第五节　数列的综合应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的综合应用”专题，覆盖数列与数学文化、不等式交汇、函数导数交汇三大高考核心考点，依据高考评价体系分析各考点权重，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+方法归纳+素养提升”策略，如2023北京高考环权问题、2025全国一卷导数交汇题，通过放缩法、错位相减法等突破技巧，培养数学思维与数学语言表达素养。设“总结反思”与“规范答题”模块，助学生掌握得分技巧，教师可据此系统指导复习，高效备战高考。

第五节 第六章　数列 数列的综合应用 【例1】　(2026·汉中模拟)鬼工球,又称同心球,要求制 作者使用一整块完整的材料,将其雕成每层均同球心的 数层可自由转动的空心球,空心球的球面厚度不计.为保 证鬼工球的每一层均可以自由转动,要求其从最内层起,每层与其外一层球面的间距构成首项为1 mm、公差为4 mm的等差数列,若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为190 mm,则该鬼工球的层数为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 考点一 数列与数学文化 层球面的间距构成首项a1=1 mm、公差d=4 mm的等差数列.设该鬼工球的层数为n,由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前(n-1)项和,即Sn-1=190 mm.又a1=1,d=4,所以n-1+×4 =190,即2n2-5n-187=0,解得n=11(负值舍去).该鬼工球的层数为11.故选C. 解析 在处理实际问题时,要能从题意中提炼出该问题所具备的数列模型,或等差数列、等比数列,或根据条件列出递推关系,然后根据数列相关知识分析处理. 【训练1】　(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an},该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=_________;数列{an}所有项的和为_____________. 48 384 解法一:设前3项的公差为d,后7项公比为q>0,则q4===16,且q>0,可得q=2,则a3=1+2d=,即1+2d=3,可得d=1,可得a3=3,a7=a3q4=48,a1+ a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+=384. 解析 解法二:因为{an},3≤n≤7为等比数列,则=a5a9=12×192=482,且an>0,所以a7=48;又因为=a3a7,则a3==3;设后7项公比为q>0,则q2==4,解得q=2,可得a1+a2+a3==6,a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9= ==381,所以a1+a2+…+a9=6+381-a3=384. 解析 【例2】　已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,4Sn=anan+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 考点二 数列与不等式的交汇 因为4Sn=anan+1,n∈N*,所以4a1=a1·a2,又a1=2,所以a2=4,当n≥2时, 4Sn-1=an-1an,得4an=anan+1-an-1an.由题意知an≠0,所以an+1-an-1=4,所以数列{an}的奇数项与偶数项分别为等差数列,公差都为4,所以a2k-1= 2+4(k-1)=2(2k-1),a2k=4+4(k-1)=2·2k,所以数列{an}是等差数列,首项为2,公差为2.综上可知,an=2n,n∈N*. 解 (2)设数列的前n项和为Tn,求证:<Tn<. 因为=>=,所以Tn=++…+>==.又因为=< ==,所以Tn=++…+<=<,即得<Tn<. 证明 放缩法的注意事项以及解题策略 1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和,再放缩证明不等式;若不能求和,则可考虑先放缩后求和证明不等式.放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和的数列. 2.明确放缩的方向:若要证明小于某值,则放大;若要证明大于某值,则缩小. 3.放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,可从第1项开始,或从第2项,或从第3项等开始. 【训练2】　已知函数f(x)=x2+3x,f(n)为数列{an}的前n项和. (1)求{an}的通项公式; 由题意知,{an}的前n项和Sn=n2+3n,当n=1时,a1=S1=1+3=4,当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2,经检验,a1=4满足an=2n+2,所以{an}的通项公式为an=2n+2; 解 (2)记数列的前n项和为Tn,证明:Tn<. 因为f'(x)=2x+3,所以f'(2n)=4n+3,所以== ,又<==,所以<,所以Tn<=,因为1-<1,所以<,故Tn<<<. 证明 【例3】　(2025·全国一卷)(15分)已知数列{an}中,a1=3,=+ . (1)证明:数列{nan}为等差数列; (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2). 考点三 数列与函数、导数交汇问题………………规范答题 [思考] ❶证明等差数列的方法有哪些? ❷一般怎么处理? ❸错位相减法求和的步骤是什么? 【书写表达】————规范答题 步步为赢 得满分 (1)(第一给分点:5分) 证明:解法一:在数列{an}中,a1=3,=+,等式两边同乘n(n+1), 得(n+1)an+1=nan+1, [2分] 即(n+1)an+1-nan=1, [3分] 又因为1×a1=3,所以数列{nan}是首项为3,公差为1的等差数列❶. [5分] 解法二:由a1=3,=+ , 得-=-,　[1分] 去分母得(n+1)(an+1-1)=n(an-1),　[2分] 所以{n(an-1)}是首项为2的常数列. 故nan=n+2,　[3分] 则(n+1)(an+1-1)-nan=(n+3)-(n+2)=1, 所以数列{nan}是首项为3,公差为1的等差数列.　[5分] (2)(第二给分点:10分) 解法一:由(1)知,数列{nan}的通项公式为nan=3+(n-1)×1=n+2,　[6分] 因为f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+amxm, 所以f'(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+mamxm-1, [8分] 则f'(x)=3+4x+5x2+…+(m+2)xm-1　①❸, [9分] ①式两边同时乘x(x≠1), 得xf'(x)=3x+4x2+5x3+…+(m+2)xm, [11分] 两式相减得 (1-x)f'(x)=3+(x+x2+…+xm-1)-(m+2)xm=3+-(m+2)xm.　[13分] 当x=-2时, 3f'(-2)=3+-(m+2)·(-2)m, [14分] 所以f'(-2)=-·(-2)m.　[15分] 解法二:由(1)可知,数列{nan}的通项公式为 nan=3+(n-1)×1=n+2,　[6分] 又f'(x)=a1+2a2x+…+mamxm-1, 故f'(-2)=3+4×(-2)+…+(m+2)×(-2)m-1,　[9分] 所以-2f'(-2)=3×(-2)+4×(-2)2+…+(m+2)×(-2)m.　[11分] 两式相减,得 3f'(-2)=3+(-2)+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)×(-2)m=-×(-2)m, [14分] 所以f'(-2)=-×(-2)m.　[15分] 【训练3】　已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为 (　　) A.(-∞,-2)∪[1,+∞) B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.[-2,2] 因n(an+1-an)=an+1,则nan+1-(n+1)an=1,则-==-,即=,因a1=2,则=3,故数列是各项为3的常数列,则 解析 =3,即an=3n-1,则==3-<3,因对于任意的a∈[-2,2],n∈ N*,不等式<2t2+at-1恒成立,则2t2+at-1≥3,即2t2+at-4≥0对任意的a∈[-2,2]恒成立,令f(a)=2t2+at-4=ta+2t2-4,a∈[-2,2],则f(2)=2t+2t2-4≥0,f(-2)=-2t+2t2-4≥0,即得t≥2或t≤-2,故实数t的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).故选B. 解析 $