精品解析：江苏淮安外国语学校2025-2026学年下学期七年级数学期中考试卷

初一数学期中考试 （120分钟 满分150分） 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；  C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘除法法则，积的乘方法则和合并同类项法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加，可得，运算正确； B、根据同底数幂除法法则，，运算错误； C、根据积的乘方法则，，运算错误； D、与次数不同，不是同类项，不能合并，运算错误． 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、D选项不成立，不符合题意；C选项一定成立，符合题意． 4. 若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 5. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程组的解的定义，将已知的，的值代入原方程组，求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将原不等式右边变形，可得： . ∵原不等式的解集为，不等号方向没有改变， ∴. 解得． 7. 若满足，思考发现，则的值是（ ） A. 60 B. 54 C. 36 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到 ， ，进而求出和的值，再根据 ，进行求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴ . 8. 如图，已知四边形纸片．按图、图的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠可知， 根据平行线的性质结合角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由折叠可知， ． ，平分， ， ． 二、填空题 9. 计算：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】逆用积的乘方进行求解即可. 【详解】解：原式. 10. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先进行多项式乘多项式的运算，使结果中的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵与的乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算，是解题的关键． 11. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】两式相减可得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 得： ， ， ， ， 解得． 12. 如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴，  ，  点，是边上的两点， 和关于直线对称，  ， 由图可知，阴影部分的面积． 13. 如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据旋转的性质结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵把绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∴. 14. 如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 【答案】93 【解析】 【分析】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据 ，可整体求得的值，即长方形的面积. 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴长方形的面积为. 15. 如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：且且和的周长和为；④；⑤若，则边边扫过的图形面积为，正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用平移的性质即可判断①②；根据三角形的周长公式及线段的和差关系计算和的周长和，即可判断③；利用平移可得，再根据面积的和差关系即可判断④；根据边扫过的图形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式计算即可判断⑤，综上即可求解 【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且；且，，故结论①②正确； ∵的周长为，  ∴，  ∵，，  ∴和的周长和为        ，故结论③错误； ∵，，，  ∴，故结论④正确； 由平移的性质得：，  ∵，，  ∴边扫过的图形的面积为，故结论⑤错误； 综上，正确的是①②④． 16. 已知实数，，满足，，则代数式的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将两个等式联立，作差消去，可得 ，然后对所求代数式进行变形，将整体代入化简整理，然后根据 确定所求代数式的最小值． 【详解】解：由题意， ，， 两式作差消去得 ，即 ， ， ， ， ， 代数式的最小值为． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘法运算，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 得 ， 得， 解得， 将代入得 ， 解得， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得 ， 得， 解得， 将代入得， 解得， 方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式进行计算，再合并同类项对式子化简，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据图形平移的性质得出，再根据线段的和差关系求解即可； （2）由图形平移的性质得出，，再根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得，， ， ； 【小问2详解】 解：由平移的性质可得，，， ． 21. 在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． （1）求的值； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入 即可求解； （2）将代入，将代入，得到关于的二元一次方程组，求出，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：将代入 有 ， ； 【小问2详解】 解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 解得： ， 解得：， ∵为正整数， ． 22. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），仅用无刻度直尺完成下列作图． （1）在图中，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的图形为； （2）在图中，将绕格点逆时针旋转得； （3）在图中，已知点是格点，线段所在直线是的对称轴，点是边上任意一点，在边上找点使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （3）在边上取任意一点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，在边上取任意一点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求，使得． 线段所在直线是的对称轴， ， ， ， ， ，即 ， ，， ， ， ． 23. 某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 （1）求、两种型号电风扇的销售单价； （2）超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 【答案】（1）种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 （2）不能实现利润恰好为1200元的目标，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解决问题的关键． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元． 依题意，得， 解得， 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元； 【小问2详解】 解：不能实现利润恰好为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， ， 解得， ∵根据题意，，都为正整数， ∴不合题意，舍去， 不能实现利润恰好为1200元的目标． 24. 阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得 （1）学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 （2）拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组 （3）对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）模仿材料的换元法，设 ，解新方程组后回代得到原方程组的解； （2）将待解方程组变形，对应已知方程组的解做整体换元求解； （3）根据新定义列出等式，通过整体计算得到所求值． 【小问1详解】 解：对于方程组 令 则原方程组可化为 整理得 解得 因此 解得 【小问2详解】 解：已知方程组的解为 将两边同时除以，得 因此 解得 【小问3详解】 解：由新运算定义和已知条件，得 要求 得 得 整理得即 25. 规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：___________． （2）①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． （3）结合①，②探索的结论，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②； （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∴ 【小问2详解】 解：①∵ ， ∴， ∵， ∴，即 ∴ ②由题意可知，，，， ， ，即， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 设， ，则， ， ， ， ， 即 ． 26. 已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． （1）当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； （2）当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； （3）当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】（1） （2）图见解析， ，理由见解析 （3）或； 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得， ，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得 ， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得 ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，当旋转方向为逆时针方向时， ， ， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时， ， ， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得， ， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 附加题： 27. 材料1：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如：图1，是的一个外角，则有． 材料2：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形． （1）如图2，已知，点D是边上一点，点是边上一点，将沿直线折叠，使得点C的对应点落在内部，则、之间的数量关系为：___________； （2）如图3，已知，点D是边上一点，点是边上一点，将沿直线折叠，使得点C的对应点落在边上（点不与点C重合），请用无刻度直尺和圆规画出折痕（保留作图痕迹，不用说明理由）； （3）如图4，在中，，，在边上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止，把沿直线翻折，点C的对应点为，若点在的内部（不包含的边）； ①求的取值范围； ②直接写出与之间的数量关系为：___________； （4）如图5，已知，，，，第一次沿过A的直线折叠，使C落在上的处，得到折痕，再展平纸片；第二次再沿过C，的直线折叠，得到，交于，求的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①② （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，； （2）以D为圆心，的长度为半径画弧，交于点F，分别以F，C为圆心，大于二分之一的长为半径画弧，两弧交于一点，连接这点和点D，交于点E； （3）设，则，由得，，，①由M不落在上得；由M不落在上得；②设，利用三角形内角和以及角度关系推出，故； （4），，，由第一次折叠可得，，，从而，由第二次折叠可得：，从而，在中，是外角，． 【小问1详解】 解：由折叠知，； 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：在中，，， 设，则， ， ，解得， ，， ①由折叠知，，， 点在的内部（不包含的边）， M不落在上：此时； M不落在上：当M在上时，， ， ， 不在上， ， 综上，； ②设，则， 翻折到， ， 在中，， 即， 在中，， 即， ， ； 【小问4详解】 解： 由折叠知：，， ，，， ， ， 由折叠知：， ， 在中，是外角， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学期中考试 （120分钟 满分150分） 一、单选题 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若满足，思考发现，则的值是（ ） A. 60 B. 54 C. 36 D. 20 8. 如图，已知四边形纸片．按图、图的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图第二条折痕与边交于点，连接、．若，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9. 计算：_____． 10. 若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是___________． 11. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 12. 如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 13. 如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______． 14. 如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形 和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形），其中3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积是______． 15. 如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：且且和的周长和为；④；⑤若，则边边扫过的图形面积为，正确的是______．（填序号） 16. 已知实数，，满足 ， ，则代数式的最小值为______． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程组： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，将三角形沿射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，点，，的对应点分别为点，，． （1）若，求的长； （2）若，求的度数． 21. 在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． （1）求的值； （2）求不等式的正整数解． 22. 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），仅用无刻度直尺完成下列作图． （1）在图中，将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后的图形为； （2）在图中，将绕格点逆时针旋转得； （3）在图中，已知点是格点，线段所在直线是的对称轴，点是边上任意一点，在边上找点使得． 23. 某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 （1）求、两种型号电风扇的销售单价； （2）超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润恰好为1200元的目标？请说明理由． 24. 阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得 （1）学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组 （2）拓展提升，已知关于的方程组的解为，解方程组 （3）对于有理数，定义一种新的运算“*”：，其中为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知，求的值． 25. 规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：___________． （2）①若，请你尝试证明：； ②若，则___________（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设 ， ，即． ． （3）结合①，②探索的结论，求的值． 26. 已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． （1）当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； （2）当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； （3）当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 附加题： 27. 材料1：三角形三个内角的和等于，利用它我们可以推出结论，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．例如：图1，是的一个外角，则有． 材料2：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形． （1）如图2，已知，点D是边上一点，点是边上一点，将沿直线折叠，使得点C的对应点落在内部，则、之间的数量关系为：___________； （2）如图3，已知，点D是边上一点，点是边上一点，将沿直线折叠，使得点C的对应点落在边上（点不与点C重合），请用无刻度直尺和圆规画出折痕（保留作图痕迹，不用说明理由）； （3）如图4，在中，，，在边上有一点D从B向C运动，运动到点C处停止，把沿直线翻折，点C的对应点为，若点在的内部（不包含的边）； ①求的取值范围； ②直接写出与之间的数量关系为：___________； （4）如图5，已知，，，，第一次沿过A的直线折叠，使C落在上的处，得到折痕，再展平纸片；第二次再沿过C，的直线折叠，得到，交于，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $