍，设乙为 ，则甲为 。 ②　例：若男生比女生多5人，设女生为 ，则男生为 。 3. 列方程依据 (1)利用剩下的那个关系（通常是和或差）来列方程。 ①　接上例：若已知甲乙之和为40，则列方程 。 ②　若已知甲乙之差为20，则列方程 。 4. 求解与作答 (1)解出 后，记得计算另一个未知数的值。 (2)完整作答：答语中必须回答两个未知量的具体数值，不可遗漏。 (3)检验：不仅要检验方程是否成立，还要检验两个结果是否满足题目中的所有条件（倍数关系和和差关系）。 题型一、用字母表示数 【例1】晨会上，同学们在操场上排队参加升旗仪式。五年级站了x列，每列16人；六年级共y人，则“y＋16x”表示的意思是( )。 【练1】小红买了8个练习本，每个练习本的价格是元，这些练习本的总价是( )元；她付了一张50元，应找回( )元。（含字母的式子表示） 题型二、含有字母式子的化简与求值 【例2】一家书店中1本《草房子》需要11.5元，张老师要买a本《草房子》，需要付( )元，当a＝14时，需要付( )元。 【练2】学校食堂里的面粉akg，每天用去5.5kg，用了b天，剩下面粉的重量用式子表示是( )kg；如果a＝100，b＝6，那么剩下( )kg。 题型三、等式的认识及列等量关系式 【例3】下列式子是等式的是（    ）。 A．3x＋5 B．6＋3＜12 C．a＋5＝14 D．12÷2＋36 【练3】“梨树的棵树比苹果树的棵数的3倍多5棵”。根据信息写等量关系式( )。 题型四、等式的性质1和2 【例4】如果m＝n，根据等式的性质填空。 m＋7＝n＋（                  ）  m÷（                  ）＝n÷9 【练4】如果a＝2b，那么a×5＝2b×（                  ）。 题型五、方程的认识 【例5】下面的式子中，（    ）是方程。 A．3x＋2x B．6＋13＝19 C．x－7＝20 D．1＋x＞4 【练5】下列各式哪些是等式，哪些是方程？（填序号） ①6＋x＝9    ②x－5    ③3＋x＞8    ④4a＝12 ⑤15－7＝8    ⑥3x＝18    ⑦25÷x＝5    ⑧13＋9＝22 等式：（                                     ）；方程：（                                     ）。 题型六、解方程 【例6】解方程。          4y÷18＝2         5x＋x＝30.6 【练6】解方程，带☆的要检验。 ☆                   题型七、列方程解含一个未知数的问题 【例7】学校图书馆有科技书480本，比故事书的2倍少80本。故事书有多少本？（用方程解答） 【练7】一辆客车和一辆轿车同时从平昌出发开往重庆，客车每时行75千米，经过2小时后，轿车比客车多行了50千米，轿车每时行多少千米？ （1）你找出的等量关系是（                                     ）。 （2）根据等量关系列出方程并解答。 题型八、列方程解含两个未知数的问题 【例8】甲、乙两车从相距972千米的两地同时出发，相向而行，经过7.2时相遇。已知甲车每时比乙车慢23千米，乙车每时行多少千米？ 【练8】一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，结果货车比客车晚2小时到达乙地。甲乙两地相距多少千米？ 1．妈妈今年a岁，爸爸今年（a＋3）岁，10年后他们相差（    ）岁。 A．3 B．5 C．10 D．13 2．关于等式3x＋6＝21，下面操作错误的是（    ）。 A．等式两边同时减去6，得到3x＝15。 B．等式两边同时减去6，再除以3，得到x＝5。 C．等式两边同时除以3，得到x＋6＝7。 D．等式两边同时除以3，得到x＋2＝7。 3．解方程：3x－33＝69 解：3x－33〇□＝69〇□，此时，〇和□里应填的运算符号和数分别是（    ）。 A．＋；69 B．－；33 C．＋；33 D．÷；3 4．在①，②，③中，等式有( )，方程有( )（填序号）。当时，( )。 5．超市运来大米千克，3天一共卖出了a千克，平均每天卖出大米( )千克，还剩( )千克大米没卖完。 6．观察下面图形，若它们的高用字母h表示，则它们的面积之和是( )平方厘米。 7．师徒二人制作顾县豆干，徒弟做出xkg，师傅比徒弟多做20kg，师傅做出( )kg；如果x＝30，那么师傅做了( )kg。 8．某工厂加工一批零件，原计划50天完成。提高效率后，实际每天多加工了6个零件，40天完成任务。设原计划每天加工零件x个，根据等量关系“原计划加工零件总个数＝实际加工零件总个数”可以列出方程( )。这批零件的总个数是( )个。 9．解方程。 9＋2＝1210         ÷4＝0.3         －（＋）＝ 10．用方程表示下列数量关系，并求未知数的值。 一头野牛重约50千克，一头黄牛重约240千克，这头黄牛的体重是这头野牛的t倍。 11．大学生小李打算去广安游玩，某购票软件上显示，天意谷景区的成人票价是80元，比白坪一飞龙旅游区的成人票价的3倍还多5元。白坪一飞龙旅游区的成人票价是多少元？（列方程解答） 12．华蓥市五星桥是一座连接华蓥河两岸雄伟、古朴、典雅、别致的石拱桥。武胜嘉陵江大桥是一座公路大桥，长609米，它的长度比五星桥的9倍少3米。五星桥长多少米？（列方程解答） 13．玲玲一家端午节去邻水县游玩，返回时买了3箱蜜梨和2箱脐橙，一共用去198元。已知1箱脐橙的价格是45元，那么1箱蜜梨的价格是多少元？（用方程解答） 14．甲乙两车同时从相距550千米的两地相对开出，甲车每时行90千米，出发2时后两车没有相遇过并且还相距150千米。乙车每时行多少千米？（用方程解答） 15．全友家居现在要生产一批桌子和方凳，派出63名技术工人。每个工人平均每天能加工9张方凳或者6张桌子。为了供应市场，必须方凳的张数是桌子张数的2倍才能配成一套，才可以发货。怎么安排加工方凳和桌子的人数，既不造成浪费，又能满足供货？ 第 2 页 共 16 页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 方程 期末复习知识清单 考点一、用字母表示数 1. 核心意义 (1)用含有字母的式子表示计算公式、运算定律和数量关系，比文字叙述更简明、通用。 2. 书写规范 (1)乘号省略：数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“·”或省略不写。 例： 写作 或 ； 写作 。 (2)数字前置：数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面。 例： 应写作 ，不可写作 。 (3)特殊规定： ①　 与任何字母相乘， 省略不写（如 写作 ）。 ②　 写作 ，读作“a的平方”，表示两个 相乘；注意区分 （表示两个 相加）。 ③　加减除运算符号不能省略。 考点二、含有字母式子的化简与求值 1. 式子化简 (1)合并：利用乘法分配律逆运算，将含有相同字母部分的项进行合并。 例： ； 。 (2)注意事项：只有字母部分完全相同的项才能合并（如 与 不能合并， 与 不能合并）。 2. 代入求值 (1)标准步骤： ①　写出原式：保留含有字母的原始表达式。 ②　代入数值：将字母替换为具体的数值，恢复省略的乘号。 ③　计算结果：按照四则运算顺序计算出最终数值。 (2)格式规范： (1)当字母取特定值时，式子的值也随之确定。 (2)例：当 时，求 的值。 考点三、等式的认识及列等量关系式 1. 等式的定义 (1)概念：表示相等关系的式子叫做等式。 (2)特征：必须包含等号“=”。 (3)辨析：所有的方程都是等式，但并非所有的等式都是方程（如 是等式但不是方程）。 2. 寻找等量关系 (1)常见关键词：“一共”、“总和”、“比...多/少”、“是...的几倍”、“剩余”、“平均”等。 (2)基本数量关系模型： ①　加减关系：部分 + 部分 = 整体；整体 - 部分 = 另一部分。 ②　乘除关系：单价 数量 = 总价；速度 时间 = 路程；工作效率 工作时间 = 工作总量。 ③　几何公式：长方形周长 ，面积 等。 (3)策略：画图辅助（线段图）、列表整理信息，直观呈现数量间的平衡关系。 考点四、等式的性质1和2 1. 等式的性质1（加减性质） (1)内容：等式两边同时加上（或减去）同一个数，左右两边仍然相等。 (2)表达式：若 ，则 ， 。 (3)应用：用于解形如 或 的方程，目的是消去常数项，使左边只剩 。 2. 等式的性质2（乘除性质） (1)内容：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 (2)表达式：若 ，则 ；若 ，则 。 (3)应用：用于解形如 或 的方程，目的是消去系数，使 的系数变为1。 (4)关键限制：除数不能为0。 考点五、方程的认识 1. 方程的定义 (1)核心要素： ①　必须是等式。 ②　必须含有未知数（通常用 等字母表示）。 (2)判断标准：同时满足上述两个条件的式子才是方程。 例： 是方程； 不是； 不是。 2. 方程的解与解方程 (1)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（是一个数值） (2)解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。（是一个过程） (3)区别：“解”是结果，“解方程”是动作/过程。 考点六、解方程 1. 基本类型与解法 (1) 型： ①　依据等式性质1，两边同时减（或加） 。 ②　例： 。 (2) 型： ①　依据等式性质2，两边同时除以 。 ②　例： 。 (3) 型： ①　依据等式性质2，两边同时乘 。 ②　例： 。 2. 复杂类型解法（两步及以上） (1) 视整体法：将含有 的部分看作一个整体。 ①　例： 。先将 看作整体，两边减3得 ，再两边除以2得 。 ②　例： 。先将 看作整体，两边除以3得 ，再两边加2得 。 (2) 合并：先化简方程左边或右边，再求解。 例： 。 3. 规范格式与检验 (1)书写格式： ①　开头写“解：”。 ②　等号对齐。 ③　逐步变形，不要跳步。 (2)检验方法： ①　将求出的未知数的值代入原方程。 ②　计算左边和右边的值。 ③　若左边 = 右边，则说明解正确；否则错误。 ④　结论：所以， 是原方程的解。 考点七、列方程解含一个未知数的问题 1. 解题步骤 (1)审题：弄清题意，找出已知条件和所求问题。 (2)设元：设未知数为 （通常直接设所求量为 ，有时间接设更方便）。 (3)找关系：分析数量关系，找出等量关系式。 (4)列方程：根据等量关系列出方程。 (5)解方程：求出 的值。 (6)检验作答：检验是否符合题意，并写出答语。 2. 常见题型 (1)一般应用题：如购物找零、行程相遇、年龄问题等。 (2)几何图形题：已知周长、面积求边长或高。 (3)倍数问题：已知两个量的倍数关系及和/差，求这两个量（虽涉及两个量，但可通过倍数关系转化为一个未知数）。 例：甲是乙的3倍，甲乙之和为40。设乙为 ，则甲为 ，列方程 。 考点八、列方程解含两个未知数的问题 1. 问题特征 (1)题目中包含两个未知的数量。 (2)这两个未知数之间通常存在两种关系： ①　倍数/比例关系：一个数是另一个数的几倍或几分之几。 ②　和/差关系：两个数的和或差是多少。 2. 设元策略（关键） (1)设“1倍量”为 ：通常设较小的数、标准量或作为基准的量为 。 (2)表示另一量：根据倍数关系，用含有 的式子表示另一个未知数。 ①　例：若甲是乙的3倍，设乙为 ，则甲为 。 ②　例：若男生比女生多5人，设女生为 ，则男生为 。 3. 列方程依据 (1)利用剩下的那个关系（通常是和或差）来列方程。 ①　接上例：若已知甲乙之和为40，则列方程 。 ②　若已知甲乙之差为20，则列方程 。 4. 求解与作答 (1)解出 后，记得计算另一个未知数的值。 (2)完整作答：答语中必须回答两个未知量的具体数值，不可遗漏。 (3)检验：不仅要检验方程是否成立，还要检验两个结果是否满足题目中的所有条件（倍数关系和和差关系）。 题型一、用字母表示数 【例1】晨会上，同学们在操场上排队参加升旗仪式。五年级站了x列，每列16人；六年级共y人，则“y＋16x”表示的意思是( )。 【答案】五、六年级的总人数 【分析】五年级站了x列，每列16人，因此五年级的人数为16x；六年级共有y人。据此分析。 【详解】据分析可知，晨会上，同学们在操场上排队参加升旗仪式。五年级站了x列，每列16人；六年级共y人，则“y＋16x”表示的意思是五、六年级的总人数。 【练1】小红买了8个练习本，每个练习本的价格是元，这些练习本的总价是( )元；她付了一张50元，应找回( )元。（含字母的式子表示） 【答案】 8 50－8 【分析】已知每个练习本的价格是元，买了8本，根据“单价×数量＝总价”，用含字母的式子表示这些练习本的总价； 已知付了50元，根据“应找回的钱数＝付的钱数－这些练习本的总价”，据此用含字母的式子表示应找回的钱数。 【详解】小红买了8个练习本，每个练习本的价格是元，这些练习本的总价是8元； 她付了一张50元，应找回（50－8）元。 题型二、含有字母式子的化简与求值 【例2】一家书店中1本《草房子》需要11.5元，张老师要买a本《草房子》，需要付( )元，当a＝14时，需要付( )元。 【答案】 11.5a 161 【分析】单价×数量＝总价，《草房子》单价×买的本数＝需要付的钱数，据此用字母表示出需要付的钱数；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】11.5×a＝11.5a（元） 当a＝14时 11.5a＝11.5×14＝161（元） 需要付11.5a元，当a＝14时，需要付161元。 【练2】学校食堂里的面粉akg，每天用去5.5kg，用了b天，剩下面粉的重量用式子表示是( )kg；如果a＝100，b＝6，那么剩下( )kg。 【答案】 a－5.5b 67 【分析】已知面粉总重量为akg，每天用去5.5kg，用了b天，那么用去的面粉重量为5.5bkg；根据“剩余重量＝总重量－用去的重量”，可得剩下面粉的重量用式子表示是（a－5.5b）kg。 当a＝100，b＝6时，将其代入a－5.5b中，计算出剩下的重量。 【详解】剩下面粉的重量用式子表示是（a－5.5b）kg； 当a＝100，b＝6时， a－5.5b ＝100－5.5×6 ＝100－33 ＝67 如果a＝100，b＝6，那么剩下67kg。 题型三、等式的认识及列等量关系式 【例3】下列式子是等式的是（    ）。 A．3x＋5 B．6＋3＜12 C．a＋5＝14 D．12÷2＋36 【答案】C 【分析】表示相等关系的式子叫做等式，等式含有等号，据此分析。 【详解】A．3x＋5，没有等号，不是等式； B．6＋3＜12，没有等号，不是等式； C．a＋5＝14，含有等号，是等式； D．12÷2＋36，没有等号，不是等式。 是等式的是a＋5＝14。 故答案为：C 【练3】“梨树的棵树比苹果树的棵数的3倍多5棵”。根据信息写等量关系式( )。 【答案】苹果树的棵数×3＋5棵＝梨树的棵数 【分析】根据题意，梨树的棵树比苹果树的棵数的3倍多5棵，就是苹果树的棵数×3＋5棵＝梨树的棵数，据此解答。 【详解】根据分析可知，“梨树的棵树比苹果树的棵数的3倍多5棵”。根据信息写等量关系式苹果树的棵数×3＋5棵＝梨树的棵数。 题型四、等式的性质1和2 【例4】如果m＝n，根据等式的性质填空。 m＋7＝n＋（                  ）  m÷（                  ）＝n÷9 【答案】 7 9 【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。根据等式的性质解答即可。 【详解】根据等式的性质1可知：如果m＝n，那么m＋7＝n＋7。 根据等式的性质2可知：如果m＝n，那么m÷9＝n÷9。 【点睛】此题考查了等式的两条基本性质。 【练4】如果a＝2b，那么a×5＝2b×（                  ）。 【答案】5 【分析】根据等式的性质2，在等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立，据此解答即可。 【详解】由分析可得，等式左边×5，等式右边也要×5，这样等式仍然成立。 如果a＝2b，那么a×5＝2b×5 题型五、方程的认识 【例5】下面的式子中，（    ）是方程。 A．3x＋2x B．6＋13＝19 C．x－7＝20 D．1＋x＞4 【答案】C 【分析】根据方程的意义：含有未知数的等式叫做方程，据此即可逐项分析。 【详解】A．3x＋2x含有未知数，但不是等式，不是方程； B．6＋13＝19是等式，但不含未知数，不是方程； C．x－7＝20含有未知数的等式是方程； D．1＋x＞4含有未知数，但不是等式，不是方程。 故答案为：C 【练5】下列各式哪些是等式，哪些是方程？（填序号） ①6＋x＝9    ②x－5    ③3＋x＞8    ④4a＝12 ⑤15－7＝8    ⑥3x＝18    ⑦25÷x＝5    ⑧13＋9＝22 等式：（                                     ）；方程：（                                     ）。 【答案】 ①④⑤⑥⑦⑧ ①④⑥⑦ 【分析】含有等号的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程。据此解答。 【详解】通过分析可得：①6＋x＝9，④4a＝12，⑤15－7＝8，⑥3x＝18，⑦25÷x＝5，⑧13＋9＝22，这些式子都含有等号，是等式；其中，①6＋x＝9，④4a＝12，⑥3x＝18，⑦25÷x＝5，这些等式含有未知数，是方程。所以，等式有：①④⑤⑥⑦⑧；方程有：①④⑥⑦。 题型六、解方程 【例6】解方程。          4y÷18＝2         5x＋x＝30.6 【答案】；y＝9；x＝5.1 【分析】，根据等式的性质1，两边同时－即可； 4y÷18＝2，根据等式的性质2，两边同时×18，再同时÷4即可； 5x＋x＝30.6，先将左边合并成6x，根据等式的性质2，两边同时÷6即可。 【详解】 解： 4y÷18＝2 解：4y÷18×18＝2×18 4y＝36 4y÷4＝36÷4 y＝9 5x＋x＝30.6 解：6x＝30.6 6x÷6＝30.6÷6 x＝5.1 【练6】解方程，带☆的要检验。 ☆                   【答案】x＝4.6；x＝17.2； 【分析】（1）先计算1.2×5＝6，再根据等式的性质，方程两边同时减去6，再同时除以4求出方程的解；方程的检验：把x的值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解，如不相等则不是原方程的解。 （2）根据等式性质，方程两边同时加上3x，然后方程左右两边交换位置，再两边同时减去35.4，最后两边同时除以3求出方程的解； （3）先通分计算括号里面的＋，把方程化简成，然后方程两边同时加上，求出方程的解。 【详解】（1） 解：4x＋6＝24.4 4x＋6－6＝24.4－6 4x＝18.4 4x÷4＝18.4÷4 x＝4.6 检验：把x＝4.6代入原方程， 左边＝4x＋1.2×5 ＝4×4.6＋1.2×5 ＝18.4＋6 ＝24.4 左边＝右边， 所以，x＝4.6是方程的解。 （2）87－3x＝35.4 解：87－3x＋3x＝35.4＋3x 87＝35.4＋3x 35.4＋3x＝87 35.4＋3x－35.4＝87－35.4 3x＝51.6 3x÷3＝51.6÷3 x＝17.2 （3） 解： 题型七、列方程解含一个未知数的问题 【例7】学校图书馆有科技书480本，比故事书的2倍少80本。故事书有多少本？（用方程解答） 【答案】280本 【分析】要求故事书的本数，可以设故事书有本。根据故事书的本数×2－80＝科技书的本数列出方程。再利用等式的性质解方程，求出的值即可。 【详解】解：设故事书有本。 2×－80＝480 2×－80＋80＝480＋80 2×＝560 2×÷2＝560÷2 ＝280 答：故事书有280本。 【练7】一辆客车和一辆轿车同时从平昌出发开往重庆，客车每时行75千米，经过2小时后，轿车比客车多行了50千米，轿车每时行多少千米？ （1）你找出的等量关系是（                                     ）。 （2）根据等量关系列出方程并解答。 【答案】（1）见详解 （2）100千米 【分析】（1）根据“2小时后，轿车比客车多行了50千米”以及“速度×时间＝路程”得出等量关系：轿车行驶的路程－客车行驶的路程＝轿车比客车多行的路程。 （2）上一题的等量关系中，轿车行驶的路程＝轿车的速度×行驶时间，客车行驶的路程＝客车的速度×行驶时间，设轿车每小时行千米，根据等量关系列出方程，并求解。 【详解】（1）等量关系是（轿车行驶的路程－客车行驶的路程＝轿车比客车多行的路程）。 （2）解：设轿车每小时行千米。 2－75×2＝50    2－150＝50 2－150＋150＝50＋150 2＝200 2÷2＝200÷2 ＝100 答：轿车每时行100千米。 题型八、列方程解含两个未知数的问题 【例8】甲、乙两车从相距972千米的两地同时出发，相向而行，经过7.2时相遇。已知甲车每时比乙车慢23千米，乙车每时行多少千米？ 【答案】79千米 【分析】相遇问题中，两车行驶的距离＝（甲车速度＋乙车速度）×时间，已知甲车每小时比乙车慢23千米，可设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x-23）千米，根据数量关系列出方程，进而得出答案。 【详解】设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x-23）千米，可列出方程： 答：乙车每时行驶79千米。 【练8】一辆客车和一辆货车同时从甲地开往乙地，客车每小时行70千米，货车每小时行50千米，结果货车比客车晚2小时到达乙地。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】350千米 【分析】速度×时间＝路程，设客车用了x小时，则货车用了（x＋2）小时，根据客车速度×客车行驶时间＝货车速度×货车行驶时间，列出方程求出x的值是客车行驶时间，客车速度×客车行驶时间＝甲乙两地距离。 【详解】解：设客车用了x小时，则货车用了（x＋2）小时。 70x＝（x＋2）×50 70x＝50x＋100 70x－50x ＝50x＋100－50x 20x＝100 20x÷20＝100÷20 x＝5 70×5＝350（千米） 答：甲乙两地相距350千米。 1．妈妈今年a岁，爸爸今年（a＋3）岁，10年后他们相差（    ）岁。 A．3 B．5 C．10 D．13 【答案】A 【分析】已知妈妈今年a岁，爸爸今年（a＋3）岁，可知爸爸比妈妈大3岁，即爸爸和妈妈的年龄差为3岁；因为年龄差是一个固定的值，不会随着时间的推移而改变，所以10年后，爸爸和妈妈的年龄差仍然是3岁。 【详解】妈妈今年a岁，爸爸今年（a＋3）岁，可知爸爸比妈妈大3岁，即相差3岁，因为年龄差始终不变，因此10年后他们仍相差3岁。 故答案为：A 2．关于等式3x＋6＝21，下面操作错误的是（    ）。 A．等式两边同时减去6，得到3x＝15。 B．等式两边同时减去6，再除以3，得到x＝5。 C．等式两边同时除以3，得到x＋6＝7。 D．等式两边同时除以3，得到x＋2＝7。 【答案】C 【分析】用等式的性质解方程。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】A．3x＋6－6＝21－6，3x＝15；等式两边同时减去6，得到3x＝15，原选项正确； B．3x＋6－6＝21－6，3x＝15；3x÷3＝15÷3，x＝5；等式两边同时减去6，再除以3， 得到x＝5，原选项正确； C．（3x＋6）÷3＝21÷3，x＋2＝7；等式两边同时除以3，得到x＋2＝7，原选项错误； D．（3x＋6）÷3＝21÷3，x＋2＝7；等式两边同时除以3，得到x＋2＝7，原选项正确。 故答案为：C 3．解方程：3x－33＝69 解：3x－33〇□＝69〇□，此时，〇和□里应填的运算符号和数分别是（    ）。 A．＋；69 B．－；33 C．＋；33 D．÷；3 【答案】C 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。据此即可判断选择。 【详解】3x－33＝69 解：3x－33＋33＝69＋33 3x＝102 3x÷3＝102÷3 x＝34 此时，〇应填的运算符号是＋，□里应填的数是33。 故答案为：C 4．在①，②，③中，等式有( )，方程有( )（填序号）。当时，( )。 【答案】 ①② ① 8 【分析】含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式；据此判断。 把代入中，计算出得数即可。 【详解】①，既是方程又是等式； ②，是等式，但不含未知数，所以不是方程； ③，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； 当时，。 填空如下： 在①，②，③中，等式有①②，方程有①。当时，。 5．超市运来大米千克，3天一共卖出了a千克，平均每天卖出大米( )千克，还剩( )千克大米没卖完。 【答案】 －a 【分析】先用a千克除以3，求出平均每天卖出多少千克大米；再根据减法的意义，用运来的大米的质量减去卖出的质量，求出剩下的质量即可。 【详解】a÷3＝（千克） 剩下：（x－a）千克 所以平均每天卖出大米千克，还剩（x－a）千克。 6．观察下面图形，若它们的高用字母h表示，则它们的面积之和是( )平方厘米。 【答案】12h 【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别求出它们的面积，再相加，即解答。 【详解】4×h＋8×h÷2＋（5＋3）×h÷2 ＝4h＋8h÷2＋8h÷2 ＝4h＋4h＋4h ＝12h（平方厘米） 观察下面图形，若它们的高用字母h表示，则它们的面积之和是12h平方厘米。 7．师徒二人制作顾县豆干，徒弟做出xkg，师傅比徒弟多做20kg，师傅做出( )kg；如果x＝30，那么师傅做了( )kg。 【答案】 （x＋20） 50 【分析】徒弟做出的质量＋师傅比徒弟多做出的质量＝师傅做出的质量，据此用字母表示出师傅做出的质量；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】x＋20 ＝30＋20 ＝50（kg） 师傅做出（x＋20）kg；如果x＝30，那么师傅做了50kg。 8．某工厂加工一批零件，原计划50天完成。提高效率后，实际每天多加工了6个零件，40天完成任务。设原计划每天加工零件x个，根据等量关系“原计划加工零件总个数＝实际加工零件总个数”可以列出方程( )。这批零件的总个数是( )个。 【答案】 50x＝40×（x＋6） 1200 【分析】已知原计划每天加工零件x个，原计划50天完成，根据工作总量＝工作时间×工作效率，可得原计划加工零件总个数为50x个。实际每天多加工了6个零件，则实际每天加工（x＋6）个零件，实际40天完成任务，那么实际加工零件总个数为40×（x＋6）个。因为原计划加工零件总个数＝实际加工零件总个数，所以可列出方程：50x＝40×（x＋6）。解出方程，求出原计划每天加工零件个数，再乘50，即可求出这批零件的总个数。 【详解】由分析得： 50x＝40×（x＋6） 解：50x＝40x＋40×6 50x＝40x＋240 50x－40x＝40x－40x＋240 10x＝240 10x÷10＝240÷10 x＝24 24×50＝1200（个） 即设原计划每天加工零件x个，根据等量关系“原计划加工零件总个数＝实际加工零件总个数”可以列出方程50x ＝ 40×（x ＋ 6）。这批零件的总个数是1200个。 9．解方程。 9＋2＝1210         ÷4＝0.3         －（＋）＝ 【答案】＝110；＝1.2；＝ 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）先把方程化简成11＝1210，然后方程两边同时除以11，求出方程的解； （2）方程两边同时乘4，求出方程的解； （3）先计算括号里面的加法，把方程化简成－＝，然后方程两边同时加上，求出方程的解。 【详解】（1）9＋2＝1210 解：11＝1210 11÷11＝1210÷11 ＝110 （2）÷4＝0.3 解：÷4×4＝0.3×4 ＝1.2 （3）－（＋）＝ 解：－（＋）＝ －＝ －＋＝＋ ＝＋ ＝ 10．用方程表示下列数量关系，并求未知数的值。 一头野牛重约50千克，一头黄牛重约240千克，这头黄牛的体重是这头野牛的t倍。 【答案】4.8倍 【分析】一头野牛重约50千克，黄牛的体重是这头野牛的t倍，用野牛的重量×t＝黄牛的重量，列方程：50t＝240，解方程，即可解答。 【详解】50t＝240 解：50t÷50＝240÷50 t＝4.8 答：这头黄牛的体重是这头野牛的4.8倍。 11．大学生小李打算去广安游玩，某购票软件上显示，天意谷景区的成人票价是80元，比白坪一飞龙旅游区的成人票价的3倍还多5元。白坪一飞龙旅游区的成人票价是多少元？（列方程解答） 【答案】25元 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，设白坪一飞龙旅游区的成人票价是元，根据白坪一飞龙旅游区的成人票价×3＋5＝天意谷景区的成人票价，列出方程解答即可。 【详解】解：设白坪一飞龙旅游区的成人票价是元。 答：白坪一飞龙旅游区的成人票价是25元。 12．华蓥市五星桥是一座连接华蓥河两岸雄伟、古朴、典雅、别致的石拱桥。武胜嘉陵江大桥是一座公路大桥，长609米，它的长度比五星桥的9倍少3米。五星桥长多少米？（列方程解答） 【答案】68米 【分析】已知五星桥的9倍少3米就是武胜嘉陵江大桥的长度，则等量关系式为：五星桥的长度×9－3＝武胜嘉陵江大桥的长度，据此可设五星桥的长度为米，列出方程即可解答。 【详解】解：设五星桥长米。 9x－3＝609 9x－3＋3＝609＋3 9x＝612 9x÷9＝612÷9 x＝68 答：五星桥长68米。 13．玲玲一家端午节去邻水县游玩，返回时买了3箱蜜梨和2箱脐橙，一共用去198元。已知1箱脐橙的价格是45元，那么1箱蜜梨的价格是多少元？（用方程解答） 【答案】36元 【分析】根据“单价×数量＝总价”可得出等量关系：1箱蜜梨的价格×蜜梨的箱数＋1箱脐橙的价格×脐橙的箱数＝买蜜梨和脐橙一共用去的钱数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设1箱蜜梨的价格是元。 3＋45×2＝198 3＋90＝198 3＋90－90＝198－90 3＝108 3÷3＝108÷3 ＝36 答：1箱蜜梨的价格是36元。 14．甲乙两车同时从相距550千米的两地相对开出，甲车每时行90千米，出发2时后两车没有相遇过并且还相距150千米。乙车每时行多少千米？（用方程解答） 【答案】110千米 【分析】由题意可知：2小时两车行驶的路程和是550－150＝400（千米），设乙车每时行x千米，根据等量关系：“甲车2小时行驶的路程＋乙车2小时行驶的路程＝2小时两车行驶的路程和”列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每时行x千米。 90×2＋2x＝550－150 180＋2x＝400 180＋2x－180＝400－180 2x＝220 2x÷2＝220÷2 x＝110 答：乙车每小时行110千米。 15．全友家居现在要生产一批桌子和方凳，派出63名技术工人。每个工人平均每天能加工9张方凳或者6张桌子。为了供应市场，必须方凳的张数是桌子张数的2倍才能配成一套，才可以发货。怎么安排加工方凳和桌子的人数，既不造成浪费，又能满足供货？ 【答案】加工桌子：27人；加工方凳：36人 【分析】设有x名技术工人加工桌子，则（63－x）名技术工人加工方凳；每个工人平均每天加工6张桌子，x名技术工人加工6x张桌子；每个工人平均每天加工9张方凳，（63－x）名技术工人加工9×（63－x）张方凳；方凳的张数是桌子张数的2倍才能配成一套，即加工的桌子张数×2＝加工方凳的张数，列方程：6x×2＝9×（63－x），解方程，即可解答。 【详解】解：设有x名技术工人加工桌子，则（63－x）名技术工人加工方凳。 6x×2＝9×（63－x） 12x＝9×63－9x 12x＋9x＝567－9x＋9x 21x＝567 21x÷21＝567÷21 x＝27 加工方凳：63－27＝36（名） 答：有27名技术工人加工桌子，有36名技术工人加工方凳。 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