第六单元 平行四边形和梯形（期末知识清单）四年级数学下学期（西南大学版）

第六单元 平行四边形和梯形 期末复习知识清单 考点一、平行四边形的概念及特点 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.基本特征： (1)边：两组对边分别平行且相等。 (2)角：对角相等，邻角互补（和为180°）。 (3)高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高。 3.周长计算： (1)公式： （其中 、 为相邻两边的长度）。 (2)逆运算：已知周长和一条边长，求邻边长： 。 考点二、平行四边形的不稳定性及应用 1.特性：平行四边形具有不稳定性（易变形）。 (1)当平行四边形的四条边长度确定后，其形状并不唯一确定，可以拉伸或压缩改变角度。 2.变化规律：将长方形框架拉成平行四边形时，周长不变（四条边长度未变），但高变短，面积变小。 3.生活应用： (1)利用易变形特性：伸缩门、升降机、折叠衣架等。 (2)利用稳定性需求（对比）：三角形具有稳定性，常用于加固结构；平行四边形用于需要灵活变动的结构。 考点三、平行四边形的高及画法 1.高的定义： (1)高是顶点（或边上任意一点）到对边的垂直距离。 (2)平行四边形有两组不同的高，分别对应两组不同的底。 2.画高步骤： (1)找点：在指定底边的对边上任取一点（通常取顶点以便作图）。 (2)作垂线：用三角尺的直角边与底边重合，平移至所选点，沿另一条直角边画虚线。 (3)标符号：画出垂足符号（直角标记），并标注“高”。 3.注意事项： (1)高必须用虚线表示。 (2)高必须与对应的底垂直。 (3)若底边延长，高可能落在底边的延长线上（钝角平行四边形情况）。 考点四、梯形的概念及特点 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.各部分名称： (1)底：平行的一组对边叫做梯形的底。较短的底叫上底，较长的底叫下底。 (2)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 (3)高：从上底的一点向下底引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3.关键特征： (1)只有一组对边平行，另一组对边不平行。 (2)梯形有无数条高，且所有高的长度都相等（即两底之间的距离）。 4.图形拼接： (1)两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 (2)拼成的平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底；高 = 梯形的高。 考点五、梯形的高及画法 1.画高步骤： (1)定点：通常选择上底的一个顶点。 (2)作垂线：过该点向下底（或其延长线）作垂线。 (3)标识：画虚线，标直角符号，注明“高”。 2.特殊情况： (1)在直角梯形中，垂直于底边的腰本身就是梯形的一条高。 (2)梯形的高一定小于或等于腰的长度（直角梯形时相等，非直角梯形时高小于腰）。 考点六、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 1.直角梯形： (1)定义：有一个角是直角的梯形。 (2)特点： ①　有两个直角（相邻的两个角）。 ②　垂直于底边的腰即为梯形的高。 ③　另一条腰大于高。 2.等腰梯形： (1)定义：两腰相等的梯形。 (2)特点： ①　两腰长度相等。 ②　同一底上的两个底角相等。 ③　是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线。 ④　对角线相等。 3.辨析： (1)平行四边形不是轴对称图形（一般情况），等腰梯形是轴对称图形。 (2)长方形和正方形是特殊的平行四边形，也是轴对称图形。 考点七、数图形 1.数图形方法： (1)分类枚举法：按组成图形的基本单元数量分类（单个、两个组合、三个组合……）。 2.常见组合规律： (1)平行四边形中包含的平行四边形：注意观察由多个小平行四边形拼成的大平行四边形。 (2)梯形中包含的梯形：注意区分平行四边形和梯形，梯形要求“只有一组”对边平行。若一组对边平行，另一组也平行，则是平行四边形，不计入梯形。 (3)复合图形：在复杂图形中，先识别基本图形，再按顺序组合，避免重复和遗漏。 考点八、周期问题 1.概念：事物按照一定的规律重复出现，称为周期现象。 2.解题步骤： (1)找周期：观察图形或数字序列，确定循环节（一组有几个元素）。 (2)列算式： 。 (3)看余数： ①　余数是几，就是下一组的第几个元素。 ②　没有余数（整除），就是这一组的最后一个元素。 3.应用示例： (1)图形排列： 周期为3。 (2)第 个图形是什么？计算 的余数即可确定。 考点九、数与形（探索规律） 1.图形拼接中的周长规律： (1)等腰梯形拼接： ①　1个梯形：周长 = 上底+下底+2腰。 ②　2个梯形（拼成平行四边形）：周长减少2条公共腰（或公共边）。 ③　 个梯形拼接：每增加1个梯形，周长增加量固定（通常为“上底+下底”或特定边长组合，视拼接方式而定）。 ④　通用规律：若 个完全相同的等腰梯形依次横向拼接（腰重合）， 当 为奇数时，拼成大梯形； 当 为偶数时，拼成大平行四边形。 周长公式推导： （ 为每增加一个图形增加的净周长）。 2.点阵与图形层数规律： (1)三角形堆叠： ①　第1层：1个；第2层：4个（ ）；第3层：9个（ ）。 ②　规律： 层共有 个小三角形。 (2)其他图形：观察图形序号与数量、周长、面积之间的线性或平方关系，列出代数式表达。 3.解题策略： (1)列表法：列出前几个图形的数据，寻找差值规律。 (2)归纳法：从特殊到一般，总结出通项公式。 题型一、平行四边形的概念及特点 【例1】一个平行四边形的周长是30cm，其中一条边长是4cm，那么与它相邻的一条边长是( )cm。 【答案】11 【分析】根据平行四边形的特征可知，平行四边形对边相等，平行四边形的周长为相邻两条边之和乘2，结合题干所给条件已知其中一条边长为4cm，据此可以列算式30÷2－4。 【详解】30÷2－4 ＝15－4 ＝11（cm） 一个平行四边形的周长是30cm，其中一条边长是4cm，那么与它相邻的一条边长是11cm。 【练1】在下图中依次标出A（2，6）、B（5，6）、C（8，2）、D（5，2）。 顺次将各点连线，首尾相连之后的图形是（        ）。 【答案】作图见详解；平行四边形 【分析】用数对表示位置，第一个数表示列，第二个数表示行，依次标出各点，顺次将各点连线，图形符合平行四边形特征：两组对边分别平行且相等。 【详解】作图如下： 顺次将各点连线，首尾相连之后的图形是平行四边形。 题型二、平行四边形的不稳定性及应用 【例2】平行四边形具有（    ）的特性，在生活中具有广泛的应用。 A．稳定不变形 B．容易变形 C．平行 【答案】B 【详解】例如：推拉门就是利用平行四边形的易变形特征所做的。 平行四边形具有（容易变形）的特性，在生活中具有广泛的应用。 故答案为：B 【练2】将一个长方形框架拉成平行四边形，高变短了。( ) 【答案】√ 【分析】由于平行四边形的不稳定性，将一个长方形框架拉成平行四边形后，上下两条边之间的距离将减小，也就是说高将变小，据此解答。 【详解】根据解析可知，将一个长方形框架拉成平行四边形，高变短了，原题表达正确。 故答案为：√ 题型三、平行四边形的高及画法 【例3】按要求画一画。 画出平行四边形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】在指定底边的对边上面任意找一点向指定底边作垂线即可。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。据此画图。 【详解】画图如下： （答案不唯一） 【练3】画一画。（每一个小方格都表示边长为1厘米的正方形） （1）画一个底和高都是4厘米的平行四边形。 （2）画一个底是4厘米，高是3厘米的平行四边形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据平行四边形的特征，平行四形对边平行且相等，画两条距离为4厘米，且互相平行的线段（同一端的端点不在同一列），然后即可连接成底是4厘米，高是4厘米的平行四边形。 （2）根据平行四边形的特征，平行四形对边平行且相等，画两条距离为3厘米，长为4厘米，且互相平行的线段（同一端的端点不在同一列），然后即可连接成底是4厘米，高是3厘米的平行四边形。 【详解】画图如下： 题型四、梯形的概念及特点 【例4】一个梯形，只有（    ）组对边平行。 A．2 B．1 C．3 【答案】B 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。据此选择即可。 【详解】根据分析可知：一个梯形，只有1组对边平行。 故答案为：B 【练4】最少用（    ）个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】要确定最少用几个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形，需依据梯形和平行四边形的特征，梯形是只有一组对边平行，平行四边形是有两组对边分别平行，通过画图尝试拼接的方式来求解。 【详解】 如图所示，至少用2个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 故答案为：A 题型五、梯形的高及画法 【例5】画出下面每个梯形的一条高。 【答案】见详解 【分析】从梯形一底上一点，作另一底的垂线段即为梯形的一条高，据此即画图即可解答。 【详解】 【练5】如图由一个长方形和一个直角三角形组合而成，已知长方形的长为10厘米，宽为4厘米，那么阴影部分四边形是( )形，它的高是( )厘米。 【答案】 梯 4 【分析】已知长方形的两组对边分别平行且相等，三角形的三条边都不互相平行，只有一组对边互相平行的四边形叫作梯形；从图中可以看出，阴影部分只有一组对边互相平行，另一组对边不平行，所以阴影部分是梯形；它的高就是互相平行的两条底边之间的距离，也就是长方形的宽4厘米，所以它的高是4厘米。据此解答。 【详解】根据分析可知： 阴影部分四边形是梯形，它的高是4厘米。 题型六、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【例6】只有一组对边平行的四边形叫作( )；两腰相等的梯形叫作( )；有一个角是( )角的梯形叫作直角梯形。 【答案】 梯形 等腰梯形 直 【分析】这是关于梯形相关概念的题目，需要依据梯形、等腰梯形、直角梯形的定义来填空。 梯形的定义：根据四边形的分类及梯形的特征，只有一组对边平行的四边形就是梯形。 等腰梯形的定义：在梯形中，当两腰长度相等时，这样的梯形被称为等腰梯形。 直角梯形的定义：梯形中只要有一个角是直角（的角 ），这个梯形就是直角梯形。 【详解】梯形的定义：根据四边形的分类及梯形的特征，只有一组对边平行的四边形就是梯形，所以①处应填 “梯形” 。 等腰梯形的定义：在梯形中，当两腰长度相等时，这样的梯形被称为等腰梯形，所以②处应填 “等腰梯形” 。 直角梯形的定义：梯形中只要有一个角是直角（的角 ），这个梯形就是直角梯形，所以③处应填 “直” 。 【练6】一个等腰梯形的周长是29cm，上底是4cm，下底是9cm，它的一条腰是( )cm。 【答案】8 【分析】两腰相等的梯形叫做等腰梯形。因此用等腰梯形的周长减上底和下底的长度之和后，再除以2即可，依此计算。 【详解】4＋9＝13（cm） （29－13）÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 一个等腰梯形的周长是29cm，上底是4cm，下底是9cm，它的一条腰是8cm。 题型七、数图形 【例7】下图有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 6 8 【分析】2个图形组成的平行四边形有4个；4个图形组成的平行四边形有2个；共有4＋2＝6个平行四边形； 单独的梯形有4个；2个图形组成的梯形有1个；3个图形组成的梯形有2个；6个图形组成的梯形有1个；共有4＋1＋2＋1＝5＋2＋1＝7＋1＝8个梯形。 【详解】下图有（6）个平行四边形和（8）个梯形。 【练7】图①中有( )个直角三角形。图②中有( )个平行四边形，( )个梯形。     【答案】 3 1 2 【分析】直角三角形是指有一个角为直角（90°）的三角形，图①中有2个小直角三角形，这2个小直角三角形又组成1个大的直角三角形，所以共有3个直角三角形。平行四边形是两组对边分别平行的四边形，图②中最大的四边形就是平行四边形。梯形是只有一组对边平行的四边形，图②中的2个小四边形都是梯形。 【详解】图①中有3个直角三角形。图②中有1个平行四边形，2个梯形。 题型八、周期问题 【例8】，按这样的规律排列，第59个图形是（    ）。 A．△ B．◯ C．□ 【答案】B 【分析】观察图形排列，规律是△、○、□3个图形为一组重复循环，周期是3。用总位置数除以周期，结合余数定位图形即可。 【详解】，即19组完整循环后，第59个是下一组的第2个图形，对应○。 【练8】按的规律依次排列下去，第49个图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 观察图形可知，这组图形的排列规律是按照4个图形为一个循环周期，依次按照循环排列的，用49除以4，计算出第49个图形是第几个循环周期的第几个图形，依此解答即可。 【详解】49÷4＝12（个）……1（个） 第49个图形是第13个循环周期的第1个图形，是。 故答案为：A 题型九、数与形（探索规律） 【例9】一个等腰梯形的上底是1dm，下底是2dm，每条腰长是1dm，用5个这样的等腰梯形拼成下面的图形，周长是（    ）dm。 A．17 B．12 C．25 【答案】A 【分析】观察由五个等腰梯形拼成的图形，可以看到这个图形是一个大的等腰梯形，其上底和下底分别由小梯形的上底和下底组成。大梯形的上底为（1＋2＋1＋2＋1）dm；大梯形的下底为（2＋1＋2＋1＋2）dm；大梯形的两条腰仍然是小梯形的腰，每条腰长为1dm，据此列式计算出大梯形的周长。 【详解】上底：1＋2＋1＋2＋1＝7（dm） 下底：2＋1＋2＋1＋2＝8（dm） 周长：8＋7＋1＋1＝17（dm） 所以，用5个这样的等腰梯形拼成下面的图形，周长是17dm 故答案为：A 【练9】看图找规律。 第6个图形是( )形；10个等腰梯形拼出的图形的周长是( )。 【答案】 平行四边 32 【分析】根据题意，它们都是由等腰梯形拼成的。第一个图形是等腰梯形，第二个图形由两个等腰梯形拼成，是平行四边形。第三个图形由三个等腰梯形拼成，是等腰梯形⋯⋯当图中有奇数个梯形的时候，拼成的还是一个等腰梯形，当图中有偶数个梯形的时候，拼成的会是一个平行四边形。 根据观察，一个梯形的周长是5，每增加一个梯形，图形的周长就增加一对上底和下底，所以有几个等腰梯形，就有几对上底和下底，再加上两条为1的边，即可求出图形的周长。 【详解】根据分析，第6个图形是由6个等腰梯形拼成的，第6个图形是平行四边形。 10×（2＋1）＋1＋1 ＝10×3＋1＋1 ＝30＋1＋1 ＝31＋1 ＝32 所以，用10个等腰梯形拼出的图形周长是32。 1．一个平行四边形的周长是24cm，相邻的两条边中，一条边的长度是另一条边长度的3倍，这个平行四边形的一条短边是（    ）cm。 A．3 B．4 C．6 【答案】A 【分析】平行四边形特征：两组对边平行且相等，所以平行四边形的周长＝（长边＋短边）×2，先求出一条长边和一条短边长度之和＝周长÷2，再以一条短边为1份量，一条长边是这样的3份，总共是1＋3＝4（份），再用一条长边和一条短边长度之和除以4求出一条短边长度。 【详解】24÷2÷（1＋3） ＝12÷4 ＝3（cm） 这个平行四边形的一条短边是3cm。 故答案为：A 2．将一个活动的长方形木框，拉动它的对角可以得到不同的平行四边形。这些平行四边形的周长（    ）长方形的周长。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【分析】封闭图形一周的长度叫做图形的周长。把长方形木框拉成不同的平行四边形，四个边的长度不变，所以它的周长是不变的，据此解答即可。 【详解】将一个活动的长方形木框，拉动它的对角可以得到不同的平行四边形，不管形状怎么变，长方形和平行四边形的周长都等于四根直木条的长度和，所以这些平行四边形的周长等于长方形的周长。 故答案为：C 3．如图，在梯形ABCD中，如果点B沿BC所在的直线向右移动，与点C重合后停止运动，这个图形的变化过程正确的顺序是（    ）。 ①三角形  ②梯形  ③平行四边形  ④长方形 A．②③②① B．③②④① C．②①④③ D．④③④① 【答案】A 【分析】有一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形，在四边形ABCD中，AD平行BC，则原来的图形ABCD是梯形，点B沿BC所在直线慢慢向点C移动，则边BC越来越短，当BC和线段AD一样长，且BC平行AD，有两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；当线段AD大于线段BC时，此时是一个梯形；当点B和点C重合时，此时是一个三角形，据此选择即可。 【详解】根据分析可知， 在梯形ABCD中，如果点B沿BC所在的直线向右移动，与点C重合后停止运动，这个图形的变化过程正确的顺序是梯形→平行四边形→梯形→三角形。 故答案为：A 4．下面5个图形底边长度相等，将涂色正方形的边分别与其他4个图形的底边重合，重叠部分能形成梯形的有（    ）。 A．②① B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。然后依次分析正方形与其他四个图形底边重合时重叠部分的形状。 【详解】A．当正方形与图形①（长方形）底边重合时，重叠部分是一个正方形，正方形有两组对边平行，不符合梯形只有一组对边平行的定义，所以不能形成梯形。 B．当正方形与图形②（三角形）底边重合时，重叠部分是一个梯形，因为有一组对边平行（正方形与三角形重合边相对的边平行），另一组对边不平行。 C．当正方形与图形③（平行四边形）底边重合时，重叠部分是一个梯形，有一组对边平行，另一组对边不平行。 D．当正方形与图形④（梯形）底边重合时，重叠部分是一个梯形，有一组对边平行，另一组对边不平行。 将涂色正方形的边分别与其他4个图形的底边重合，重叠部分能形成梯形的有②③④。 故答案为：D 5．依次排下去，第49个图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】仔细观察图形的排列规律，发现是按4个图形为一组排列的，要知道第49个图形是什么，要用除法来计算，用49÷4＝12（组）1（个），共有12组图形，余1个图形，应该是一组的第一个图形。 【详解】根据分析可知： 49÷4＝12（组）1（个） 依次排下去，第49个图形是。 故答案为：A 6．平行四边形和等腰梯形都有无数条高，都是轴对称图形。( ) 【答案】× 【分析】平行四边形对边是平行的，边上任意一点到对边的距离就是平行四边形的高，因为边上有无数个点，所以平行四边形有无数条高。 等腰梯形两底之间的距离就是它的高，由于两底是平行的，所以在两底之间可以作无数条垂线段，即等腰梯形有无数条高。 一般的平行四边形无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以一般平行四边形不是轴对称图形； 等腰梯形沿着两底中点所在的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以等腰梯形是轴对称图形。 【详解】根据分析可知，平行四边形和等腰梯形都有无数条高，等腰梯形是轴对称图形，但一般平行四边形不是轴对称图形。题干说法错误。 故答案为：× 7．平行四边形能分成两个梯形，两个梯形也一定能拼成平行四边形。( ) 【答案】× 【分析】平行四边形能分成两个梯形，只有完全一样的两个梯形才能拼成一个平行四边形；据此解答。 【详解】根据分析如图： 所以平行四边形能分成两个梯形，两个梯形不一定能拼成平行四边形。原题说法错误。 故答案为：× 8．想一想，填一填。（填序号） 梯形有( )，等腰梯形有( )，直角梯形有( )。 【答案】 ①③④⑤ ③④ ⑤ 【分析】梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，等腰梯形的两个底角相等 。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 。 【详解】图形①：一组对边平行，另一组对边不平行，符合梯形定义，是梯形。 图形②：两组对边都不平行，不是梯形。 图形③：一组对边平行，另一组对边不平行，符合梯形定义，是梯形。 图形④：一组对边平行，另一组对边不平行，符合梯形定义，是梯形。 图形⑤：一组对边平行，另一组对边不平行，符合梯形定义，是梯形。 所以梯形有①③④⑤； 图形①：两腰不相等，不是等腰梯形。 图形③：两腰相等，符合等腰梯形定义，是等腰梯形。 图形④：两腰相等，符合等腰梯形定义，是等腰梯形。 图形⑤：两腰不相等，不是等腰梯形。 所以等腰梯形是③④ ； 图形⑤：有一个角是直角，符合直角梯形定义，是直角梯形。 图形①③④：没有直角，不是直角梯形。 所以直角梯形是⑤ 。 9．如图，将一个长方形对折后，沿虚线剪开，去掉阴影部分后，剩下的部分打开就得到一个( )梯形。 【答案】等腰 【分析】根据题意，对折后剪出的图形是轴对称图形，折痕所在的直线是对称轴。长方形对折后，折痕两侧的部分完全重合，沿虚线剪开去掉阴影部分，展开后得到的梯形两腰是由长方形对折后对应的边构成，这两条边长度相等。根据等腰梯形的定义：两腰相等的梯形是等腰梯形，由于展开后梯形的两腰长度相等，所以是等腰梯形。 【详解】将一个长方形对折后，沿虚线剪开，去掉阴影部分后，剩下的部分打开就得到一个等腰梯形。 10．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 【答案】 6 2 3 9 【分析】根据学过的图形的特点，依次数出各个图形的个数。有一个角是直角的三角形是直角三角形；两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形；长方形的两组对边互相平行，且两组对边分别相等，4个角都是直角；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 【详解】 如图：，直角三角形有6个，分别是图形①、②、③、④、⑤、⑥。平行四边形有2个，分别是①和②、⑤和⑥拼成的平行四边形。 长方形有3个，分别是②和③、④和⑤、②③④⑤拼成的长方形。 梯形有9个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、①②③④、③④⑤⑥、①②③④⑤、②③④⑤⑥以及①②③④⑤⑥拼成的梯形。 直角三角形有6个，平行四边形有2个，长方形有3个，梯形有9个。 【点睛】熟记三角形、长方形、平行四边形和梯形的特征是解题关键。 11．等腰梯形的一条腰长35厘米，上底长13厘米，下底长47厘米，它的周长是( )厘米。如果把其中的一条底边增长后变成平行四边形，该平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】 130 164 【分析】等腰梯形的周长等于上底加下底加两条腰长；平行四边形的对边相等，把上底增长，增长后上底的长度等于下底的长度47厘米，此时平行四边形的相邻两边分别为47厘米和35厘米。平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍。先根据等腰梯形的周长公式求出其周长，再计算变化后的平行四边形周长。 【详解】13＋47＋35×2 ＝13＋47＋70 ＝60＋70 ＝130（厘米） （47＋35）×2 ＝82×2 ＝164（厘米） 等腰梯形的一条腰长35厘米，上底长13厘米，下底长47厘米，它的周长是130厘米。如果把其中的一条底边增长后变成平行四边形，该平行四边形的周长是164厘米。 12．用△搭大三角形（如图）搭8层共需要( )个△，用400个这样的△可以搭( )层。 【答案】 64 20 【分析】通过观察图形的结构特点以及所给数据之间的联系，找到规律，即随着层数的增加，所用的△的数量是层数乘层数的积，据此作答。 【详解】根据图可知，搭1层，用1×1＝1（个）△，搭2层，用2×2＝4（个）△，搭3层，用3×3＝9（个）△，搭8层，用8×8＝64（个）△，因为20×20＝400，所以用400个△搭了20层。 所以，用△搭大三角形（如图）搭8层共需要64个△，用400个这样的△可以搭20层。 13．按要求画图：在下面的方格图中画一个平行四边形，并以其中一条边为底，作底边上的高。 【答案】图见详解；（答案不唯一） 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。据此作图。 【详解】据以上分析作图。（答案不唯一） 14．根据下面的要求，在方格纸中作图。 （1）在方格纸中画一个等腰梯形； （2）把这个等腰梯形分割成一个平行四边形和两个完全一样的三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）等腰梯形的两条腰相等，一组对边平行，据此画出一个等腰梯形。（2）要将等腰梯形分割成一个平行四边形和两个完全相同的三角形，则过梯形上底的一顶点作腰的平行线，将等腰梯形分成一个平行四边形和一个等腰三角形，再过这个顶点作下底的垂线，即可把等腰三角形分成两个完全相同的三角形。 【详解】（1）（2）如下图： 15．今年的“六一”儿童节，欢欢和乐乐一起去参加军事夏令营活动，活动场地是由两个相同的梯形场地和两个相同的平行四边形场地组成的（如下图）。 （1）如果教官要求每人从集合点A出发绕活动场地跑两圈，每个人要跑多远的距离？ （2）如果教官要求欢欢和乐乐从集合点A出发，两人朝相反的方向绕活动场地跑步，他俩多长的时间就能第一次遇上？（欢欢的速度是4米/秒，乐乐的速度是6米/秒） 【答案】（1）1000米 （2）50秒 【分析】（1）由题意得，梯形的上底的长度是30米，下底的长度是60米，腰的长度是40米，平行四边形的一条边的长度是60米。教官要求每人从集合点A出发绕活动场地跑两圈，可以先把活动场地的最外边的每条边的长度加起来算出活动场地的周长，然后再乘上2即可算出每个人要跑多远的距离。 （2）由题意得，欢欢的速度是4米/秒，乐乐的速度是6米/秒，可以先用加法算出两人的速度和。由（1）可得活动场地的周长，直接用活动场地的周长除以两人的速度之和即可算出欢欢和乐乐经过多长的时间就能第一次遇上。 【详解】（1）30＋60＋60＋60＋40＋60＋30＋60＋60＋40＝500（米） 500×2＝1000（米） 答：每个人要跑1000米的距离。 （2）4＋6＝10（米/秒） 500÷10＝50（秒） 答：欢欢和乐乐经过50秒就能第一次遇上。 16．看图找规律。（单位：cm） 等腰梯形个数 1 2 3 4 5 拼出图形的周长 5 8 11 拼出的图形 梯形 平行四边形 梯形 （1）看图完成上面的统计表，再写出等腰梯形的个数与所拼出的图形的周长有什么关系？ （2）9个等腰梯形拼出的图形的周长是多少厘米？ 【答案】（1）图形的周长＝5＋（梯形个数－1）×3 （2）29厘米 【分析】通过动手拼一拼可知，单数个梯形拼出的是一个大梯形，双数个梯形拼出的是一个平行四边形，看图可知第一个梯形的周长是5，以后每多1个梯形，所拼成的图形的周长就增加3，5＋3＝8，8＋3＝11，11＋3＝14，所以4个梯形拼成的是－个平行四边形，它的周长是11＋3＝14，5个梯形拼成的是个梯形，它的周长是14＋3＝17，据此依此类推。 【详解】（1）填表如下： 等腰梯形个数 1 2 3 4 5 拼出图形的周长 5 8 11 14 17 拼出的图形 梯形 平行四边形 梯形 平行四边形 梯形 图形的周长＝5＋（梯形个数－1）×3。 （2）当梯形个数为9时 5＋（9－1）×3 ＝5＋8×3 ＝5＋24 ＝29（厘米） 答：9个等腰梯形拼出的图形的周长是29厘米。 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 平行四边形和梯形 期末复习知识清单 考点一、平行四边形的概念及特点 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.基本特征： (1)边：两组对边分别平行且相等。 (2)角：对角相等，邻角互补（和为180°）。 (3)高：从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高。 3.周长计算： (1)公式： （其中 、 为相邻两边的长度）。 (2)逆运算：已知周长和一条边长，求邻边长： 。 考点二、平行四边形的不稳定性及应用 1.特性：平行四边形具有不稳定性（易变形）。 (1)当平行四边形的四条边长度确定后，其形状并不唯一确定，可以拉伸或压缩改变角度。 2.变化规律：将长方形框架拉成平行四边形时，周长不变（四条边长度未变），但高变短，面积变小。 3.生活应用： (1)利用易变形特性：伸缩门、升降机、折叠衣架等。 (2)利用稳定性需求（对比）：三角形具有稳定性，常用于加固结构；平行四边形用于需要灵活变动的结构。 考点三、平行四边形的高及画法 1.高的定义： (1)高是顶点（或边上任意一点）到对边的垂直距离。 (2)平行四边形有两组不同的高，分别对应两组不同的底。 2.画高步骤： (1)找点：在指定底边的对边上任取一点（通常取顶点以便作图）。 (2)作垂线：用三角尺的直角边与底边重合，平移至所选点，沿另一条直角边画虚线。 (3)标符号：画出垂足符号（直角标记），并标注“高”。 3.注意事项： (1)高必须用虚线表示。 (2)高必须与对应的底垂直。 (3)若底边延长，高可能落在底边的延长线上（钝角平行四边形情况）。 考点四、梯形的概念及特点 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.各部分名称： (1)底：平行的一组对边叫做梯形的底。较短的底叫上底，较长的底叫下底。 (2)腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰。 (3)高：从上底的一点向下底引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 3.关键特征： (1)只有一组对边平行，另一组对边不平行。 (2)梯形有无数条高，且所有高的长度都相等（即两底之间的距离）。 4.图形拼接： (1)两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 (2)拼成的平行四边形的底 = 梯形的上底 + 下底；高 = 梯形的高。 考点五、梯形的高及画法 1.画高步骤： (1)定点：通常选择上底的一个顶点。 (2)作垂线：过该点向下底（或其延长线）作垂线。 (3)标识：画虚线，标直角符号，注明“高”。 2.特殊情况： (1)在直角梯形中，垂直于底边的腰本身就是梯形的一条高。 (2)梯形的高一定小于或等于腰的长度（直角梯形时相等，非直角梯形时高小于腰）。 考点六、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 1.直角梯形： (1)定义：有一个角是直角的梯形。 (2)特点： ①　有两个直角（相邻的两个角）。 ②　垂直于底边的腰即为梯形的高。 ③　另一条腰大于高。 2.等腰梯形： (1)定义：两腰相等的梯形。 (2)特点： ①　两腰长度相等。 ②　同一底上的两个底角相等。 ③　是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线。 ④　对角线相等。 3.辨析： (1)平行四边形不是轴对称图形（一般情况），等腰梯形是轴对称图形。 (2)长方形和正方形是特殊的平行四边形，也是轴对称图形。 考点七、数图形 1.数图形方法： (1)分类枚举法：按组成图形的基本单元数量分类（单个、两个组合、三个组合……）。 2.常见组合规律： (1)平行四边形中包含的平行四边形：注意观察由多个小平行四边形拼成的大平行四边形。 (2)梯形中包含的梯形：注意区分平行四边形和梯形，梯形要求“只有一组”对边平行。若一组对边平行，另一组也平行，则是平行四边形，不计入梯形。 (3)复合图形：在复杂图形中，先识别基本图形，再按顺序组合，避免重复和遗漏。 考点八、周期问题 1.概念：事物按照一定的规律重复出现，称为周期现象。 2.解题步骤： (1)找周期：观察图形或数字序列，确定循环节（一组有几个元素）。 (2)列算式： 。 (3)看余数： ①　余数是几，就是下一组的第几个元素。 ②　没有余数（整除），就是这一组的最后一个元素。 3.应用示例： (1)图形排列： 周期为3。 (2)第 个图形是什么？计算 的余数即可确定。 考点九、数与形（探索规律） 1.图形拼接中的周长规律： (1)等腰梯形拼接： ①　1个梯形：周长 = 上底+下底+2腰。 ②　2个梯形（拼成平行四边形）：周长减少2条公共腰（或公共边）。 ③　 个梯形拼接：每增加1个梯形，周长增加量固定（通常为“上底+下底”或特定边长组合，视拼接方式而定）。 ④　通用规律：若 个完全相同的等腰梯形依次横向拼接（腰重合）， 当 为奇数时，拼成大梯形； 当 为偶数时，拼成大平行四边形。 周长公式推导： （ 为每增加一个图形增加的净周长）。 2.点阵与图形层数规律： (1)三角形堆叠： ①　第1层：1个；第2层：4个（ ）；第3层：9个（ ）。 ②　规律： 层共有 个小三角形。 (2)其他图形：观察图形序号与数量、周长、面积之间的线性或平方关系，列出代数式表达。 3.解题策略： (1)列表法：列出前几个图形的数据，寻找差值规律。 (2)归纳法：从特殊到一般，总结出通项公式。 题型一、平行四边形的概念及特点 【例1】一个平行四边形的周长是30cm，其中一条边长是4cm，那么与它相邻的一条边长是( )cm。 【练1】在下图中依次标出A（2，6）、B（5，6）、C（8，2）、D（5，2）。 顺次将各点连线，首尾相连之后的图形是（        ）。 题型二、平行四边形的不稳定性及应用 【例2】平行四边形具有（    ）的特性，在生活中具有广泛的应用。 A．稳定不变形 B．容易变形 C．平行 【练2】将一个长方形框架拉成平行四边形，高变短了。( ) 题型三、平行四边形的高及画法 【例3】按要求画一画。 画出平行四边形指定底边上的高。 【练3】画一画。（每一个小方格都表示边长为1厘米的正方形） （1）画一个底和高都是4厘米的平行四边形。 （2）画一个底是4厘米，高是3厘米的平行四边形。 题型四、梯形的概念及特点 【例4】一个梯形，只有（    ）组对边平行。 A．2 B．1 C．3 【练4】最少用（    ）个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 A．2 B．3 C．4 题型五、梯形的高及画法 【例5】画出下面每个梯形的一条高。 【练5】如图由一个长方形和一个直角三角形组合而成，已知长方形的长为10厘米，宽为4厘米，那么阴影部分四边形是( )形，它的高是( )厘米。 题型六、直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【例6】只有一组对边平行的四边形叫作( )；两腰相等的梯形叫作( )；有一个角是( )角的梯形叫作直角梯形。 【练6】一个等腰梯形的周长是29cm，上底是4cm，下底是9cm，它的一条腰是( )cm。 题型七、数图形 【例7】下图有( )个平行四边形和( )个梯形。 【练7】图①中有( )个直角三角形。图②中有( )个平行四边形，( )个梯形。     题型八、周期问题 【例8】，按这样的规律排列，第59个图形是（    ）。 A．△ B．◯ C．□ 【练8】按的规律依次排列下去，第49个图形是（    ）。 A． B． C． D． 题型九、数与形（探索规律） 【例9】一个等腰梯形的上底是1dm，下底是2dm，每条腰长是1dm，用5个这样的等腰梯形拼成下面的图形，周长是（    ）dm。 A．17 B．12 C．25 【练9】看图找规律。 第6个图形是( )形；10个等腰梯形拼出的图形的周长是( )。 1．一个平行四边形的周长是24cm，相邻的两条边中，一条边的长度是另一条边长度的3倍，这个平行四边形的一条短边是（    ）cm。 A．3 B．4 C．6 2．将一个活动的长方形木框，拉动它的对角可以得到不同的平行四边形。这些平行四边形的周长（    ）长方形的周长。 A．大于 B．小于 C．等于 3．如图，在梯形ABCD中，如果点B沿BC所在的直线向右移动，与点C重合后停止运动，这个图形的变化过程正确的顺序是（    ）。 ①三角形  ②梯形  ③平行四边形  ④长方形 A．②③②① B．③②④① C．②①④③ D．④③④① 4．下面5个图形底边长度相等，将涂色正方形的边分别与其他4个图形的底边重合，重叠部分能形成梯形的有（    ）。 A．②① B．③④ C．①②③ D．②③④ 5．依次排下去，第49个图形是（    ）。 A． B． C． D． 6．平行四边形和等腰梯形都有无数条高，都是轴对称图形。( ) 7．平行四边形能分成两个梯形，两个梯形也一定能拼成平行四边形。( ) 8．想一想，填一填。（填序号） 梯形有( )，等腰梯形有( )，直角梯形有( )。 9．如图，将一个长方形对折后，沿虚线剪开，去掉阴影部分后，剩下的部分打开就得到一个( )梯形。 10．找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 11．等腰梯形的一条腰长35厘米，上底长13厘米，下底长47厘米，它的周长是( )厘米。如果把其中的一条底边增长后变成平行四边形，该平行四边形的周长是( )厘米。 12．用△搭大三角形（如图）搭8层共需要( )个△，用400个这样的△可以搭( )层。 13．按要求画图：在下面的方格图中画一个平行四边形，并以其中一条边为底，作底边上的高。 14．根据下面的要求，在方格纸中作图。 （1）在方格纸中画一个等腰梯形； （2）把这个等腰梯形分割成一个平行四边形和两个完全一样的三角形。 15．今年的“六一”儿童节，欢欢和乐乐一起去参加军事夏令营活动，活动场地是由两个相同的梯形场地和两个相同的平行四边形场地组成的（如下图）。 （1）如果教官要求每人从集合点A出发绕活动场地跑两圈，每个人要跑多远的距离？ （2）如果教官要求欢欢和乐乐从集合点A出发，两人朝相反的方向绕活动场地跑步，他俩多长的时间就能第一次遇上？（欢欢的速度是4米/秒，乐乐的速度是6米/秒） 16．看图找规律。（单位：cm） 等腰梯形个数 1 2 3 4 5 拼出图形的周长 5 8 11 拼出的图形 梯形 平行四边形 梯形 （1）看图完成上面的统计表，再写出等腰梯形的个数与所拼出的图形的周长有什么关系？ （2）9个等腰梯形拼出的图形的周长是多少厘米？ 第 2 页 共 18 页 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $