第14章 统计单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 高中数学第14章统计单元卷，立足单元复习，以共享助力单车、阶梯电价等现实情境为载体，全面考查统计核心知识，渗透数据分析与模型构建素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|频率、分层抽样、分位数|结合无锡期中、宿迁月考等真题情境| |多选|4/20|抽样方法、数字特征|公共卫生事件数据判断，考查批判性思维| |填空|4/20|频率分布直方图、方差|通州月考分数线估计，注重数据处理| |解答|6/70|用样本估计总体、统计决策|22题机器零件购买决策，体现模型意识与应用能力|

第14章　统计 （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名： 考号： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为(　　) A.2 B.5 C.15 D.80 2.(2025无锡期中)某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品,产量之比为2∶3∶4.为检验该厂家产品的质量,用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本,则样本中乙类型饮品的数量为(　　) A.16 B.24 C.32 D.48 3.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5),3. 总体中大于或等于31.5的数据约占(　　) A. B. C. D. 4.(2025宿迁月考)以下数据为参加数学竞赛决赛中15人的成绩:56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98.这15人成绩的70%分位数是(　　) A.86 B.87 C.88 D.89 5.(2025扬州月考)已知数据x1,x2,x3,…,x9的平均数是,方差是4,则数据x1,x2,x3,…,x9,的方差是(　　) A.3.4 B.3.6 C.3.8 D.4 6.某地区想实行阶梯电价,经调查发现,该地区居民用电量信息如表: 分位数 50%分位数 70%分位数 80%分位数 90%分位数 用电量/(kW·h) 160 176 215 230 如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内,约20%的居民用电在第二阶梯内,可确定第二阶梯电价的用电量(kW·h)的取值范围为(　　) A.(160,176] B.(176,215] C.(176,230] D.(230,+∞) 7.记样本x1,x2,…,xm的平均数为,样本y1,y2,…,yn的平均数为).若样本x1,x2,…,xm,y1,y2,…,yn的平均数为,则的值为(　　) A.3 B.4 C. D. 8.为了分析某次考试的情况,现随机抽取若干学生,将其考试成绩分组为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],并绘制成如图所示的频率分布直方图,据此可估计该次考试成绩的中位数m∈(k,k+1),则整数k的值为(　　) A.99 B.100 C.101 D.102 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列说法正确的是(　　) A.在统计里,最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法 B.一组数据的平均数一定小于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 10.(2025新海月考)某公司为了解用户对其产品的满意度,随机调查了10个用户,得到用户对产品的满意度评分如表所示,评分用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高,则下列说法正确的是(　　) 7 8 9 7 5 4 10 9 4 7 A.这组数据的平均数为0 B.这组数据的众数为7 C.这组数据的极差为6 D.这组数据的第75百分位数为9 11.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标准为“连续7天,每天新增疑似病例不超过5人”.在过去7日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,则一定符合该标准的是(　　) 甲地:总体平均数≤3,且中位数为0. 乙地:总体平均数为2,且标准差s≤2. 丙地:总体平均数≤3,且极差c≤2. 丁地:众数为1,且极差c≤4. A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地 12.如图,这是某公司2021年1月至12月空调销售任务完成情况的气泡图,气泡的大小表示完成率的高低,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,则下列叙述不正确的是(　　) A.2021年3月的销售任务是400台 B.2021年月销售任务的平均值不超过600台 C.2021年第一季度总销量为900台 D.2021年月销量最大的是6月份 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2025通州月考)某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机抽取了24名笔试者的成绩,统计结果如表所示. 分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90] 人数/人 2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线是 　　　　.  14.(2025泰州期中)某田径队6位运动员的体测成绩如下:甲78,乙86,丙64,丁77,戊83,己93.现从中挑选3位运动员参加集体赛,挑选条件为: ①丁一定要参加; ②3人的体测成绩总分要超过240(不含240); ③3人的体测成绩方差要小. 那么参加集体赛3人的名单应为　　　　.  15.如图,这是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,14)内的频数为　　　,数据落在[2,14)内的频率约为　　　　. 16.某市2020年各月平均房价同比(与上一年同月比较)和环比(与相邻上月比较)涨幅情况如图所示,根据此图考虑该市2020年各月平均房价:①同比2019年有涨有跌;②同比涨幅3月份最大,12月份最小;③1月份最高;④5月比9月高.其中正确结论的编号为　　　　.  四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知数据x1,x2,…,x10的平均数=20,方差s2=0.015.求: (1)3x1,3x2,…,3x10的平均数和方差; (2)4x1-2,4x2-2,…,4x10-2的平均数和方差. 18.(12分)随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享助力单车”在很多城市相继出现.某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度,随机调查了100名用户,得到用户的满意度评分,现将评分分为5组,如表: 组别 一 二 三 四 五 满意度评分 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] 频数 5 10 a 32 16 频率 0.05 b 0.37 c 0.16 (1)求表格中的a,b,c的值; (2)估计用户的满意度评分的平均数;(同一组数据取其中间值作代表) (3)若从这100名用户中随机抽取25人,估计满意度评分低于6分的人数. 19.(12分)(2025南京质检)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,从两厂各随机选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图: (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值; (2)若轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好. 20.(12分)某校从参加某次知识竞赛测试的学生中随机抽出60名学生,将其成绩(百分制;均为整数)分成六段,…,后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)根据频率分布直方图,从图中估计总体的众数是多少分,中位数是多少分; (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分. 21.(12分)(2025启东调研)加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理(简称“五项管理”),是深入推进学生健康成长的重要举措.某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行摸底,采用普查与抽样相结合的方式进行.现从某样本校中随机抽取20名学生参加体能测试,将这20名学生随机分为甲、乙两组,其中甲、乙两组学生人数之比为3∶2,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组学生的平均成绩为75分,方差为16;乙组学生的平均成绩为80分,方差为25. (1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩; (2)求这20名学生测试成绩的标准差s.(结果保留整数) 22.(12分)某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面统计图: 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机时同时购买的易损零件数. (1)若n=19,求y与x的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; (3)假设在购置这100台机器的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算购置这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件? 参考答案 1.B　由题意得20×0.25=5.故选B. 2.B　因为分层抽样总体和各层的抽样比例相同,所以各层在总体的比例与在样本的比例相同,所以样本中乙类型饮品的数量为72×=24.故选B. 3.B　由题意知样本的容量为66,而落在[31.5,43.5)内的样本数为12+7+3=22,故总体中大于或等于31.5的数据约占.故选B. 4.C　该组数据从小到大排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,且15×70%=10.5,所以这15人成绩的第70百分位数是88.故选C. 5.B　数据x1,x2,x3,…,x9的平均数是,方差是4,则数据x1,x2,x3,…,x9,的方差为s2=(4×9+0)=3.6.故选B. 6.C　∵约70%的居民用电在第一阶梯内,约20%的居民用电在第二阶梯内,∴由表中数据可得,第二阶梯电价的用电量(kW·h)的取值范围为(176,230].故选C. 7.D　由题意知x1+x2+…+xm=m,y1+y2+…+yn=n.所以,可得3m=n,所以.故选D. 8.B　考试成绩在[90,100)内的频率为 P=1-(0.004+0.008+0.015+0.025+0.015+0.006+0.004+0.002)×10=0.21, 该次考试成绩的中位数为m,则0.04+0.08+0.15+0.21+(m-100)×0.025=0.5,解得m=100.8∈(k,k+1),所以k=100.故选B. 9.ACD　平均数不大于最大值,不小于最小值,B项错误,其余全对.故选ACD. 10.BCD　这组数从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,所以这组数据的平均数为×(4+4+5+7+7+7+8+9+9+10)=7,所以选项A错误;这组数据的众数是7,所以选项B正确;这组数据的极差是10-4=6,所以选项C正确;因为10×75%=7.5,且第8个数是9,所以这组数据的第75百分位数为9,所以选项D正确.故选BCD. 11.CD　甲地:满足总体平均数≤3,且中位数为0,举例7天的新增疑似病例为0,0,0,0,5,6,7,则不符合该标准.乙地:若7天新增疑似病例为1,1,1,1,2,2,6,满足平均数为2,标准差小于2,但不符合该标准.丙地:由极差c≤2可知,若新增疑似病例超过5人,比如6人,那么最小值不低于4,总体平均数就会大于3,故每天新增疑似病例不超过5人,丙地符合该标准.丁地:因为众数为1,且极差c≤4,所以新增疑似病例的最大值不超过5,所以丁地符合.故选CD. 12.CD　由题图得3月份的销售任务是400台,所以A正确;由题图得2021年月销售任务超过600台的只有3个月,且平均值不超过600台,所以B正确;由题图得第一季度的总销量为300×50%+200×100%+400×120%=830(台),故C不正确;由题图得销量最大的月份是5月份,为800台,故D不正确.故选CD. 13.80　某高校进行自主招生,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机抽取了24名笔试者的成绩,24×=6.∵第6名的成绩最低为80,∴估计允许参加面试的分数线为80分.故答案为80. 14.乙、丁、戊　因为丁的体测成绩为77,且一定要参加,又3人的体测成绩总分要超过240分,所以另外两人的成绩之和要超过163,有3种情况.因为3人的体测成绩方差要小,所以分数较集中,故另外两人应选择戊83,乙86,所以参加集体赛3人的名单应为乙、丁、戊.故答案为乙、丁、戊. 15.136　0.76　∵样本数据落在[6,14)内的频率为0.08×4+0.09×4=0.68,且样本容量为200,∴样本数据落在[6,14)内的频数为0.68×200=136. 数据落在[2,14)内的频率为(0.02+0.08+0.09)×4=0.76. 16.②④　由某市2020年各月平均房价同比(与上一年同月比较)和环比(与相邻上月比较)涨幅情况折线图,知该市2020年各月平均房价:①同比2019年一直在涨,故①错误;②同比涨幅3月份最大,12月份最小,故②正确;③因为1至4月房价一直在涨,所以1月份最高错误,故③错误;④设5月份的房价为a,根据环比涨幅折线图,可算得9月份的房价为a(1-0.2%)×1×1×(1+0.2%)=0.999 996a<a,故5月份的房价比9月份的要高,故④正确.故答案为②④. 17.解 (1)设3x1,3x2,…,3x10的平均数为',方差为s'2, '=(3x1+3x2+…+3x10)=(x1+x2+…+x10)=3=3×20=60; s'2=[(3x1-3)2+(3x2-3)2+…+(3x10-3)2] =[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2] =9s2=9×0.015=0.135. (2)设4x1-2,4x2-2,…,4x10-2的平均数是″,方差为s″2, ∵(x1+x2+…+x10)=20, ∴″=(4x1-2+4x2-2+…+4x10-2) =(4x1+4x2+…+4x10-20) =(x1+x2+…+x10)-2 =4-2=4×20-2=78. ∵s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=0.015, s″2=[(4x1-2-4+2)2+(4x2-2-4+2)2+…+(4x10-2-4+2)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=16×0.015=0.24. 故4x1-2,4x2-2,…,4x10-2的平均数和方差分别是78和0.24. 18.解 (1)由频数分布表得,解得a=37,b=0.1,c=0.32. (2)估计用户的满意度评分的平均数为1×0.05+3×0.1+5×0.37+7×0.32+9×0.16=5.88. (3)从这100名用户中随机抽取25人,估计满意度评分低于6分的人数为25×(0.05+0.1+0.37)=13. 19.解 (1)甲厂10个轮胎宽度的平均值×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm), 乙厂10个轮胎宽度的平均值×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm). (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195, 平均数×(195+194+196+194+196+195)=195,方差×[(195-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(194-195)2+(196-195)2+(195-195)2]=. 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195, 平均数×(195+196+195+194+195+195)=195, 方差×[(195-195)2+(196-195)2+(195-195)2+(194-195)2+(195-195)2+(195-195)2]=. ∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小, ∴乙厂的轮胎相对更好. 20.解 (1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,则有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,解得x=0.3,∴分数在[70,80)内的频率为0.3,频率分布直方图如图所示. (2)∵分数在[70,80)内的小矩形最高,众数是最高小矩形中点的横坐标,∴众数为75. ∵分数在[40,70)内的频率为(0.01+0.015+0.015)×10=0.4, ∴中位数在(70,80]内. ∵中位数要平分直方图的面积, ∴中位数为70+≈73.3. (3)利用组中值估算抽样学生的平均分为 45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71, ∴估计这次考试的平均分是71分. 21.解 (1)由题知,甲、乙两组学生的人数分别为12,8, 则这20名学生测试成绩的平均数=77, 故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为77分. (2)由s2=变形得s2=-n), 设甲组学生的测试成绩分别为x1,x2,x3,…,x12, 乙组学生的测试成绩分别为x13,x14,x15,…,x20. 由甲组学生的测试成绩的方差[(+…+)-12×752]=16,得+…+=12×(16+752). 由乙组学生的测试成绩的方差[(+…+)-8×802]=25,得+…+=8×(25+802). 故这20名学生的测试成绩的方差 s2=[(+…+)+(+…+)-20×]=[12×(16+752)+8×(25+802)-20×772]=25.6, 所以s=≈5. 22.解 (1)当x≤19时,y=3 800; 当x>19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700. 所以y与x的函数解析式为 y=x∈N. (2)由统计图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19. (3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3 800×70+4 300×20+4 800×10)=4 000(元). 若每台机器在购机的同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4 000×90+4 500×10)=4 050. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 学科网（北京）股份有限公司 $