第四章因式分解题型专项训练（10大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

**基本信息** 聚焦因式分解全题型，以概念辨析-方法应用-综合提升为逻辑主线，通过分层训练培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-2（8题）|概念辨析与参数求解|从因式分解定义出发，强化对“整式乘积形式”本质的理解| |单一方法|题型3-5（12题）|公因式确定与提公因式操作|构建“系数-字母-指数”三维公因式提取规则，衔接添括号变形技能| |公式应用|题型6-8（24题）|公式适用性判断与直接应用|通过平方差、完全平方公式的正逆向训练，深化公式结构特征的推理意识| |综合运用|题型9-10（20题）|多方法融合与复杂式分解|形成“提公因式→公式法→再分解”的递进解题流程，提升运算能力与应用意识|

第四章 因式分解题型专项训练 题型目录 【题型1 判断是否是因式分解】 【题型6 判断能否用公式法分解因式】 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【题型7 平方差公式分解因式】 【题型3 公因式】 【题型8 完全平方公式分解因式】 【题型4 提公因式法分解因式】 【题型9 综合运用公式法分解因式】 【题型5 添括号】 【题型10 综合提公因式和公式法分解因式】 题型通关专项训练 【题型1 判断是否是因式分解】 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 2．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解； B、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，是因式分解. 3．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③④ 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的对象是多项式，结果是几个整式的积，与整式乘法互为逆运算是解题的关键． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各等式变形是否符合定义． 【详解】解：等式①左边为积的形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 等式②左边为单项式，不是多项式，不符合因式分解对象要求； 等式③左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式④左边为多项式，右边为积的形式，符合因式分解定义； 等式⑤右边不是积的形式，因此不是因式分解． 故答案为：③④． 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 【答案】C 【分析】对于二次项系数为1的二次三项式，因式分解满足，根据对应系数相等即可求出的值． 【详解】解：∵多项式分解因式的结果是， ∴根据因式分解的规律可得， ，， 计算得 ，． 6．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】A 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 7．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 8．多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 【答案】 【详解】解： ， ∵多项式因式分解的结果是， ∴， ∴． 【题型3 公因式】 9．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 10．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 11．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 12．在多项式中，各项的公因式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键，根据公因式的定义即可得到结果． 【详解】解：多项式 的每一项都含有因式，且的最低次数为， 各项的公因式是． 【题型4 提公因式法分解因式】 13．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 14．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 15．因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 16．因式分解：______． 【答案】 【分析】将原式提取公因式即可解答． 【详解】解：． 【题型5 添括号】 17．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 18．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“”时，括号内各项符号不变；括号前是“”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意； 故选：B． 19．（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 20．已知，则代数式的值为_____： 【答案】6 【分析】本题主要考查了代数式求值，把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6． 【题型6 判断能否用公式法分解因式】 21．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 22．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 23．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 【详解】解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 24．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】检查每个多项式是否适用于平方差公式或完全平方公式进行因式分解； 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ① = = = ，能用平方差公式分解； ② = = ，能用平方差公式分解； ③ = ，能用完全平方公式分解； ④ 无法用公式法分解； 能用公式法因式分解的有①、②、③，共3个． 故选：C． 【题型7 平方差公式分解因式】 25．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 26．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 27．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 28．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 【题型8 完全平方公式分解因式】 29．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 30．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的因式分解，掌握完全平方公式是解题关键．该二次三项式符合完全平方公式的形式，通过观察系数和常数项即可直接分解． 【详解】解： ． 31．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再利用完全平方公式即可解答． 【详解】解：原式 ． 32．分解因式：； 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】解： ． 【题型9 综合运用公式法分解因式】 33．分解因式： 【答案】 【分析】先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 34．分解因式：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式初步分解，再使用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：． 35．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 先将看作整体根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 36．因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 【题型10 综合提公因式和公式法分解因式】 37．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） ． 38．将下列式子因式分解或利用因式分解计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)40000 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 39．因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 40．将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型过关检测 41．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 42．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 43．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】A 【分析】能够分解因式的关键是多项式可以化为两个平方项且符号相反的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：对于①，的两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，故①不能按要求分解； 对于②， 符合平方差形式，故②可以按要求分解； 对于③， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解； 对于④， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解． 综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 44．下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用提取公因式法对原式分解因式，根据分解结果得到原式的因数，即可选出不能整除原式的选项． 【详解】解：， 因此不能被整除， 故选：D． 45．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 46．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 47．下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有公因式，此项错误； B、的公因式是，此项错误； C、的公因式是，此项错误； D、的公因式是，此项正确． 48．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴代数式可分解为和，选项中只有符合要求． 49．已知，则代数式的值为__________． 【答案】9 【分析】观察代数式，其符合完全平方公式的结构特征，可先利用完全平方公式对其因式分解，再将整体代入分解后的式子进行计算． 【详解】解： ， ， 原式 50．若，则_______． 【答案】64 【分析】原式转化为，因为算术平方根和平方数都是非负数，且两个非负数的和为0，那么每一项都为0，所以可分别列出关于、的方程，求解得到、的值．再将化为以2为底数的幂，再根据同底数幂的除法法则计算． 【详解】解：，即， ∴，， 解得 ，， ∵， ∴， 代入得 ． 51．分解因式：____________． 【答案】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 52．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 53．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 【答案】5或/或5 【详解】解： 能用完全平方公式因式分解， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即或 ， 解得：或 ∴k的值为5或． 54．已知，，则的值为______． 【答案】30 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可求解． 【详解】解：． 55．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 56．利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)200 (2)10000 【分析】（1）利用平方差公式分解后计算即可； （2）先变形为完全平方公式的形式，分解后计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 57．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【分析】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 58．仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为 【分析】根据多项式乘法的逆运算，先设出另一个因式，再通过展开等式两边的多项式，利用对应项系数相等建立方程，求解得到另一个因式和的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ， ． ． 由， ， ． 把代入， ， ． 另一个因式为，的值为． 59．从边长为4的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．B.C. (2)若，求的值； (3)计算： 【答案】(1)B (2)； (3)． 【分析】（1）通过图1和图2的面积相等，推导出平方差公式． （2）利用平方差公式将因式分解，再整体代入已知条件求解． （3）先利用平方差公式对每个括号内的式子因式分解，再通过约分计算最终结果． 【详解】（1）解：图1中剩余部分的面积为：， 图2中长方形的长为，宽为，面积为：， ∵图1与图2的面积相等， ∴． 故选：． （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 60．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 61．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 62．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 因式分解题型专项训练 题型目录 【题型1 判断是否是因式分解】 【题型6 判断能否用公式法分解因式】 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 【题型7 平方差公式分解因式】 【题型3 公因式】 【题型8 完全平方公式分解因式】 【题型4 提公因式法分解因式】 【题型9 综合运用公式法分解因式】 【题型5 添括号】 【题型10 综合提公因式和公式法分解因式】 题型通关专项训练 【题型1 判断是否是因式分解】 1．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下面是小明的作业，请你帮忙解答：下列等式从左到右的变形，属于因式分解的有__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 4．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5．如果多项式分解因式的结果是，那么，的值分别是（   ） A．3， B．，3 C．， D．1， 6．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 7．已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 8．多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 【题型3 公因式】 9．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 10．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 11．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 12．在多项式中，各项的公因式是______． 【题型4 提公因式法分解因式】 13．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 14．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 15．因式分解：____． 16．因式分解：______． 【题型5 添括号】 17．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 18．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（_____）；（_____）． 20．已知，则代数式的值为_____： 【题型6 判断能否用公式法分解因式】 21．下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 22．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 23．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．下列多项式：①；②；③；④．其中能用公式法因式分解的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 平方差公式分解因式】 25．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 26．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 27．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 28．分解因式：． 【题型8 完全平方公式分解因式】 29．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 30．因式分解：． 31．因式分解： 32．分解因式：； 【题型9 综合运用公式法分解因式】 33．分解因式： 34．分解因式：． 35．因式分解： 36．因式分解： 【题型10 综合提公因式和公式法分解因式】 37．因式分解： (1)； (2)． 38．将下列式子因式分解或利用因式分解计算： (1) (2) (3) (4) 39．因式分解： (1)； (2)； (3) (4)． 40．将下列各式分解因式． (1) (2) 题型过关检测 41．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 42．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 43．在借助某AI工具命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（    ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 44．下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 45．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 46．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 47．下列多项式的各项中，公因式是的是（   ） A． B． C． D． 48．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 49．已知，则代数式的值为__________． 50．若，则_______． 51．分解因式：____________． 52．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 53．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________． 54．已知，，则的值为______． 55．因式分解： (1)； (2)． 56．利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 57．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 58．仔细阅读下面例题，解答问题： 例已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 则，，解得：， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 59．从边长为4的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．B.C. (2)若，求的值； (3)计算： 60．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 61．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 62．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $