第八章立体几何初步重点突破训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步重点突破训练 一、选择题 1．下列关于棱柱的说法错误的是(      ) A.所有的棱柱的两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面 2．如图是用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与x轴、y轴平行），则原图形的周长是(      ) A. B. C. D. 3．在棱长为4的正方体中，点E是棱的中点，则点B到平面的距离是(      ) A. B. C. D. 4．已知平面互相垂直,则下列正确的是(      ) A.若直线,则 B.若直线,则 C.内有无数条直线与平行 D.内的所有直线与都垂直 5．若直线平面，，且a与点A位于的两侧，，，分别交平面于点E，F，若，，，则EF的长为(      ) A.3 B. C. D. 6．如图，在多面体中，平面平面，，且，，则(      ) A.平面ACGD B.平面ABED C. D.平面平面CGF 7．已知长方体的底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别为，的中点，则三棱锥的体积为(      ) A. B.4 C. D.6 8．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为(      ) A. B. C. D. 二、填空题 9．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，求异面直线与所成角的余弦值_______. 10．设为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若，，则； ②若，，，，则； ③若，，则； ④若，，，，则. 其中真命题的编号为________________. 11．在四面体中，两两垂直，，以D为球心，为半径的球与四面体各面交线的长度和为___________. 三、多项选择题 12．已知m，n是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题有(      ) A.若，，，则 B.若，，，则 C.若，，，则 D.若，，，则 13．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是(      ) A. B.平面PCB C.平面平面PBC D.平面平面PBC 14．已知正四棱台的上底面的边长为，下底面ABCD的边长为，高为，则(      ) A.侧棱长为4 B.异面直线与BC所成的角为 C.二面角的余弦值为 D.直线与底面ABCD所成的角为 四、解答题 15．如图，，，M，N，P分别为线段AC，CB，BD的中点，且M，N，P三点不共线.求证：平面平面. 16．如图所示，在三棱柱中，D是棱的中点，E是棱AB的中点，证明：平面. 17．如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，，平面平面，中BC边上高，.求该多面体的体积. 18．如图,已知斜三棱柱中,,,,点D为的中点. （1）证明:平面平面; （2）若,点M为的中点,求点A到平面的距离. 19．如图,正四棱台的高为3,且 （1）求证:平面平面; （2）求与平面所成角的余弦值. 参考答案 1．答案：C 解析：由棱柱的定义知A，B选项正确；对于C，如图，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，所以C错误；三棱柱有5个面，棱柱有个面，D正确.故选C. 2．答案：B 解析：由直观图可知，原图形是等腰三角形，且底边上的高为16.由勾股定理可得，，所以的周长为.故选B. 3．答案：C 解析：设点B到平面的距离为h， 正方体中，， 由等体积法可知， 即，解得. 4．答案：C 解析：选项A:若,可能与相交,也可能在内,不一定有,A错误; 选项B:无法推出,可以平行或与相交或者垂直,B错误; 选项C:根据线面平行的判定定理,内所有平行于交线m的直线都与平行,这样的直线有无数条,C正确; 选项D:内平行于交线m的直线与平行,并非所有直线都垂直,D错误. 由图可知ABD错误. 5．答案：B 解析：，平面ABC，平面，，，即，.故选B. 6．答案：A 解析：取DG的中点M，连接AM，FM，如图所示. 因为，且，所以且， 所以四边形DEFM是平行四边形，所以且. 因为平面平面DEFG，平面平面，平面平面， 所以，所以，又，所以，所以四边形ABFM是平行四边形，所以. 又平面，平面ACGD，所以平面ACGD，故选项A正确； 而根据已知条件只能推出上面的关系，无法判断CF与平面ABED是否平行，故选项B错误； 没有条件可以判断，故选项C错误； 若平面平面CGF，又平面平面，平面平面，则，与已知矛盾，所以平面ABED与平面CGF不可能平行，故选项D错误.故选A. 7．答案：C 解析：由题意得，，所以三棱锥是正四面体，设的中心为O，连接NO并延长，交于点P，连接MO，MP， 则，，所以三棱锥的体积为.故选C. 8．答案：A 解析：由于， 所以，， 设E，F分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 9．答案： 解析：设，，， 则，，，则， ， 所以， ， 因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 10．答案：①③④ 解析：对于①，由面面平行的传递性可知①正确； 对于②，若，，，，则或与相交，所以②错误； 对于③，若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线都与另一个平面平行，所以③正确； 对于④，因为，，，所以，同理，由平行线的传递性可得，所以④正确. 11．答案： 解析：由题意得DA，DB，DC两两垂直，， 由勾股定理得， 三棱锥为正三棱锥， 顶点D在底面ABC上的投影为的中心O， 取AB的中点G，则C，O，G三点共线，连接DG， 由题意得，，， ，， 因为，而， 故以D为球心，为半径的球与底面ABC相交于三段圆弧， 如图，分别为， 其中， 所以，同理， 所以，故， 同理， 所以， 所以，由于， 故以D为球心，为半径的球与底面ABD边AD，BD分别相交于R，T， 则即为球与底面ABD的交线， 因为，故，所以， 故，，则， 所以， 故以D为球心，为半径的球与底面DAC，DBC的交线长度也为， 所以交线的长度和. 12．答案：BD 解析：对于选项A，平面和可能相交，所以选项A是假命题； 对于选项B，由，可知， 再由，可得，故选项B是真命题； 对于选项C，直线n与平面可能相交，故选项C是假命题； 对于选项D，由，可知， 再由，可得，故选项D是真命题. 故选：BD 13．答案：AD 解析：是圆的直径，C在圆上，. 平面，平面，， 又，平面PAC， 平面PAC， 又平面，，故A正确； 平面PBC， 平面平面PAC，故D正确； 若平面PCB，则， 平面，，与矛盾，故B错误； 过点C作于D，如图， 若平面平面PBC，且平面平面，平面PBC，则平面PAB， 又平面，， 又，，平面PBC， 平面PBC， ，与矛盾，故C错误.故选AD. 14．答案：AD 解析：如图，易得，. 对于A，设上、下底面的中心分别为，O，则四边形为直角梯形.其中，，，所以，故A正确.对于B选项，因为，所以直线与BC所成角即直线为与AD所成角，在等腰梯形中，，，.过点作，交AD于点G，所以直线与AD所成角的余弦值为，故B错误.对于C，点在底面ABCD的射影为OB的中点，设为E，过点E作，垂足为F，易得，，平面，，所以平面.因为平面，所以，所以为二面角的平面角.易知，，所以，，故C错误.对于D，在正四棱台中，直线与底面ABCD所成的角和直线与底面ABCD所成的角相等，由C选项知为直线与底面ABCD所成的角，所以，所以，故D正确.选AD. 15．答案：证明见解析 解析：证明：，P分别为BC，BD的中点，， 又，，， 设平面， 平面，，， ，N分别为CA，CB的中点， ，， ，，， 平面，，，， 平面平面. 16．答案：证明见解析 解析：证明：如图，取的中点，连接. 是棱AB的中点， ，. 是棱的中点， ， 又，且， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， . 又平面，平面， 平面. 17．答案： 解析：连接EB，EC. 因为平面平面，， 所以平面ABCD. 又，所以平面ABCD，FH为四棱锥的高. 因为，平面平面ABCD， 所以平面FBC，所以平面FBC. 所以. . 18．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）连接和, 在斜三棱柱中,由, 所以为等腰直角三角形,所以为等腰直角三角形, 又D为的中点,所以, 又,,,所以, 所以,又D为的中点, 所以,又,平面, 所以平面,又平面, 所以平面平面; （2）由,所以,又为等腰直角三角形, 所以,又,所以, 又,所以和为等边三角形, 所以,所以,所以,又, 以D为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系, 所以, 所以, 所以, , 设平面的法向量为, 所以,令,得, 所以点A到平面的距离为. 19．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）设交于O,连接并交于,连接, 由正四棱台的性质可知平面,平面, 所以,又,,平面, 所以平面,又平面,所以平面平面; （2）取OC中点H,连接,则, 所以四边形为平行四边形,所以,而平面, 故平面,所以为与平面所成角, ,, , 所以,即与平面所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $