精品解析：甘肃兰州新区贺阳高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

甘肃兰州新区贺阳高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册至选择性必修第二册第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（ ） A. B. C. D. 2 6. 某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（ ） A. 120 B. 80 C. 60 D. 48 7. 如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知函数在处有极大值，则a＝（ ） A. 2 B. 14 C. －2或2 D. 2或14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三棱锥P－ABC的顶点分别为则（ ） A. B. 向量与的夹角的余弦值为 C. 平面ABC的一个法向量为 D. 直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（ ） A. d＝1 B. C. D. 11. 已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 3是的极小值点 C. 当时， D. 若，则过点可作两条直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 13. 已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______. 14. 记函数的导函数为，，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PBA＝∠PBC＝60°，BA＝BC＝4，PB＝6，D为AC的中点，M为BD的中点. （1）用表示，并求； （2）求异面直线PM与BC所成角的余弦值. 16. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 17. 已知a≠0，函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. （1）证明：. （2）求平面与平面所成角的余弦值. （3）若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）设有3个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若成等差数列，求该数列的公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃兰州新区贺阳高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册至选择性必修第二册第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】空间点到平面的距离即为该点坐标的绝对值. 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 2. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断. 【详解】依题意，，只有D正确. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 4. 已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】. 5. 若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 6. 某马拉松活动中，将6名志愿者分配到A，B，C三个服务点参加志愿工作，每人只去一个服务点，每个服务点至少安排1人.若A服务点恰好需要3名志愿者，则不同的安排方法种数为（ ） A. 120 B. 80 C. 60 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】分步：第一步选3人去A服务点，剩下3人分成两组去B，C两个服务点，一个去1人，一个去2人. 【详解】先选3人去A服务点，剩下3人按照1，2人数分组后安排去B，C两个服务点，不同的安排方法种数为. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 8. 已知函数在处有极大值，则a＝（ ） A. 2 B. 14 C. －2或2 D. 2或14 【答案】A 【解析】 【分析】求出，由解得值，然后检验参数取值是否满足题意.. 【详解】， 由题可知，解得a＝2或a＝14. 当a＝14时，，时，，递减，时，，递增，因此在处有极小值，不符合题意； 当a＝2时，，时，，递增，时，，递减，在处有极大值，符合题意. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知三棱锥P－ABC的顶点分别为则（ ） A. B. 向量与的夹角的余弦值为 C. 平面ABC的一个法向量为 D. 直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A.判断；B.由向量的夹角公式求解判断；C.由平面ABC的法向量定义求解判断；D.由直线与平面所成的角向量求法求解判断. 【详解】由已知得，则，所以，A正确； 因为，所以，B错误； 设平面ABC的法向量为，所以，令，则，可得，C正确； 直线PA与平面ABC所成角的正弦值为，D错误. 故选：AC 10. 设等差数列的前n项和为，公差为d，若，则（ ） A. d＝1 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得到，，再逐项判断. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 即，， ，A正确，B错误，C正确. 因为， 所以，D正确. 11. 已知函数的导函数为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 3是的极小值点 C. 当时， D. 若，则过点可作两条直线与曲线相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】已知式中令，求得，再求得，利用求得，从而得解析式，直接计算函数值判断A，利用导数判断BCD. 【详解】对A，令x＝0，得，即， 又，则， 所以，所以，故，A正确； 对B，，时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以3是的极小值点，B正确； 对C，当时，，则，C错误； 对D，设切点为，切线方程为， 点在切线上，所以，化简可得， 因为，所以， 故关于m的方程有两个解，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 13. 已知函数的图象在点处的切线如图所示，的导函数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】由图可知点处的切线斜率为，即， 则切线方程为，所以， 故. 14. 记函数的导函数为，，，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件构造函数，判定单调性后对原不等式变形，利用单调递减条件可转化为当时，恒成立，由此可求结论. 【详解】令，则， 所以函数为减函数. 由，可得， 即＜，所以当时，恒成立， 即，所以， 故a的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PBA＝∠PBC＝60°，BA＝BC＝4，PB＝6，D为AC的中点，M为BD的中点. （1）用表示，并求； （2）求异面直线PM与BC所成角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算及数量积的运算律求解即可； （2）根据向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 ， ， 故异面直线PM与BC所成角的余弦值为. 16. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【小问1详解】 由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. 【小问2详解】 设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 17. 已知a≠0，函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）时，单调递减区间为，无单调递增区间；时，单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按的正负分类讨论的正负，得单调区间； （2）求出的最小值，利用作差法证明这个最小值，作差后引入新函数，求出新函数的最小值得证. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 由，可得. 若，则在上恒成立， 则的单调递减区间为，无单调递增区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递减区间为，单调递增区间为， 【小问2详解】 当时，， 要证，只需证. 又，所以只需证. 令，则， 则当时，，当时，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以，即， 所以当时，. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面⊥底面，是等腰直角三角形，，是边长为2的等边三角形，D为的中点. （1）证明：. （2）求平面与平面所成角的余弦值. （3）若点A，B，，D均在球M的球面上，求球M的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. （3）利用空间两点间距离公式建立方程组，求出球半径，进而求出球的体积. 【小问1详解】 在斜三棱柱中，取的中点，连接， 由等腰，，得，由正，得， 由侧面⊥底面，侧面底面，侧面， 得⊥平面，而平面，则，由为的中点， 得四边形为平行四边形，则，，又， 平面，因此平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的一个法向量为，因此， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由，得，设球心，球半径为， 则,解得， 所以球的体积为. 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）设有3个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）若成等差数列，求该数列的公差. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）（i）由题意得有三个零点，进而构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而可求a的取值范围；（ii）根据零点的意义，结合等差数列的性质计算即可求解． 【小问1详解】 当时，，则. 又，所以 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）当时，无零点，故. 令，可得. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 由， 当时，， 当时，， 故有3个不同的零点，即函数的图象有3个交点， 故，解得.故a的取值范围是. （ii）由（i）可知， 所以， 则①，②. 设该等差数列的公差为， 即. 由①可得，得， 由②可得，得， 所以，化简得， 解得（负值舍去），即公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $