山东青岛第九中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

青岛九中2025~2026学年第二学期期中高一质量检测（数学）试题 参考公式：台体体积公式VS+S+S)h,(S,S分别为上下底面积，h为高) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若复数z满足(1-21)z=4-3i,则z的虚部为（) A.2 _B.1 C.i D.2i 2.设xy∈R向量a=(x,1),b=4,y,c=(2,4),且a⊥c,b1,则x+y=() A.0 B.1 C.2 D.3 3.给出下列四个命题： ①若平面a∥平面B,直线aca,直线bcB,则alb; ②若直线al∥直线b,直线al∥平面a,直线b∥平面B,则alB; ⑧若平面a∥平面B,直线aca,则aI1B; ④若直线a∥平面a,平面a∥平面B,则a/1B.1 其中真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知圆台的上、下底面半径分别为1,2，体积为7π，则该圆台外接球的体积为(） A.20元 B.205 c. 20W5 D.25 3 5.如图，在正方体ABCD-ABGD中，M,N,P分别是CD,BC,AD的 中点，则下列说法不正确的是() A.直线BD与NM是异面直线 B.P∥AC C.CMII平面BB,D,D D.直线CP,BD,AM相交于一点 6.在△4BC中，A=30°，AB=2,且△ABC的面积为√万：则ABC外接圆的半径为() A.25 B.43 C.2 D.4 3 3 7.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”柱子在各个时期既有延续与继承，又 有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等某凉亭 的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为ABC-AB,C, 高一数学第1页共4页 其底面边长是3，侧棱长是12W5,M为A,C的中点，N是侧面BCCB上一点， 且MN∥平面ABC,则点N的轨迹长为() A、27 B号 C.12 D.6 人.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点0且三组对边 分别平行，点A,B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星” 上（内部以及边界），则OB.P的取值范围是() a[ c.[「-5,5 D.[-25] 图1六芒星 图2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. ).如图，向量OZ,OZ,对应的复数分别为马，22，则下列选项正确的是 A.Z1,Z2间的距离为2√0 B. 为纯虚数 2, C.32在复平面内对应的点位于第一象限 D.若12非5，则2-z=35 l0.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,sinAsinBsinC= ,且△MBC的面积为1，则下列命 题正确的是 A.△ABC的外接圆半径为1 B.gbc=4 C.b2+c224 D.△ABC可能为钝角三角形 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点M在线段BC(不包含端点)上，则下列结论正确 的是（1 D A.三棱锥D一AMC的体积随着点M的运动而变化 B.异面直线4M与AD所成角的取值范围是（管引 C.直线AM∥平面ACD D.三棱锥M-ACD,的外接球表面积的最小值为 3 高一数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知非零向量a,方满足（位+b)1a,且a在向量万方向上的投影向量为-二6， 则a,b的夹角为 13.如图，在圆锥P0中，P0=4,B,C为圆0上的点，且OB=2,∠B0C=,若D为 3 PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为 14.如图，在AMBC中，∠BAC-于而-2D丽，P为cD上-点，且满足 亚=C+B,若△4BC的面积为5，则的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图所示，直三棱柱ABC-AB,C的底面是边长为2的正三角形，点E,F分别是棱CC,BB上的点， 点M是线段AC的中点，EC=2FB=2. (I)求证BM/平面AEF;(2)若CE=BF,求多面体AEF-AB,C的体积 16.如图，四边形8CD中，∠DB=∠DCB=受B=3,BC=2, 5Mc=35且∠ABC为锐角. 2 (I)求DB;(2)求△ACD的面积 高一数学第3页共4页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC,BD交于点O,点E是棱PB上的一点， 且PD∥平面EAC. (1)求证：点E是PB的中点： (2)在棱BC上是否存在点G,使得平面EOGI∥平面PCD?若存在， 请加以证明，并写出 的值：若不存在，请说明理由。 BC G 18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin B-csinC+(a-a)im4=0. (1)求角B; (2)如图，∠ABC的角平分线交AC于点D,且a=3,c=4, (i)求BD的长度； D (ii)若AB边上的中线CE与BD相交于点F,求∠DFE的余弦值. 19.人工智能和大模型的领域内，.文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度， 就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度.非零向量，)之间的相似度的一种定义为 网器 (I)菱形ABCD中，∠BAD=60°，点P在直线CD上.若AP⊥AD,求L(AB,BP: (2)在信息处理的过程中，有时为了增加a,b的相似度，会选取合适的正实数入，4，调整为 u=a+,v三4a+石后再纳入模型计算. (i)对于任意不共线的向量a,,证明：La,b)<L,): ()设日=同=1，夹角9为锐角.若元+“=2，且u≠v,讨论2L(亿)和c0s0+1的大小关系， 并说明理由 ® 高一数学第4页共4页 青岛九中2025~2026学年第二学期期中高一质量检测（数学）参考答案 题号 3 6 7 8 9 10 11 答案 B 1 C C B A ABD ABC BC 4-3引(4-3i)(1+2i)_10+5i 1.B【详解】由(1-2i)z=4-3i,可得z= =2+i,所以z的虚部为1. 1-2i(1-2i)0+2i)5 x=2 2.A【详解】因为ā⊥c:所以2x-4=0因为b11c,所以4-2y=0所以 y=-2 :所以x+y=0 3.A【详解】对于①，若平面a∥平面B,直线aca,直线bcB,则直线a与直线b无公共点， 故直线a与直线b平行或异面，①错： 对于②，若直线a∥直线b,直线al∥平面a,直线b∥平面B,则平面a、B平行或相交，②错： 对于③，若平面a∥平面B,直线aca,则a11B,③对： 对于④，若直线al∥平面a,平面a∥平面B,则a11B或acB,④错 4.C【详解】设该圆台的上、下底面的圆心分别为O,O,高为h,则圆台的体积为 V=写xhx红x1+×2+RxPx元x2）=7不，求解可得h=3, 设该圆台外接球的球心为E,则E在O,O2上，设EO2=x,所以EO=3-x, x2+22=R2 设该圆台外接球的半径为R,所以 3-x)2+12=R’求解可得R=5, 所以该圆台外接球的体积为45-205 5.C【详解】连接BC,DA,点B,D,M均在平面BCDA上，点N不 在平面BCD,A上，所以BD与NM是异面直线，A正确. 连接AC,因为MP∥A,C,A,C,∥AC,所以MP∥AC,B正确. CMc平面CC,D,D,平面CC,D,D∩平面BB,D,D=DD,因为CM与DD不 平行，所以CM不平行于平面BB,D,D,C错误. 高-一靴丛体 连接AP,由MPIIAC,知M,P,A,C共面，且 B 平面MPAC∩平面BB,D,D=EF, 如图1，因为出了DF=FB,所以所小 HF 2 D 如图2，因为PE=EM,AF=FC,所以= 2 图1 图2 则H,I两点重合，所以CP,BD,AM相交于一点，D正确 6.C【详解】由题意，S=)AB4Csi如A=)x2x4C=5,解得AC=25, 2 22 由余弦定理得：BC=4+12-2×2×25x54,故BC=2, 2 设△MBC外接圆的半径为R,由正弦定理得：2R=BC4,板R=2 sin A 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了正弦定理和余弦定理的运用，考查了计第能力，属于基 础题， 7.B【详解】分别取CB,BB的中点P,Q,连接MP,PO.因为MPIIAB,AB,IIAB, 所以MPI/AB,MPa平面ABC,,ABC平面ABC, 所以MP11平面ABC.又P2I1CB,PQ文平面ABC,C,Bc平南ABC,. 所以PQII平面ABC,MPnP2=P,MP,P2c平面MP2,所以平面MP2II平面ABC, 所以当点N在线段P2上运动时，有MNI1平面ABC, 所以点加的轨迹长为C8+2可-习旅B正流 】 8.A【详解】如图，以O为原点，OB,OA分别为xy轴建立平面直角坐 标系，因为六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行，所以六边形RCDEFG为边长为号的正六边形， 0A-号5，所以o8-子所以40子可后0设k,川，则 示-(y+号]o丽-仔0所以O8和-子，因为动点P在大亡星上《（内部以及边界. 所以-1≤1，所以-号号号，所以-号丽s号 33 3 室1而.共4而 9.ABD【详解】由图知Z,(-2,4),Z,(4,-2),则1ZZ,上V-2+4)2+4+2)2=4+36=20，A对， 由题意石=-2+有，3，=4-21，则5=2+--2-0-22-11为纯虚数，B对， z24-2i2+i(2+i)(2-i)5 2=(-2+4)(4-2=41-2i)(2+i)=4(4-31)=16-12i,对应点坐标为06，-12)不在第-象限，C错， 令z=x+yi,(x,y∈R),|z=√5，则x2+y2=5,即圆心为原点且半径为5， 而2-z=Vx+2)2+0-4表示点(-2,4)到圆x2+y2=5上的点的距离， 由点(-2,4)到圆心的距离为V0+2+(0-42=25, 所以点(-2,4到圆x2+y=5上的点的距离最大值为35，即2-2a=35,D对 I0.ABC【详解】A:设△ABC的外接圆半径为R, 因为△8c的面积为Sac方ein方n46nsnC2分分4Re1,所以R=1.故A正辞 B:由 b =2,即abc=2'sinAsinBsinC=8×二=4，B选项正确： sinA sinB sinC 2 C:由S.sc=bcsin4=1≤)bc,则bc22,当sin4=1时取bc=2, 2 2 所以62+c2≥2bc≥4，当且仅当b=c=√2且sinA=1时取等号，C选项正确： D:若AABC为能角三角形，设A为钝角，c0sA=c+-口<0，即得c2+6<a, 2bc 由C选项知6+e224,所以a2>4,即a>2, 又因为a=2,所以a-2siM≤2，所以与a>2矛盾，假设不成立， sinA 同理B,C也不可能为钝角，D选项错误 D 1I上：BC【详解】对于A选项，因为BC,∥AD,所以BC∥平面ACD, 所以ya-wc=V:-4cn,为定值，即A错误： A 对于B选项，因为△ABC为正三角形，AM与BC所成角的范围为 (仔引，印B正确： B 对于C选项，易知，AG‖AC,AD,∥BC,AC,CBC,=C,AC∩AD,=A 则平面ABC∥平面ACD,可知AMC平面ABC,A,M∥平面ACD,即C正确： 对于D选项， 此时设△ACD,的中心为P,△ABC的中心为Q,BC,的中点为T, 则P4=26 P=25,Qr=5,则易知 3 3 <PA,所以最小球即为以P为球心，半径 R-PA-2V6 来面积S=4R咨，即D错误 12. 【详解】因为(a+)1a,所以(a+b)a=a+a-6=0,即 5:-,因为在6方向上的板影向量为5，所以行 4 聚立a6=-,可5=2，所以o()品同词方又四 ab -1 为a,6)e0,,所以(a,5）-2.所以a,方的夹角为 F D 13.y35【详解】如图，取CO的中点G,取P0的中点F,连接 70 B BG,E,DF,DG,则DGP0,且DG=P0=2.EFPB,则∠DEF就是异面直 线DE与PB所成的角或其补角，易知PO⊥平面BOC,所以DG⊥平面BOC, 所以Dc1GE因为∠B0C-行0G=0E-08=1所以GE-20Gsn号-2x1x9-5所以由勾股 定理得DE=DG2+GR2=2+(5)=万，又 EF-PB-Po+0-f+75.Dr-=c0=1, 2 所以在△DEF中，由余弦定理得cos∠DEF (+(5-1_11w3s 2×V7×V5 70 故异面直线DE与P8所成角的余弦值为W厨 70 14. 5【详解】由S.xc=sin∠BAC=5,可得到C4,所以 ,C=Cos∠BAC=2.由而=2D5可得D-名丽.因为P为CD上一点，所以设 3 DP=DC(0s1s1),则 和-而+丽-号丽+0c-号孤+a(c-而列=AC+号丽-而=C+号孤-号丽 2 (2=m = =c+行丽因为亚=m元+孤，所以任名=}解得 所以不-c+号， 33 2 m=- 4 所以 网-传c+c+栖c西网+2x网+ (当且仅当 -五，即2点.网-近时等号底立)所可的最小意是 2 A4C=4 15.(1)证明见解析：(2)25.【详解】(1)取AE的中点O,连接OF,OM, 由O,M分别为E,AC的中点，得OMICE,OM=2EC, 而BFIICE,且EC=2FB=2,则OMIIFB,且OM=FB, 四边形OMBF为平行四边形，BMIIOF,又BM:平面AEF, OFC平面AEF,所以BMI平面AEF (2)在棱柱ABC-4BG中，取BC中点G,连接AG,则AG为四棱锥 A-BCBF的高而4G=5,S0w=20生2=3，四棱锥A-BCEF的体积号0m4G=V5, 2 由CE=BF,得CC=3, 三楼柱AC-AG的体积影aGA=5a心CG=5B:CG-35 所以多面体AEF-A8,G的体积为VC-5-=25. 16.02a号【详特】由已知Suc8Ca∠Ac9 3 ∴sm∠1Bc- 2 :∠4BC是锐角，∠MBC-骨由余弦定理可得AC=A2+BC-2 B-BCco∠ABC=7,则 高一数学1 4C=V万.：∠DAB=∠DCB=2,∴BD是四边形ABCD外接圆的直径， 六BD是△ABC外接圆的直径，利用正弦定理知BD=4C=万x2-2 ∠ABC √33 (2)由∠DaB=∠DCB=5,BD=2万，A8=3,BC=2.则AD= 2 3 3,CD=45 3 又c-子则4c-晉，因AD-CD.in ADC-安1道，荟 233 、23 故△ACD的面积为 3 17.(1)证明见解析(2)点G为棱BC的中点时，平面EOG∥平面PCD, BG1 BC 2 【详解】(1)因为PDW平面EAC,平面EAC∩平面PBD=EO,又PDC平面PBD,所以PDIIEO, 因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是BD的中点，则点E是PB的中点： (2)当点G为棱BC的中点时，平面EOG∥平面PCD,理由如下： 若平面EOG∥平面PCD,由于PCc平面PCD,所以PC∥平面EOG, 又平面EOG∩平面PBC=EG,则PCIIEG,又点E是PB的中点，所以点G是BC的中点， BG 1 故点G为棱BC的中点时，平面EOG∥平面PCD,则 BC 2 18.四8=025，m回 14 【详解】(1)在△ABC中，由bsin B-csinC+(c-a)sinA=0及正弦定理，得b2-c2+(c-a)a=0, 即a+心-公=0c,由余弦定理得cosB-+C-公=g-与面0<B<元，所以B-育 2ac 2ac 2 (2)(i)已知∠ABC的角平分线交AC于点D,则∠ABD=∠CBD= 6 又在△MBC中，Sc=,uo+cao,即时esnB=c8D-sin乙ABD+0BD-sn∠CD, 即×349-4D片8D宁架得8D2明 22 22 (i)因为CE为△MBC的中线，所以c死=Ca+C丽)=C西+B函+C团)-（⑧A-2BC), 又C远2=BA-2C到°=8m-BmBc+C2=4-6+9=7,则c国=万， 因为ABl=4,BC=3,∠ABC=行，BD为∠ABC的角平分线， AB AD_AB 在△ABD中，因为AD sinABD sin.∠BDA 得到s sin/BDA①， 6 ICD Bd 在△BDC中，因为 CD BC 得到：π sin∠BDC②， sin∠OBC sin.∠BDC sin- 6 AD AB_4 又n∠BDA=sin∠BDC,由0+②得到DCBG3' 所以D:A+而=扇+号c=丽+C-网到-丽+号c, 因为 而正-(+c)厨-风-厨-丽c-8c316-24389-号 、18 BD.CE 所以cos∠DFE=cos BD,CE= o@25.万 4,即∠DFE的余弦值为-团 19.-和①见以下证明：（当m>心 2 0s2+3时，2Zu>os0+1:当m= 时， cos0+3 s0+3时，2L(a,scos0+1 2 2L(a,)=cos6+1:当m<- 【详解】(1)解：(1)如图，以A为原点，建立平面直角坐标系， 不妨设菱形边长为2(1>0)，则A(0,0),B(21,0),所以AB=(2,0) 因为点P在直线CD上，当AP⊥AD时，P-3,V3),则 BP=(-5弘，5，所以ABB乎=2（←)+.0=-102，E=(2}+02=42, B2=(←52+3=281，因此，(AB,BP)= 28乎2x×10）-5 B+BP2322 (2)(i)由u=a+b,v=ua+拓可得，五=(aa+ub(a+a)=d+光+)ab+B, a2=(ā+b}=a2+2a-i+82,2=(ua+5=2a2+2a.b+27、 所以72+可2=(2+μ）a2+4a-b2+u)b2{2+(a2+1+4ua.1 2u(a2+B）+2(22+2)a-6 园.a4s6-3 皮x-,6,了25不，4加>0，B=+,所以u4(列议影。6列 短6<专器x+24X+80）. 只需证y2<X2.因为a,i为不共线的向屉，则日+≥2>25b,所以 何+>2k6列=(6广，即x2<r1,因此(a,6k16,)成立. 2(a2+62）+2(2+2)a.6 4μ(a2+万2）+4(22+u2）a-6 由G》知2伊+F+45,所以2 （22+μ2)a2+b2+41a-b 由入+4=2可得(2+μ=4，则2+4=4-22，代入上式可得 4i(a2+b）+4(4-2a-b )-2阳+446图为间--1，夹角为6，所以子==-时=1， 4×2+4(4-2μcos92元μ+4cos0-2μcos日 a-6-l5leos0=cos6,代入化商2L(a,)=4-24mx2+4ncs0 ,令 2-μ+μc0s0 m=,由+A=2,,么，>0，则如<2+=1，所以0<m<1. 2 因为2z位，-e0s9+1)=2m+4cos0-2mcos9-(eos9+1,化简得 2-m+mcos 2L(@,)-(cos6+1)=(1-cos)[m(cos9+3)-2]. 由题家知夹角9引则0e0.乐以1-w6>0,s043e,侵引 当m(eos9+3)2>0,即m>2。时，2Z位，)-(c0s0+)>0,所以2L(位，>c0s0+1: c0s0+3 当mos9+)2-0,即m=85时，2，-os0+-0,所以2E)=s941： 当mc8+3-2<0,印m<c3时，2Z可-o0+<0,所以2 ).cos0+h 7c6时.2u4g外e81,首mon5时，2a可列=cw91:当nom 综上所述：当m>一2 2 时，2L(a,)<cos8+1 第4页，共4页