山东青岛第九中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

青岛九中2025~2026学年第二学期期中高一质量检测（数学）试题 参考公式：台体体积公式，（S，S'分别为上下底面积，h为高） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. i D. 2. 设向量，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线与NM是异面直线 B. C. 平面 D. 直线CP，，AM相交于一点 6. 在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（　　） A. B. C. 2 D. 4 7. 柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（ ） A. 27 B. C. 12 D. 6 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. ，间的距离为 B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点位于第一象限 D. 若，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（ ） A. 的外接圆半径为1 B. C. D. 可能为钝角三角形 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积随着点的运动而变化 B. 异面直线与所成角的取值范围是 C. 直线平面 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____. 13. 如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 14. 如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． （1）求证平面AEF； （2）若，求多面体的体积 16. 如图，四边形中，，，，且为锐角． （1）求； （2）求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． （1）求证：点是的中点； （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量，之间的相似度的一种定义为． （1）菱形中，，点在直线上．若，求； （2）在信息处理的过程中，有时为了增加，的相似度，会选取合适的正实数，调整为后再纳入模型计算． （i）对于任意不共线的向量，证明：； （ii）设，夹角为锐角．若，且，讨论和的大小关系，并说明理由． 青岛九中2025~2026学年第二学期期中高一质量检测（数学）试题 参考公式：台体体积公式，（S，S'分别为上下底面积，h为高） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； （2）存在，证明如下： 当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）见以下证明；（ii）当时，；当时，；当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $