8.2 课时2 非线性回归模型 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 练习以“基础巩固-提升拓展-素养提升”分层，覆盖非线性回归模型选择、变量变换、参数计算及综合应用，梯度合理，强化数学建模与数据分析素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（模型选择、变量变换、参数计算）|以选择填空为主，如曲线类型判断、线性变换参数求解，夯实概念理解| |提升拓展|综合应用（模型预测、最值分析）|结合散点图与变换数据，如繁殖数量预测、非线性关系最值探究，深化逻辑推理| |素养提升|实际情境应用（残差分析、模型优化）|联系农户种植数据，如残差表补充与异常数据处理，体现数据意识与模型观念|

8.2 课时2 非线性回归模型 【基础巩固】 1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 【答案】B 【解析】从散点图知，样本点分布在抛物线上或对数型曲线上，结合所给个的曲线类型，所以或较适宜. 故选：B 2．用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由回归模型，可得，即， 因为变换后得到线性回归方程为，可得，所以. 故选：B. 3．已知一组成对数据中关于的一元非线性回归方程，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，则，可得. 故选：B 4．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合与关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述与之间关系的函数为（ ） 参考数据：令 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由用线性回归和指数型回归模型拟合与关系的决定系数分别为和，得，则指数型回归模型最适宜拟合与关系，排除AB； 设与之间关系的函数为，两边取对数得，设，则，因此，， 即，，C错误，D正确. 故选：D 5．（多选）用模型去拟合一组数据，设，将其变换后得到线性回归方程，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由两边取自然对数得：， 由变换后得到线性回归方程， 则，即，故AD正确，BC错误； 故选：AD. 6．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数_________． 【答案】 【解析】依题意，， 则，所以. 故答案为： 7．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______． （参考数据：） 【答案】 【解析】 ， 所以． 故答案为：． 8．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入（单位：万元）与一定范围内的研发经费（单位：万元）的数据，根据收集的组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立关于的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且． (1)用相关系数说明哪种模型建立与的回归方程更合适； (2)根据(1)的结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知企业的利润满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值． 参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数． 【答案】见解析 【解析】(1)由题意知， ， 因为，所以用模型建立与的回归方程更合适. (2)令，回归方程为，因为， ， 所以关于的回归方程为，即. (3)由题意知 ，当且仅当，即时取等号, 则，所以.当且仅当时等号成立， 所以当研发经费投入为万元时企业生产的利润最大，最大利润为万元. 【提升拓展】 9．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 【答案】B 【解析】由两边取自然对数得，令， 则，即与呈线性相关关系， ，， 回归直线必过样本点的中心，，解得， ，则，当时，． 故选：B 10．已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】C 【解析】已知，把，代入可得： ，即． 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为． 故选：C. 11．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 【答案】； 【解析】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 【素养提升】 12．近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表： 注：表中. (1)将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由； (2)视残差的绝对值超过的数据为异常数据，针对(1)中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程. 参考公式：. 【答案】(1)表格见解析，模型①拟合效果更好.(2) 【解析】(1)当时， 当时，， 完成表格如下：注：表中. 模型①的残差平方和为， 模型②的残差平方和为， 因为， 即模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小，所以模型①拟合效果更好. (2)由题意及(1)可知，模型①中仅第四组数据残差的绝对值超过， 故应剔除第四组数据，剔除后， 则， ， 则， 所以所求经验回归方程为. 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 课时2 非线性回归模型 【基础巩固】 1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值. 有下列个曲线类型：①；②；③；④；⑤，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③⑤ 2．用模型拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设，其变换后得到线性回归方程为，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知一组成对数据中关于的一元非线性回归方程，已知，，，则（ ） A． B． C． D． 4．某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合与关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述与之间关系的函数为（ ） 参考数据：令 A． B． C． D． 5．（多选）用模型去拟合一组数据，设，将其变换后得到线性回归方程，则（ ） A． B． C． D． 6．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在曲线附近波动，经计算，则实数_________． 7．近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______． （参考数据：） 8．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入（单位：万元）与一定范围内的研发经费（单位：万元）的数据，根据收集的组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立关于的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且． (1)用相关系数说明哪种模型建立与的回归方程更合适； (2)根据(1)的结果及表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知企业的利润满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值． 参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数． 【提升拓展】 9．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（ ） A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 10．已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（ ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 11．一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 【素养提升】 12．近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游业的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲､乙两名同学一起收集了6家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归模型：模型①；模型②.对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表： 注：表中. (1)将以上表格补充完整，判断哪个模型拟合效果更好，并简要说明理由； (2)视残差的绝对值超过的数据为异常数据，针对(1)中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求其经验回归方程. 参考公式：. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $