第14章统计 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第14章　统计　单元测试卷 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.5月31日是世界无烟日,新华小区随机调查了300个成年人,结果其中有45个成年人吸烟.对于这个关于数据收集与处理的问题,下列说法正确的是 (　　) A.调查的方式是普查 B.样本是45个吸烟的成年人 C.本小区只有255个成年人不吸烟 D.样本容量是300 2.福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03,…,32,33这33个两位号码中选取,小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码,选取方法是从第1行第9列和第10列的数字开始从左到右依次选取两个数字,则第四个被选中的红色球号码为 (　　) 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A.12　　　　　　B.33　　　　　C.06　　　　　D.16 3.下列抽样试验中,适合用抽签法的是 (　　) A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 4.已知某单位有职工120人,其中男职工有90人,现采用分层抽样(按男、女分层)抽取一个样本,若已知样本中有27名男职工,则样本的容量为 (　　) A.44 B.40 C.36 D.无法确定 5.甲、乙两组各八名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)如下. 甲:9,16,25,18,24,x,27,24. 乙:8,17,y,13,24,28,20,22. 已知甲组数据的25百分位数为14,乙组数据的平均数为18.5,则x,y的值分别为 (　　) A.12,16 B.12,18 C.14,16 D.14,18 6.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,成绩(满分10分)如图1所示,假设成绩的中位数为me,众数为mo,平均值为,则 (　　) 图1 A.me=mo= B.me=mo< C.me<mo< D.mo<me< 7.某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据(单位:吨)统计如下表所示. “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 现已知该市每天产生20 000吨垃圾,试估计该市生活垃圾投放错误的有 (　　) A.6 000吨 B.8 000吨 C.12 000吨 D.14 000吨 8.从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位:分),绘制成频率直方图(如图2),则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为 (　　) 图2 A.125分,125分 B.125.1分,125分 C.124.5分,124分 D.125分,124分 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分如下. 甲运动员得分:18,20,35,33,47,41. 乙运动员得分:17,19,19,26,27,29. 则下列四个结论中,正确的是 (　　) A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 10.在学期末,某校为了解学生对新食堂用餐满意度情况,学校按性别采用分层抽样的方法,从全校学生中抽取200名学生分别对食堂进行评分,满分为100分,分数在[50,60)为不满意,[60,70)为一般,[70,80)为比较满意,[80,90)为满意,[90,100]为非常满意.调查结果显示:最低分为51分,最高分为100分.将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率直方图. 女生评分结果的频率直方图,如图3: 图3 男生评分结果的频数分布表: 分数区间 频数 [50,60) 3 [60,70) 3 [70,80) 16 [80,90) 38 [90,100] 20 则下列说法正确的是 (　　) A.女生样本评分在[70,80)的人数为20人 B.女生样本评分的众数约为85分 C.男生样本评分的75百分位数约为90分 D.由样本总体平均数来估计学生的总体评价为“满意” 11.某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况,抽取了一个样本,其频率直方图如图4所示,其中支出在[50,60)元的学生有60人,则下列说法正确的是 (　　) 图4 A.样本中支出在[50,60)元的频率为0.03 B.样本中支出不少于40元的人数为132 C.估计该校学生一周在生活方面的平均支出为43.6元 D.若该校有2 000名学生,则一定有600人一周在生活方面的支出在[50,60)元内 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.顾客满意度指数是根据顾客对企业产品和服务质量的评价,通过建立模型计算而获得的一个指数,是一个测量顾客满意程度的经济指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越大表示满意程度越高,现某商场随机抽取9名顾客进行调查,得到他们的满意度指数分别为6,9,7,4,8,9,9,7,5,则这组数据的70百分位数是　　　　.  13.某次高一年级数学期末考试的填空题第六题,答对得4分,答错得0分,全年级480人的正确率高达90%,则全年级该题得分的标准差为　　　　分.  14.某班有50名学生,在一次考试中统计出平均分数为70分,方差为75分2,后来发现有2名学生的成绩统计有误,学生甲实际得分是80分,却误记为60分,学生乙实际得分是70分,却误记为90分,更正后的平均分数为　　　　分,方差是　　　　分2.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,从两厂各随机选取了10个轮胎,所选取轮胎的宽度(单位:mm)记录如下. 甲:195,194,196,193,194,197,196,195,193,197. 乙:195,196,193,192,195,194,195,192,195,193. (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎的宽度的平均数; (2)若轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎的宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎的宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个生产的轮胎相对更好. 16.(15分)我们国家正处于老龄化阶段,“老有所依”也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万,其中老人约有66万.为了了解老人们的健康状况,政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估,健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,制作成如图5所示的统计图. 图5 (1)若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况,则两个群体中各应抽取多少人? (2)估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比. 17.(15分)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组.已知测试分数均为整数,现用每组区间的中点值代替该组数据,得到体育成绩的折线图如图6所示. 图6 (1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”,已知该校高一年级有1 000名学生,试估计该校高一年级学生中“体育良生”的人数; (2)用样本估计总体的思想,试估计该校高一年级学生体育成绩的平均数; (3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且a∈[70,80),b∈[80,90),c∈[90,100],其中a,b,c∈N,当三人的体育成绩方差s2最小时,写出a,b,c的所有可能取值(不要求证明). 18.(17分)在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900. (1)若采用随机数表法抽样,已知用计算机产生的若干0~9范围内的随机数如下,以第1行第3个数5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行数读完之后接下一行左端,写出样本编号的中位数. 06512916935805770 95151268785855487 66475473320811124 49592631629562429 48269961655358377 88070421050674232 17558574944467169 41465526875875936 22412678630655130 82701501529393943 (2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差. 19.(17分)前些年部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识,把大量的污染物排放到空中与地下,严重影响了人们的正常生活,为此政府进行强制整治,一方面对不合格企业进行关闭或整顿,另一方面通过大量的绿化来净化和吸附污染物,通过几年的整治,环境明显得到好转,针对政府这一行为,老百姓大大点赞. (1)某机构随机访问50名居民,这50名居民对政府的评分(满分100分)如下表: 分数 [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100] 频数 2 3 11 14 11 9 请补全如图7所示的居民对政府的评分频率直方图. 图7 (2)当地环保部门随机抽测了今年6月的空气质量指数,其数据如下表所示: 空气质 量指数 (AQI) 0~50 51~100 101~150 151~200 天数 2 18 8 2 用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别,求出该月空气质量指数级别为第几级?(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)(相关知识参见附表) (3)空气受到污染,呼吸系统等疾病患者最易感染,根据历史经验,凡遇到空气轻度污染,小李每天服药的费用为50元,遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的11月份小李因受到空气污染而导致呼吸系统患病,花了5 000元医药费,试估计今年11月份(参考(2)中表格数据)小李比以前少花了多少钱的医药费. 附: 空气质 量指数 (AQI) 0~ 50 51~ 100 101~ 150 151~ 200 201~ 300 >300 空气质量 指数级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 空气 质量 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染 第14章 答案解析 1.D　因为调查方式是抽样调查,故选项A不正确;因为样本是这300个成年人,故选项B不正确;因为是随机调查的结果,故选项C不正确;因为随机调查了300个成年人作为样本,所以样本容量是300,故选项D正确. 2.C　第1行第9列和第10列的数字分别为6和3,所以选择的数为17,12 ,33, 06,32,22.第四个被选中的红色球号码为06. 3.B　对于A,D,选项中的总体的个体数较大,不适合抽签法,故A,D错误;对于C,甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,因此未达到“搅拌均匀”的条件,也不适合抽签法,故C错误;对于B,总体容量和样本容量都较小,且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了,故B正确. 4.C　设样本容量为x,则=,解得x=36. 5.A　甲组剩余7个数据从小到大排列为9,16,18,24,24,25,27,因为25×=2,所以14×2=16+x,所以x=12.因为18.5=×(8+17+y+13+24+28+20+22),所以y=16. 6.D　由条形统计图可知,30名学生的成绩依次为2个3分,3个4分,10个5分,6个6分,3个7分,2个8分,2个9分,2个10分.中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5分. 5出现次数最多,故mo=5分. =×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97(分). 于是得mo<me<. 7.A　由于1 000吨生活垃圾中投放错误的有30+20+100+20+100+30=300(吨),故生活垃圾投放错误的频率约为=0.3.又该市每天产生20 000吨垃圾,故可估计该市生活垃圾投放错误的有20 000×0.3=6 000(吨).故选A. 8.D　由题图可知,(a+a－0.005)×10=1－(0.01+0.015+0.03)×10,解得a=0.025,则这100名学生成绩的平均数为105×0.1+115×0.3+125×0.25+135×0.2+145×0.15=125(分).设中位数为x分,则x在120~130之间,则0.01×10+0.03×10+0.025×(x－120)=0.5,解得x=124. 9.ABC　对于A,极差是数据中最大值与最小值的差,由题中的数据可得甲运动员得分的极差为47－18=29,乙运动员得分的极差为29－17=12,故甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差,因此A正确; 对于B,甲运动员的得分从小到大排列为18,20,33,35,41,47,处于中间的数是33,35,所以甲运动员得分的中位数是34,同理求得乙运动员得分的中位数是22.5,因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数,故B正确; 对于C,甲运动员得分的平均值为×(18+20+35+33+47+41)≈32.33,乙运动员得分的平均值为×(17+19+19+26+27+29)≈22.83,因此甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值,故C正确; 对于D,分别计算甲、乙两个运动员得分的方差,方差小的成绩更稳定,可以算出甲的方差为≈×[(18－32.33)2+(20－32.33)2+(35－32.33)2+(33－32.33)2+(47－32.33)2+(41－32.33)2]≈ 109(分2),同理得出乙的方差为≈21(分2),因为乙的方差小于甲的方差,所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定,故D不正确. 10.BCD　由男生评分结果的频数分布表知男生共80人,∴女生抽取了120人, 由女生评分结果的频率分布直方图可知,女生样本评分在[70,80)的人数为120×0.020×10=24(人),故A错误; 由女生评分结果的频率分布直方图可知,众数为=85(分),故B正确; 由男生评分结果的频数分布表可得前四组的频率之和为=0.75,故男生样本评分的75百分位数约为90分,故C正确; 易知a=0.1－0.005－0.02×2－0.04=0.015,女生样本评分的平均数约为55×0.05+65×0.15+75×0.2+85×0.4+95×0.2=80.5(分), 男生样本评分的平均数约为55×+65×+75×+85×+95×=83.625(分),故样本总体平均数约为80.5×+83.625×=81.75(分), 所以估计学生的总体评价为“满意”,故D正确. 故选BCD. 11.BC　由频率分布直方图得: 在A中,样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.010+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误; 在B中,样本中支出不少于40元的人数为×60+60=132,故B正确; 在C中,由频率分布直方图可估计平均数为25×0.1+35×0.24+45×0.36+55×0.3=43.6(元),故C正确; 在D中,若该校有2 000名学生,则0.3×2 000=600(人),故可能有600人一周在生活方面的支出在[50,60)元内,故D错误. 12.9　该组数据从小到大排列为4,5,6,7,7,8,9,9,9.因为70×=6.3,所以这组数据的70百分位数是9. 13.1.2　根据题意,全年级480人的正确率高达90%,即得4分的有480×90%=432(人),其余48人的得分为0分,则得分的平均数==3.6(分),则全年级该题得分的方差s2=×[(4－3.6)2×432+(0－3.6)2×48]=1.44(分2),则其标准差s=1.2(分). 14.70　67　设更正前甲、乙的成绩依次为a1,a2,其余同学的成绩依次为a3,a4,…,a50, 则a1+a2+…+a50=50×70,即60+90+a3+…+a50=50×70, (a1－70)2+(a2－70)2+…+(a50－70)2=50×75, 即102+202+(a3－70)2+…+(a50－70)2=50×75. 更正后平均分数为=×(80+70+a3+…+a50)=70(分), 更正后方差为s2=×[(80－70)2+(70－70)2+(a3－70)2+…+(a50－70)2]=×[100+(a3－70)2+…+(a50－70)2]=×(100+50×75－102－202)=67(分2). 15.(1)甲厂10个轮胎的宽度的平均数=×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195(mm),乙厂10个轮胎的宽度的平均数=×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194(mm). (2)甲厂10个轮胎的宽度中,在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195, 平均数=×(195+194+196+194+196+195)=195, 方差=×[(195－195)2+(194－195)2+(196－195)2+(194－195)2+(196－195)2+(195－195)2]=, 乙厂10个轮胎的宽度中,在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195, 平均数=×(195+196+195+194+195+195)=195, 方差=×[(195－195)2+(196－195)2+(195－195)2+(194－195)2+(195－195)2+(195－195)2]=, ∵甲、乙两厂的标准轮胎的宽度的平均数相等,但乙厂的方差更小, ∴乙厂生产的轮胎相对更好. 16.(1)整理数据如下表: 健康情况 健康 基本健康 不健康尚 能自理 不能自理 80岁及以 上人数 20 45 20 15 80岁以 下人数 200 225 50 25 从图表中知, 80岁及以上老人应抽取8×=3(人), 80岁以下老人应抽取8×=5(人). (2)在600人中80岁及以上老人所占比为=, 用样本估计总体,得80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为××100%=2.75%. 17.(1)由折线图得体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30(人),∴估计该校高一年级学生中“体育良生”的人数为1 000×=750(人). (2)用样本估计总体的思想估计该校高一年级学生体育成绩的平均数为=×(45×2+55×6+65×2+75×14+85×3+95×13)=77.25(分). (3)∵甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且a∈[70,80),b∈[80,90),c∈[90,100],其中a,b,c∈N, ∴当三人的体育成绩方差s2最小时,a,b,c的所有可能取值为79,84,90或79,85,90. 18.(1)根据题意,读出的编号依次是:512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332. 将有效的编号从小到大排列,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876, 所以中位数为×(647+687)=667. (2)记样本中8个A题目的成绩分别为x1,x2,…,x8,2个B题目的成绩分别为y1,y2. 由题意可知xi=8×7=56,(xi－7)2=8×4=32, yi=2×8=16,(yi－8)2=2×1=2, 故样本平均数为=×(xi+yi)=×(56+16)=7.2(分); 样本方差为 s2=×[(xi－7.2)2+(yi－7.2)2] =×{[(xi－7)－0.2]2+[(yi－8)+0.8]2} =×[(xi－7)2－0.4×(xi－7)+8×0.22+(yi－8)2+1.6×(yi－8)+2×0.82] =×(32－0+0.32+2+0+1.28) =3.56(分2). 所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为7.2分,方差为3.56分2. 19.(1)由评分表可知,相应区间频率除以组距的值分别为0.008,0.012,0.044,0.056,0.044,0.036,其频率分布直方图如图D 1所示. 图D 1 (2)由题得,该月空气质量指数平均值为≈91.667∈(50,100). 对照表格可知,该月空气质量指数级别为第Ⅱ级. (3)估计今年11月份轻度污染有8天,中度污染有2天,所以小李花费的药费为8×50+2×100=600(元).又5 000－600=4 400(元),所以相比环境整冶前的11月份,小李少花费了4 400元的医药费. 学科网（北京）股份有限公司 $