精品解析：2026年广西壮族自治区北海市第一中学一模数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为的两条弦，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不透明袋子中有红球2个，黄球2个，白球4个，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 140° 10. 为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ） A. B. C. D. 11. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 14. 分解因式： ________________． 15. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 16. 物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 __．（参考数据：，，． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 （1）__________，_________，___________； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 19. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 21. 综合与实践 如图①，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．如图②是一个正方形． 【观察判断】（1）图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是_____； 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图④． （2）请按照折纸的思路在图②中作内嵌正八边形并证明．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22. 根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的分类，根据正数是大于0的数进行求解即可． 【详解】解：由正数的定义可知四个数中，只有是正数， 故选：A． 2. 2024年中国体育代表团在巴黎奥运会上夺得40金27银24铜，创造了我国境外奥运参赛的最佳成绩，下列四个运动图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选： C． 3. 2024年1月3日8时38分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为公里，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，为的两条弦，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解决此题的关键． 根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ， 故选：C． 5. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是指从上面往下面看到的图形进行分析，作答即可． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是， 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 7. 不透明袋子中有红球2个，黄球2个，白球4个，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得取出的是红球的概率是：， 故选：C． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 9. 如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】由平角的定义和两直线平行同位角相等即可求出． 【详解】解：如图可得： ， ， ， （两直线平行同位角相等）． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线性质以及平角定义，熟练掌握平行线性质是解题关键． 10. 为了响应国家“双减”政策，育华中学适当改变学习方式，通过各学科知识的综合，进行探究性活动，达到寓教于乐，融会贯通的学习效果．如图，化学课上用值表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性，若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据溶液呈碱性，，以及将给定的溶液加水稀释，值逐渐接近，即可判断出溶液的值与所加水的体积之间对应关系的图象． 【详解】解：溶液呈碱性， ， 将给定的溶液加水稀释， 值逐渐减小，逐渐接近， 故选：B． 11. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆与圆的位置关系，圆锥的理解，勾股定理的应用，正方形的性质，弧长的计算，选择合适的方法解题是关键，先设正方形的边长为，设小圆的半径为，再分别计算每个选项的小圆的周长与扇形的弧长，再比较即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 如图，连接，，则， ，在上， 设， 过作于，连接， ∴四边形为矩形， ∴，，， 而， ∴， 解得：（舍去），， ∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故A不符合题意； 如图， 由正方形与圆的性质可得：， ∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故B符合题意； 如图，连接，，则， 设， 同理可得：，，， ∴， 解得：， ∴∴大的扇形的弧长为， 小圆的周长为，故C不符合题意； 如图，连接，， 设， 当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长， ∴， ∴， 而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意； 故选B 12. 已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图像求解即可． 【详解】解：由图像可得， 当或时，． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数和反比例函数的图像和性质． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 14. 分解因式： ________________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 15. 为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500 成活数 35 134 271 451 631 899 1350 成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900 估计这种幼苗移植成活的概率是___________（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可． 【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右． 这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9； 故答案为 ∶0.9． 16. 物理学告诉我们，当光从空气斜射入介质时会发生折射，其中入射角的正弦值和折射角的正弦值之比叫做这种介质的折射率．如图，入射光线在点处斜射入某一高度为，折射率为的长方体介质（其中为入射角，为折射角，过点且垂直于介质的上表面），若，则折射光线在该介质中传播的距离（即的长度）约是 __．（参考数据：，，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点作于点，由折射率的定义得，，进而求出，设，在中，根据勾股定理即可作答． 【详解】解：过点作于点， 由折射率的定义得， ， ， ， ， 设，则， ， 在中， 根据勾股定理，， 即， 解得， 故答案为：3.75． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）6 （2），2 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 （1）__________，_________，___________； （2）小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 【答案】（1） （2）70 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，从条形图中有效的获取信息，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算即可； （3）利用方差作决策即可． 【小问1详解】 解：， 九（2）班的五位成绩排序后，； 九（1）班成绩中出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由（1）（2）可知，两个年级的平均数相同，（1）班的方差小于（2）班的方差，成绩较为稳定，故（1）班的复赛成绩较好．（答案不唯一，合理即可） 19. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论； （2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴． ∵于点E， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：设的半径为， 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，， 即， ， 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键． 20. 某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题，解直角三角形斜坡问题，熟练掌握二次函数待定系数法求解析式、读懂题意、把实际问题转化为数学问题和熟记二次函数的顶点式是解题的关键． （1）根据抛物线解析式为，为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可； （2）连接，过点E作，根据题意点E、C、H点横坐标5，得，由斜坡的坡比为，即可求出，从而得到，然后把代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 由题可知，其图象顶点坐标为， 抛物线解析式为． 又抛物线过点， ． ． 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 如图，过点作于， 由题意得点的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ， ， ， ， 当时，， ， 处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 21. 综合与实践 如图①，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．如图②是一个正方形． 【观察判断】（1）图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是_____； 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图④． （2）请按照折纸的思路在图②中作内嵌正八边形并证明．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）A；（2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正金边形和圆，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据正八边形内嵌于正方形的定义可得结论； （2）根据正八边形的定义进行作图和证明即可． 【详解】解：（1）根据题意得图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是A； 故答案为：A ； （2）如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作． 证明：设，则， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， 八边形是正八边形． 22. 根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 23. 综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图①，在四边形中．． ，如图②，保持不动，将沿着方向向下平移，使得点与边的中点重合，得到． 操作发现： （1）连接，试猜想和的数量关系，并说明理由； （2）如图③，在图②的基础上，再将以点为旋转中心，按顺时针方向旋转一定角度，使点在同一条直线上（在中间），连接．试判断四边形的形状，并证明你的结论； 实践探究： （3）如图④，在图②的基础上，按（2）中的旋转方式继续旋转．当第一次恰好与垂直时停止旋转，设与交于点，与交于点，延长交于点，连接交于点，求线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）四边形为平行四边形，见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可； （2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． （3）证明是的中位线，，后利用正切函数，勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）理由如下：如解图， 是的中点，根据勾股定理，得， ， 由平移的性质，得， ， 为的中点， 又为直角三角形， ． （2）证明：四边形为平行四边形， 证明如下： 由旋转的性质，得， 在中， 是的中点， ， ． 由题图①得， ， 根据旋转的性质，可得， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：， ， ． ， ． ， ， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， ， ． ， ． 由（1）知，， 则， ， ， ， 在中，由勾股定理得，． 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握性质和三角函数，和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $