23.4 实际问题与一次函数（第2课时）-课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数解决方案选择问题，通过游泳馆套餐等实际案例导入，梳理从建立函数模型到比较优劣的思路，搭建数学模型与实际应用的学习支架，连接一次函数性质与实际决策。 其亮点是以生活案例为载体，通过建模型、找分界等步骤培养数学思维，用分段函数、图象等数学语言表达，提升学生用数学眼光分析问题的能力。分层练习帮助巩固，教师可高效教学，促进学生应用意识与实践能力发展。

第二十三章 一次函数 23.4 实际问题与一次函数 （第2课时） 1．能建立多个一次函数模型表示不同方案费用． 2．会通过解方程、不等式或图象比较方案优劣． 3．能结合自变量范围确定最优方案． 实际问题 建立数学模型 一次函数 y=kx+b(k≠0) 解析式 图象 性质 一次函数 问题的解 计算求解 实际问题 的答案 说一说利用一次函数解决实际问题的思路？ 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的．在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数． 4 探究1：下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次   选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？ 分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数．在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1800元，因此，y3＝1800（x≥0）．若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次   解：在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 化简，得 这个函数的图象如图所示． 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式 y2＝__________． 在图中画出y2，y3的图象 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A 600 20 40 B 1200 50 40 C 1800 不限次   y2 50 y3 1 200，0≤x≤50，40x-800，x>50. 结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数______________时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数___________________时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数______________时，选择套餐C能节省游泳费用． 不超过35次 不少于35次，不超过65次 不少于65次 一次函数方案选择类实际问题的解题步骤 （1）建模型：分析每个方案的收费 （或 费用）规则，设出自变量（如次数、数量），写出每个方案对应的函数解析式（注意分段函数要写清自变量范围） ． （2）找分界：令不同方案的函数值相等，解方程求出交点 （分界点），这个点是两种方案优劣的转折点． （3）分区间比较：以分界点为界，分情况讨论：自变量小于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？自变量大于分界点时，哪个函数值更小 （或更大）？ （4）定最优方案：结合自变量的实际取值范围（如非负整数、不超过某个数），确定每个区间内的最优方案． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 【综合拓展类练习】 实际问题与一次函数 方案选择类 建模型 找分界 分区间比较 定最优方案 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 【综合拓展类作业】 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 C 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． x＞300 3．在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 解：（1）根据题意得：，； （2）当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 4．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 D 5．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 解：（1）根据题意，得： ，其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）当时，， 故当购买了件款智能机器人模型时，总费用是元． （3）由题意，得， 由（1）可知为， 且， 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元． 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元． 1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 B 2．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 3．批发门市销售两种商品，甲种商品每件售价为300元，乙种商品每件售价为80元，五一来临之际，该门市为促销制定了两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：卖一件甲种商品就赠送一件乙种商品； 方案二：按购买金额打八折付款 某公司为奖励员工，购买了甲种商品20件，乙种商品件． (1)分别写出优惠方案一购买费用y（元）、优惠方案二购买费用y（元）与乙种商品x（件）之间的函数关系式； (2)当时，该公司选择哪一种方案更省钱？ 解：（1）根据题意得：优惠方案一购买费用， 优惠方案二购买费用． （2）当时，优惠方案一购买费用（元）， 优惠方案二购买费用（元）， ∵， ∴该公司选择方案二更省钱． 4．某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型 月费 （元/月） 套餐内包含内容 套餐外资费 国内数据流量（MB） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫 套餐1 18 100 0 0．29元/MB 0．19元/分钟 套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50 套餐4 48 500 50 小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（    ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 C 5．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 解：（1）学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． $