第15章 概率单元测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 高中数学第15章“概率”单元卷，120分钟150分，覆盖概率核心知识，结合彩票、运输、游戏等真实情境，通过基础概念辨析与综合应用问题，培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|概率定义（第1题）、互斥对立事件（第2题）、古典概型（第3题）|结合生活情境（如彩票中奖、产品抽取），基础概念辨析| |多选|4/20|条件概率（第9题甲罐取球）、独立事件（第10题两袋摸红球）|多选项设计考查概念辨析，融入跨情境问题| |填空|4/20|古典概型（第13题获奖选2人）、概率应用（第16题调查闯红灯）|结合社会调查（如怀特错觉、学号调查），体现数据意识| |解答|6/70|古典概型（17题掷骰子）、独立事件（19题三人通过考试）、实际应用（22题驾驶证补考费）|分层设计，从基础计算到综合应用，培养逻辑推理与模型意识|

第15章　概率 （考试时间：120分钟 满分：150分） 姓名： 考号： 成绩： 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.“某彩票的中奖概率为”意味着(　　) A.买100张彩票就一定能中奖 B.买100张彩票能中一次奖 C.买100张彩票一次奖也不中 D.购买彩票中奖的可能性为 2.(2025常州期末)在8件同类产品中,有6件正品,2件次品,从这8件产品中任意抽取2件产品,则下列说法正确的是(　　) A.事件“至少有一件是正品”是必然事件 B.事件“都是次品”是不可能事件 C.事件“都是正品”和“至少有一个正品”是互斥事件 D.事件“至少有一个次品”和“都是正品”是对立事件 3.一个骰子连续投2次,点数和为i(i=2,3,…,12)的概率记作Pi,则Pi的最大值是(　　) A. B. C. D. 4.若干人站成一排,其中为互斥事件的是(　　) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 5.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)(　　) A. B. C. D. 6.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A. B. C. D. 7.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着一枚硬币,所有硬币均相同,所有人同时抛出自己的硬币.若落在圆桌上时硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(　　) A. B. C. D. 8.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示. 所用时间/天数 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙,则下列说法正确的是(　　) A.汽车A选择的最佳路径是公路2 B.汽车B选择的最佳路径是公路1 C.汽车A选择的最佳路径是公路2, 汽车B选择的最佳路径是公路1 D汽车A选择的最佳路径是公路1, 汽车B选择的最佳路径是公路2 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.(2025苏州月考)甲罐中有3个红球、2个白球,乙罐中有4个红球、1个白球,先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐,分别以A1,A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件,再从乙罐中随机取出1个球,以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件,下列说法正确的是(　　) A.P(B)= B.事件B与事件A1相互独立 C.事件B与事件A2相互独立 D.A1,A2互斥 10.(2025盐城调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球不都是红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球中恰有1个红球的概率为 11.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,下述结论中,正确的是(　　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55 12.甲、乙两名同学各拿出6张游戏牌,用作投骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜,得12张游戏牌,并结束游戏.比赛开始后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事件中断游戏,以后他们不想再继续这场游戏,下面对这12张游戏牌的分配不合理的是(　　) A.甲得9张,乙得3张 B.甲得6张,乙得6张 C.甲得8张,乙得4张 D.甲得10张,乙得2张 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(2025南京调研)某公司20名员工参加岗位技能比赛,其中10名员工获奖,获奖情况如下: 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数/人 3 6 1 该公司员工张师傅获得一等奖.现从获得一等奖的3名员工中任选2人参加经验交流活动,则张师傅被选到的概率等于　　　　(用数字作答).  14.(2025江宁调研)来自澳大利亚的心理学家Michael White设计出了一种被人称为“怀特错觉”的光学戏法.这类型的图片只有三种颜色——黑、白、灰,但大多数人都会看到四种颜色.这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中,从视觉上看,原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种.某班同学用下边图片验证怀特错觉,在所调查的100名调查者中,有55人认为图中有4种颜色,有45人认为图中有3种颜色,而在被调查者所列举的颜色中,有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色,不算在图片颜色之中),根据这个调查结果,估计在人群中产生怀特错觉的概率为　　　　.  15.甲、乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是,二人射击情况互不影响.若甲、乙各射击一次,则预测二人命中同色区域的概率为　　　　.  16.为了了解学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题,否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”.因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是　　　　.  四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2025镇江月考)同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体). (1)求两颗骰子向上的点数相等的概率; (2)求两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的整数倍的概率. 18.(12分)(2025宿迁月考)袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只(所有的球除颜色外都相同),从中每次任取1只,有放回地抽取3次. (1)求3只球颜色全相同的概率; (2)求3只球颜色不全相同的概率. 19.(12分)在某种考试中,设A,B,C三人通过的事件分别记为A,B,C,概率分别是,且各自通过的事件是相互独立的. (1)求3人都通过的概率; (2)求只有2人通过的概率; (3)几人通过的事件最容易发生? 20.(12分)(2025如东调研)小王某天乘坐火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响. (1)求恰好有两列火车正点到达的概率; (2)求至少有一列火车正点到达的概率; (3)求恰有一列火车正点到达的概率. 21.(12分)某社区为丰富居民业余生活,举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛,比赛共分为两轮.在第一轮比赛中,每位参赛选手均需参加两关比赛,若其在两关比赛中均达标,则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中,选手A,B第一关达标的概率分别是;第二关达标的概率分别是.A,B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响. (1)分别求出选手A,B进入第二轮比赛的概率; (2)若A,B两人均参加第一轮比赛,求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率. 22.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要想顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完5次机会为止. (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率; (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 参考答案 1.D　“某彩票的中奖概率为”,对于A,买100张彩票不一定能中奖,故A错误;对于B,买100张彩票有可能中一次奖,故B错误;对于C,买100张彩票有可能中一次奖,故C错误;对于D,购买彩票中奖的可能性为,故D正确.故选D. 2.D　因为抽取的两件产品有可能都是次品,所以A,B错误;因为事件“至少有一个正品”包含事件“都是正品”,所以C错误;因为事件“至少有一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件,互为对立事件,所以D正确,故选D. 3.B　样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个.其中两数之和等于7的有6个,两数之和等于其余数字的都少于6个,故P7=最大.故选B. 4.A　由互斥事件的定义可得“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件.故选A. 5.B　设事件A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件B:“从中任挑一儿童,这两项都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为,身体关节构造不合格的概率为,所以P,故P=1-P=1-.故选B. 6.B　所求概率为P=或P=1-.故选B. 7.B　如图,抛四枚硬币,总的结果有16种,“没有相邻的两个人站起来”记为事件A,可分为三类:一是没有人站起来,只有1种结果:二是1人站起来,有4种结果;三是有2人站起来,可以是AC或BD,有2种结果.所以满足题意的结果共有1+4+2=7(种),即P(A)=.故选B. 8.D　通过公路1到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2;通过公路2到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,0.4,0.4,0.1. 设A1,A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发,分别选择公路1,2将货物运往城市乙,且B1,B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发,分别选择公路1,2将货物运往城市乙, 则P(A1)=0.2+0.4=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P(B1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, 所以汽车A最好选择公路1,汽车B最好选择公路2.故选D. 9.AD　根据题意画出树形图,得到有关事件的样本点数: 因此P,P,P(B)=,A正确;又P(A1B)=,因此P≠PP(B),B错误;同理,C错误;A1,A2不可能同时发生,故彼此互斥,故D正确.故选AD. 10.ACD　设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2, 则P,P,且A1,A2独立. 在A中,2个球都是红球为A1A2,其概率为,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为,D正确.故选ACD. 11.ABC　依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18, 显然事件A,B互斥,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27, 事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45,故A,B,C正确,D不正确.故选ABC. 12.BCD　由题意,得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为,即甲、乙每局得分的概率相等,所以继续游戏甲获胜的概率是,乙获胜的概率是.所以甲得到的游戏牌为12×=9(张),乙得到的游戏牌为12×=3(张).故选BCD. 13.　从获得一等奖的3名员工中任选2人,共有3种方法.若张师傅当选,则从剩余的2人中选一人,共有2种方法.所以获得从一等奖的3名员工中任选2人,张师傅被选到的概率P=,故答案为 . 14.0.95　因为在所调查的100名调查者中,55人认为图中有4种颜色,有45人认为图中有3种颜色,而在被调查者所列举的颜色中,有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色,不算在图片颜色之中),所以100名调查者中,产生怀特错觉的人数为55+40=95,因此估计人群中产生怀特错觉的概率为=0.95.故答案为0.95. 15.　设甲射中红、黄、蓝三色区域的事件分别为A1,A2,A3,乙射中红、黄、蓝三色区域的事件分别为B1,B2,B3, ∴P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(B1)=, P(B2)=,P(B3)=. ∵二人射击情况互不影响,相互独立, ∴二人命中同色区域的概率P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=.故答案为. 16.60　设闯红灯的概率为P,由已知中“向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?”再由“调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题,否则就回答第(2)个问题”,可得回答“是”有两种情况: ①正面朝上且学号为奇数,其概率为; ②反面朝上且闯了红灯,其概率为×P. 故回答“是”的概率为, 解得P=0.1.所以闯红灯人数为600×0.1=60.故答案为60. 17.解 (1)同时掷两颗骰子包括的基本事件共36种, 掷两颗骰子向上的点数相等包括的基本事件为6种, 故所求的概率为. (2)两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的倍数时,用坐标记为(2,4),(4,2),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(5,1),(1,5),(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),共包括16个基本事件, 故两颗骰子向上的点数不相等,且一个点数是另一个点数的整数倍的概率为. 18.解 (1)3只球颜色全相同包括3只球全是红球(记为事件A),3只球全是黄球(记为事件B),3只球全是白球(记为事件C),且它们彼此互斥,故3只球颜色全相同这个事件可记为A+B+C.又P(A)=P(B)=P(C)=,故P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=. (2)记“3只球颜色不全相同”为事件D,则事件为“3只球颜色全相同”. 又P()=P(A+B+C)=,所以P(D)=1-P()=1-,故3只球颜色不全相同的概率为. 19.解 (1)3人都通过的概率P=P(A)P(B)P(C)=. (2)只有2人通过的概率P=1-××1-××1-=. (3)3人都未通过的概率是1-×1-×1-=,只有1人通过的概率是1-, 经比较得只有1人通过的概率最大,所以1人通过的事件最容易发生. 20.解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,且A,B,C相互独立. (1)由题意得,恰好有两列火车正点到达的概率为P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P()=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. (2)由题意得,至少有一列正点到达的概率为1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. (3)由题意得,恰有一列火车正点到达的概率为P(A)+P()+P(C)=P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C)=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9=0.092. 21.解 (1)设事件A1为“A在第一轮第一关比赛中达标”,事件A2为“A在第一轮第二关比赛中达标”,事件B1为“B在第一轮第一关比赛中达标”,事件B2为“B在第一轮第二关比赛中达标”. 则A进入第二轮比赛的概率P(A1A2)=P(A1)P(A2)=, B进入第二轮比赛的概率P(B1B2)=P(B1)P(B2)=. (2)由(1)可知A没有进入第二轮比赛的概率P1=1-P(A1A2)=1-, B没有进入第二轮比赛的概率P2=1-P(B1B2)=1-,则A,B两人都没有进入第二轮比赛的概率为P1P2=. 故A,B两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率P=1-. 22.解 (1)设这对夫妻中,“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件Ai,“妻子在科目二考试中第i次通过”为事件Bi,则P,P. 设事件A=“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,事件B=“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,事件C=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”, 则P=P=P+P, P=P=P+P,P=P. 因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为. (2)设事件D=“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,事件E=“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,事件F=“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”,则P=P,P=P,P=P. 因此,这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $