黑龙江大庆实验中学实验二部2025-2026学年高一下学期第三周数学周检测试题（2026.3.31）

**基本信息** 聚焦复数与向量核心知识，通过基础题（如复数运算单选1）与能力题（如向量模长不等式单选8）梯度设计，培养数学抽象与运算能力，适配高一周测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数四则运算、向量坐标运算|结合模长不等式（单选8）考查逻辑推理| |多选题|2|复数相等、向量垂直性质|设置多选项（多选10）培养批判性思维| |填空题|5|纯虚数概念、向量数量积|融入三角形外接圆（填空14）体现几何直观| |解答题|1|解三角形与向量共线|综合边长关系与定比分点（解答17）考查模型应用|

大庆实验中学 大庆实验中学实验二部2025级高（一） 下学期 数学学科章节检测3.31(B层) 一、单选题 1.复数名，=3+i,z2=i2+i,则+z在复平面内表示的点在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知复数乙，=2+i,z2=-2+2i,则() A.z,+2为实数 B.3+z=2 C.+2的虚部为2 D.+z2为纯虚数 3.已知1-2i)a+(3+4ib=2+6i,其中a,b为实数，令z=a+bi,则z=（) A.1 B.√2 C.5 D.2 4.已知点A(-1,2),B(0,3),点P在线段AB上，且|AP=31PB1,则点P的坐标是（) 311 A. 44 -44 (111 11 44 b. 5.已知a=(x,1),6=(2,3),若a1(a-2b),则1a-b1=（) A.3 B.√i C.3 D.√5 6.已知向量a=(3,6,6=0,2,若五与a+5的夹角的余弦值为手， 则入的值为() A.-1 B.-5 C.-1或-5 D.无法确定 7.在VABC中，AD1BC于点D,AD=1,BC上有n个不重合的点：R,B,R,,Pn,则 (AE+AE+…+APAD=() A.1 B.n C.n-1 D.n2 第1 8. 已知向量a≠0且l=2,对任意实数1，恒有日-≥a-,则a-6=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 9.复数z满足z+2z=9+4i(1为虚数单位)，则（) A.|z=5 B.z=3+4i C.z=3-4i D.z=-3+4i 10.已知ā，b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（) A.a+6=-1 B.（a+b1(a-) C.若c=2a+6,则cos<6,a>5 D若asda一分，则归-小的最小值为复 11.如图，VABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点 P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是() Ao-扇+8c B.AB.BO=3 C.BP.BC的最大值为5 D.若即=xB丽+yB8C,则当8,0，P三点共线时，x+y=3+5 3 三、填空题 12.已知复数z=(m-2)+(m+3)i(meR)是纯虚数，则m= 13.已知i为虚数单位，设复数名=1-1,2=2+6i,则复数z+2,的实部为 14.已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则AO.BC= 页共2页 15.(2025高一·全国·专题练习)如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是以A为圆心，AB为 半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则PAPB的取值范围是一 D 16.(25-26高一下·浙江·开学考试)在VABC中，DA+2DB=0,AE=EC,BE和CD相交 于点F,设AC=a,AB=b,若AF=xa+b,则x+y等于 四、解答题 17.记V1BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosB=2c-b 2a (1)求A: (2)若AC=2,AB=3,点D是BC边上一点，且BD=2DC,求AD的长 第2页共2页3.31周测参考答案 学校： 姓名： 班级： 考号 一、单选题 1.复数3，=3+i,22=i2+i,则+z2在复平面内表示的点在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置 【详解】由题意得z+22=(3+i)+(2+i=(3+i)+(-1+i)=2+2i,对应的点在第一象限. 故选：A 2.已知复数名1=2+i,22=-2+2i,则() A.3+2为实数 B.名1+z2=2 C.名+32的虚部为2 D.3+z2为纯虚数 【答案】D 【分析】直接计算复数的和，逐项判断： 【详解】根据题意，乙，+z2=3i,其虚部为3，A、C错误，D正确： 2+z=V02+32=3,B错误 故选：D 3.已知1-2a+(3+41)b=2+6i,其中a,b为实数，令z=a+bi,则2() A.1 B.√5 C.5 D.2 【答案】B 【分析】本题先将已知等式左边的复数进行化简，然后根据复数相等的条件，列出关于实数 a,b的方程组，求出a,b的值，代入复数模长的公式计算即可. 【详解】因为(1-2i)a+（3+4i)b=2+6i,所以(a+3b)+(-2a+4b)i=2+6i, a+3b=2 a=-1 由复数相等的定义可得， -2a+4b=6' 解得 b=1 试卷第1页，共10页 又z=a+bi,则z=-1+i,所以2=V-1}+12=√2 故选：B 4.已知点A(-1,2),B(0,3),点P在线段AB上，且AP=3引PB,则点P的坐标是() 311 111 A.（-44 44 c(得 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 x+1=3(-x) 【分析】设P点坐标为(x,y),根据AP=3PB得 y-2=3(3-y)' 解方程组即得点P的坐标. 【详解】由点P在线段AB上，且|AP=3|PB|知AP=3PB, 设P点坐标为(x,y),则(x+1,y-2)=3(-x,3-y), x+1=3解得： x=-l 4 1y-2=3(3-y) 即P点坐标 y= 4 故选：B 5.已知a=(x,1),b=(2,3),若a1(a-2b),则1a-b=(） A.3 B.√i C.√13 D.15 【答案】C 【分析】先求出ā-2b=(x-4,-5),后利用向量垂直推出数量积为零求出x的值，再求出 ā-b1的坐标，最后根据模长公式求解 【详解】由ā=(x,1),b=(2,3),得2b=(4,6) 故ā-2b=(x,1)-(4,6)=(x-4,-5), 由a1(a-2b)得a(a-2b)=x(x-4)+1×(-5)=0,解得x=-1或x=5, 当x=-1时，d=(-1,1),则a-b=(-1,1)-(2,3)=(-3,-2), 故a-卡-3)}2+(-2)2=3； 试卷第2页，共10页 当x=5时，a=(5,1),则ā-b=(5,1)-(2,3)=(3,-2), 故1a-上V32+(-2}2=-3 综上，ā-b=√3， 故选：C 6已知向量a-(6,.万=Q,2引，若6与8+5的夹角的余弦值为 ,则入的值为() A.-1 B.-5 C.-1或-5 D.无法确定 【答案】A 【详解】因为ā=(3,6)，万=(0,2)，所以a+5=(3,6+2),=2, 所以6·（ā+）=12+4入，a+=V32+(6+2, 又因为6与á+6的夹角的余弦值为等， 12+4入 4 所以23+6+2N5,解得A=-1或入=-5（因12+41≥0，舍）· 7.在VABC中，AD I BC于点D,AD=1,BC上有n个不重合的点：R,B,乃，，Pn,则 (A+AE+…+AE)AD=（) A.1 B.n C.n-1 D.n2 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的几何意义求值即可， 【详解】由(A亚+A正+…+A)AD=A·AD+A码AD+…+A亚AD, 又AD1BC,AD=1,则AP·ADAD‖AP cos,AD=ADP=1, 所以(A丽+A码++A)AD=n. B P D P 试卷第3页，共10页 故选：B 8.已知向量ā≠0且=2，对任意实数t,恒有a-≥反-，则a-6=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】将模长不等式转化为关于t的二次函数，利用二次函数性质，由其在t=1处取最小 值推导出点积， 【详解】不等式a-≥a-等价于a-≥a-,设f0=a-. 原不等式等价于f)≥f)对所有实数t恒成立，即fI)是f)的最小值， 整理f0=日-=2-2ra-6+a=4r2-2a-t+a,teR, 易得二次函数和开口向上，在对称轴x=2云6处取最小值， Q 则有2a.6-1,解得a-6=4. R 二、多选题 9.复数z满足z+2z=9+4i(为虚数单位)，则（) A.|z=5 B.z=3+4i C.z=3-4i D.z=-3+4i 【答案】AC 【分析】设z=x+yi(x,y∈R),代入化简，根据复数相等可求出x,y,可判断BCD;再由复 数的模长公式求得|z|判断A. 【详解】设z=x+yi(x,y∈R),则z=x-yi, 因为z+2z=9+4i,所以x+i+2(x-yi)=9+4i,化为3x-i=9+4i, 所以3x=9,-y=4,解得x=3,y=-4. 所以z=3-4i,z=3+4i,故B错误，C正确，D错误； 所以z=√32+(-42=5，故A正确。 故选：AC 10.已知ā，b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（) A.a+B=1 试卷第4页，共10页 B.(a+b)1(a-b) C.若c=2a+万，则cos<c,a-5 D.若cos<d,a>),则a-d的最小值为5 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解， 【详解】由题意得a.6=0,所以a+-(a+-2+2a6+2-+=1+1=2, 所以a+-√2，故A错误， 由(a+列a-列-a2-2--=0,所以(a+b)1(a-列，故B正确： ya.c=a.(2a+B)=2a2+a.B=2a*=2, 所以=(2ā+6°=42+4a.6+2=4|+-5,所以=5， ,动洞=等，故C储误 ca_2_2W5 日-df=-2i.a+--2laos(位，或+--+1-（间+圣 当=时.反-小，所以日-d的最小值为，故D正确 11.如图，VABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆， 点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是() A B A.BO-1B4+IBC 2 2 B.AB.BO=3 C.BP.BC的最大值为5 D.若B即=xBA+yBC,则当aO,P三点共线时，x+y=3+5 3 试卷第5页，共10页 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算可判断A;由数量积的定义可判断B;以B为坐标原点，建立平 面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出x,y可判断D 【详解】对于A,B0=BC+C0=Bc+=Bc+号-Bc到号丽+号c,故A正确， ”2 对于B,由A知，BO=BA+BC, 孤而=(}厨+风丽+号孤c 2×2×2c0s60°=-2-1=-3，故B错误 对于C,以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， Boo,ce04t间.o9）设r传+msa,9+m9 所以廊C-2+os=3+2eos0, 当6=0°时，BPBC的最大值为5，故C正确； 对于D,当B,O,P三点共线时，B⊙=5，P可=1， 知-m,所以原-0：0-（9小0 又因为80-号A+号c,所以丽兰 A肠+3BC 2 2 所 3+2±，所以x+y=+1=3+3,故D正确. x=3 3 3 2 YA B 故选：ACD. 三、填空题 12.已知复数z=(m-2)+(m+3)i(m∈R)是纯虚数，则m= 试卷第6页，共10页 【答案】2 【分析】根据纯虚数的定义求参数值即可. m-2=0 【详解】由题意知 m+3≠0' 解得m=2. 故答案为：2 13.已知i为虚数单位，设复数乙，=1-1,22=2+6i,则复数+z2的实部为 【答案】3 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数z1=1-i,22=2+6i, 所以复数名+z2=3+5i, 所以复数z+z2的实部为3， 故答案为：3 14.已知△ABC的外接圆圆心为O,AB=2,AC=3,则AO.BC=」 【省1 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案。 【详解】A0.BC=A0.(AC-AB=A0.AC-A0.AB: 如图，过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F 根据数量积的几何定义，得AO.AC-AO.AB=AE·AC-AF.AB =网-2网-322x1= 2 15.(2025高一，全国·专题练习)如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是以A为圆心，AB 为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则PAPB的取值范围是 试卷第7页，共10页 【答案】[0，川 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解。 【详解】如图，取AB的中点E,P.P丽-(P死+(P死-=P元-年 而PE∈ 5 2’2 所以PA.PBe[0,1: A E B 故答案为：[0,1 16.(25-26高一下浙江·开学考试)在VABC中，DA+2DB=0,AE=EC,BE和CD相 交于点F,设AC=a,AB=b,若AF=xa+b,则x+y等于 【省案1升 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出x,y的值，进而得到x+y的值。 【详解】由题意可知，E为AC中点，AC=a,AB=b, 所以A正=AC=ā， 设E晾=mEB,则AF=A正+EF=a+mEB=名à+mAB-A正)， =a+m6-a)=(分ga+m6, 又因为DA+2DB=0,即AD=2DB 试卷第8页，共10页 所以AD=AB=5, 设DF=nDC,则A=AD+DF=6+nDC=药+nAC-AD), -25+a-26=na+店26. b)=na+( 3 3 、33 （1_m=n 所以22 22,解得m三，s、/ 4 m33 则亦+，即 1 1 4,y= 2 1,13 则x+y=4+24 四、解答题 17.记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知cosB-2c-b 2a (1)求A; (2)若AC=2,AB=3,点D是BC边上一点，且BD=2DC,求AD的长. 【答案】(04-子 2)AD=V37 3 【分析】(1)利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A； (2)用AB,AC表示D,利用向量数量积的运算律即可求解 【详解】()已知cosB=2a，由正弦定理得cosB=snC-sinB】 2sin A 2sin Acos B=2sin C-sin B, 则2 sin Acos B=2sin[π-(A+B)]-sinB, 2sin Acos B=2sin(A+B)-sin B. 2sin Acos B=2(sin Acos B+cos Asin B)-sin B 2cos Asin B-sin B=0,E sin B(2cos A-1)=0 B∈(0，π，sinB≠0，那么2cosA-1=0,解得cosA= 2 又：4e0,4=骨 (2)BD=2DC,:AD-AB=2(4C-AD), 试卷第9页，共10页 即而-丽+子C,两边同时平方 0-售西+号C而-丽+号而c+C, AB-AB-9.. oA-3x2x-3 -g9+×4+号3- 9 m=即0=雪 3 试卷第10页，共10页3.31周测参考答案 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1. 复数z =3+ i,z₂=i²+i, 则z+Z₂ 在复平面内表示的点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【详解】由题意得z₁+Z₂=(3+i)+(i²+i)=(3+i)+(-1+i)=2+2i, 对应的点在第一象限. 故选：A 2. 已知复数z₁= 2+ i,z₂=-2+2i, 则 ( ) A. z+z₂为实数 B.|z₁+z₂|=2 C. z₁+z₂ 的虚部为2 D. z+z₂ 为纯虚数 【答案】D 【分析】直接计算复数的和，逐项判断. 【详解】根据题意，z₁+z₂=3i, 其虚部为3,A 、C错误，D 正确； |z+z₂|=√o²+3²=3,B 错误. 故选：D 3. 已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i, 其中a,b 为实数，令z=a+bi, 则 |z|=() A.1 B.√2 C.√3 D.2 【答案】B 【分析】本题先将已知等式左边的复数进行化简，然后根据复数相等的条件，列出关于实数 a,b 的方程组，求出a,b 的值，代入复数模长的公式计算即可. 【详解】因为(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i, 所 以(a+3b)+(-2a+4b)i=2+6i, 由复数相等的定义可得， 解得 试卷第1页，共10页 又z=a+bi, 则z=-1+i, 所 以21= √ (-1)²+1²= √2 故选：B. 4. 已知点A(-1,2),B(0,3), 点P 在线段AB 上，且|AP|=3|PB|, 则点P 的 坐 标 是 ( ) A. C. D. 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设P 点坐标为(x,y), 根据AP=3PB 得 解方程组即得点P 的坐标. 【详解】由点P 在线段AB上，且|AP|=3|PB| 知AP=3PB, 设P 点坐标为(x,y), 则(x+1,y-2)=3(-x,3-y), 即 解得： 即P 点坐标； 故选：B. 5. 已知a=(x,1),b=(2,3), 若a1(a-26), 则 |a-b|=() A.3 B.√ 11 C.√ 13 D.√ 15 【答案】C 【分析】先求出a-2b=(x-4,-5), 后利用向量垂直推出数量积为零求出x的值，再求出 a-b| 的坐标，最后根据模长公式求解. 【详解】由a=(x,1),b=(2,3), 得26=(4,6) 故a-2b=(x,1)-(4,6)=(x-4,-5), 由a⊥(a-26) 得a·(a-2b)=x(x-4)+1×(-5)=0, 解得x=-1 或x=5, 当x=-1 时 ，a=(-1,1), 则a-b=(-1,1)-(2,3)=(-3,-2), 故 |a- b|= √ (-3)²+(-2)²= √ 13; 试卷第2页，共10页 当x=5 时 ，a=(5,1), 则a-b=(5,1)-(2,3)=(3,-2), 故 |a- b|= √³²+(-2)²= √ 13. 综上， |a- b|= √ 13. 故选：C 6. 已知向量a=(3,6),b=(0,2), 若b 与a+λb 的夹角的余弦值为 ,则λ的值为() A.-1 B.-5 C.-1 或-5 D. 无法确定 【答案】A 【详解】因为a=(3,6),b=(0,2), 所以a+λb=(3,6+2A),|=2, 所以b·(a+λ5)=12+4λ,|a+λ|=√3²+(6+2x)², 又因为6与a+λb 的夹角的余弦值为 所以 ,解得λ=-1或λ=-5(因12+4λ≥0,舍). 7. 在VABC中 ，ADIBC 于点D,|AD|=1, BC上有n 个不重合的点：P,P₂,P₃, … ,P, 则 (AP+AP+…+AP.)·AD=() A.1 B.n C. n- 1 D.n² 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的几何意义求值即可. 【详解】由(AR+AP₂+…+AP) ·AD=AP ·AD+AP ·AD+…+AP, ·AD, 又ADIBC,|AD|=1, 则AP,·AD=|AD||AP,| cos ∠P,AD=|ADP²=1, 所以(AP+AP₂+…+AP)·AD =n. 试卷第3页，共10页 故选：B 8. 已知向量a≠0 且|5|=2, 对任意实数t, 恒有la-t5|≥|a- , 则a · b= () A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】将模长不等式转化为关于t 的二次函数，利用二次函数性质，由其在 t=1 处取最小 值推导出点积. 【详解】不等式|a-tb|=|a-5| 等价于a -15²≥|a=”, 设f0=|a- πP, 原不等式等价于f(t)≥f(1) 对所有实数t 恒成立，即f(1) 是f(t) 的最小值， 整理f(t)=|a-16b²=B²t²-2ta·b+a²=4t²-2a·bt+a²,t∈R, 易得二次函数f(t) 开口向上，在对称轴 处取最小值， 则有 ,解得a · b= 4. 二、多选题 9. 复数z 满足z+2z=9+4i(i 为虚数单位),则() A.|z|=5 B.z=3+4i C.z=3-4i D.Z=-3+4i 【答案】AC 【分析】设z=x+yi(x,y∈R), 代入化简，根据复数相等可求出x,y, 可判断BCD; 再由复 数的模长公式求得|z|判断A. 【详解】设z=x+yi(x,y∈R), 则Z=x-yi, 因为z+2Z=9+4i, 所以x+yi+2(x-yi)=9+4i, 化为3x-yi=9+4i, 所以3x=9,-y= 4, 解得x=3, y=-4. 所以z=3-4i,z=3+4i, 故B 错误，C 正确，D 错误； 所以|z|= √³²+(-4)²=5, 故 A 正确. 故选：AC. 10. 已知a,b 为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是() A.|a+5|=1 试卷第4页，共10页 B.(a+b)1(a-b) C. 若c= 2a + b, 则cos<c, D. 若cos<d,a 【答案】BD 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得a:6=0, 所以a+5²=(a+b)²=a²+2ā-b+b²=|a²+|5²=1+1=2, 所以a+b= √2,, 故A 错误； 由(a+b)·(a-b)=a²-b²=|a²-²=0, 所以(a+b)1(a-b), 故 B 正确； 又a·c=a.(2a+b)=2a²+a ·b=2|a²=2, 所以P=(2a+b)²=4a²+4a·b+b²=4|a²+|b²=5, 所以= √ 5, , 故C 错误； 当 时， ,所以 |a-a 的最小值为 , 故D 正确. 11. 如图，VABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O 为圆心，1为半径作一个半圆， 点P 为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是() A. B.AB·BO=3 C. BP·BC的最大值为5 D. 若BP=xBA+yBC, 则当B,O,P 三点共线时， 试卷第5页，共10页 【答案】ACD 【分析】由向量的线性运算可判断A; 由数量积的定义可判断B; 以B为坐标原点，建立平 面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C; 由共线向量定理求出x,y 可判断D. 【详解】对于A, , 故A 正确； 对于B, 由 A 知， , 故B 错误； 对于C, 以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， B(0,0),C(2,0),4(1,√3), 当θ=0°时，BP·BC的最大值为5,故C 正确； 对于D, 当B,O,P 三点共线时，BO|=√3,Po|=1, BO= √3OP, 所I 又因为 所以 所以 所 , 故D 正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知复数z=(m-2)+(m+3)i(m∈R) 是纯虚数，则m= 试卷第6页，共10页 【答案】2 【分析】根据纯虚数的定义求参数值即可. 【详解】由题意知 解得m=2. 故答案为：2 13. 已知i 为虚数单位，设复数z₁=1-i,z₂=2+6i, 则复数z+Z₂ 的实部为 【答案】3 【分析】利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】因为复数z₁=1-i,z₂=2+6i, 所以复数z₁+Z₂=3+5i, 所以复数z+z₂ 的实部为3, 故答案为：3 14. 已知△ABC的外接圆圆心为0, AB=2,AC=3, 则AO ·BC= 【答案】 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案. 【详解】AO·BC= A0.(AC-AB)=AO.AC-AO ·AB. 如图，过点0作OEI AC于点E,OFIAB 于点F. 根据数量积的几何定义，得AO·AC-AO·AB=AE·AC-AF·AB 15. (2025高一 ·全国 ·专题练习)如图，在边长为1的正方形ABCD中，P 是以A为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则PA·PB 的取值范围是 试卷第7页，共10页 【答案】[0,1] 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取AB的中点E, PA ·PB=(PE+EA)(PE-EA)=PE²-— 而 所以PA·PB∈[0,1]. 故答案为：[0,1] 16.(25-26高一下 ·浙江·开学考试)在VABC中，DA+2DB=0,AE=EC , BE和CD相 交于点F, 设 AC=a,AB=b, 若AF=xa+yb, 则x+y 等于 【答案】 【分析】利用向量共线定理，结合已知条件求出x,y 的值，进而得到x+y 的值. 【详解】由题意可知，E为AC中点，AC=a,AB=b, ( 设 EF = mEB, r ) 又因为DA+2DB=0, 即 AD=2DB, 试卷第8页，共10页 所I 设DF = nDC, 所以 解 则 , 即 则 四、解答题 17. 记VABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知 (1)求A; (2)若AC=2,AB=3, 点 D是BC 边上一点，且BD=2DC, 求AD的长. 【答案】(1) . ② 【分析】(1)利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A; (2)用AB,AC 表示AD,利用向量数量积的运算律即可求解. ( 【详解】(1)已知 )由正弦定理得 即2sin Acos B=2sinC-sin B, 2sin Acos B=2sin(A+B)-sin B. 2sin AcosB=2(sin Acos B+cos Asin B)-sin B 2cos Asin B-sin B=0,即sin B(2cos A-1)=0. ∵B∈(0,π),∴sin B≠0,那么2cos A-1=0,解 又∵A∈(0,π),∴ (2)∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD), 试卷第9页，共10页 即 两边同时平方： AB²=|AB²=9,, 即 试卷第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $大庆实验中学 大庆实验中学 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 大庆实验中学实验二部2025级高(一)下学期 数学学科章节检测3.31 (B 层) 一、单选题 1. 复数z₁ =3+ i,z₂=i²+i, 则z₁+z₂在复平面内表示的点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知复数z₁ =2+i,z₂= -2+2 i, 则 ( ) 8. 已知向量a≠0 且|5|=2,对任意实数t, 恒 有la- 1b|≥|a-5|, 则a.b= () A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 9. 复数z 满足z+2z=9+4i(i 为虚数单位),则() A. |z|= 5 B.z=3+4i C.z=3-4i D.z=-3+4i A. z+z₂ 为实数 B.|z+z₂|=2 C. z+z₂ 的虚部为2 D. z+z₂ 为纯虚数 3. 已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i, 其中a,b 为实数，令z=a+bi, 则z||=() A.1 B.√2 C.√3 D.2 4. 已知点A(-1,2),B(0,3), 点P 在线段AB上，且|AP|=3|PB|, 则点P 的 坐 标 是 ( ) 5. 已知a=(x,1),b=(2,3), 若a1(a-2b), 则|a-b|=() A.3 B.√ 11 C.√ 13 D.√ 15 6. 已知向量a=(3,6),b=(0,2), 若b 与a+λb 的夹角的余弦值为,则λ的值为() A.-1 B.-5 C.-1 或- 5 D. 无法确定 7. 在VABC中 ，ADIBC 于点D,|AD|=1,BC 上有n 个不重合的点：P,P2₂,P₃, … ,P, 则 (AP+AP₂+…+AP)·AD=() A.1 B.n C.n-1 D.n² 10. 已知a,b 为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是() A. la+5|=1 B.(a+b)1(a-b) C. 若c=2a+ b, 则 D. , 则 |a-a| 的最小值为 11. 如图，VABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O 为圆心，1为半径作一个半圆，点 P 为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是() A. B.AB · BO= 3 C. BP. BC的最大值为5 D. 若BP=xBA+y BC, 则当B,O,P 三点共线时， 三、填空题 12. 已知复数z=(m-2)+(m+3)i(m∈R) 是纯虚数，则m= 13. 已 知i 为虚数单位，设复数z=1-i,z₂=2+6i, 则复数z₁+z₂的实部为 14. 已知△ABC的外接圆圆心为0, AB=2,AC=3, 则AO·BC: 15. (2025高一 ·全国 ·专题练习)如图，在边长为1的正方形ABCD中 ，P是以A为圆心，AB为 半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则PA·PB 的取值范围是 16. (25-26高一下 ·浙江 ·开学考试)在VABC中，DA+2DB= 0.AE=EC , BE和 CD 相交 于点F, 设AC=a,AB=b, 若AF=xa+yb, 则x+y 等于 四、解答题 17. 记VABC的内角A,B, C的对边分别为a, b,c, (1)求A; (2)若AC=2,AB=3, 点D 是BC边上一点，且BD=2DC, 求AD的长. 第2页共2页 学科网（北京）股份有限公司 $