第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数基本关系式与诱导公式”核心考点，依据高考评价体系明确理解公式、推导应用、解决求值化简证明的考查要求，通过考向分析（公式直接运用、弦切互化、和积转换）归纳高频题型，对接近5年高考真题改编题，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧归纳+素养提升”，如2024全国甲卷弦化切题采用分子分母同除cosα转化，2023全国乙卷和积转换题运用(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα公式，培养学生数学思维（运算推理）与数学语言（符号表达）。特设易错点警示（开方符号判断）和题组对点练，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，高效冲刺高考。

第二节 第四章　三角函数与解三角形 同角三角函数基本关系式与诱导公式 【目标要求】　1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,tan x =.2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.3.能运用同角三角函数基本关系式和诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:__________________. (2)商数关系:=tan α. sin2α+cos2α=1 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六   角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α   正弦 sin α _______ _______ _______ _______ _______   余弦 cos α _______ _______ _______ _______ _______   正切 tan α _______ _______ ______       口诀 奇变偶不变,符号看象限 -sin α -sin α sin α cos α cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α tan α -tan α -tan α 1.同角三角函数基本关系式的常用变形 sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α); cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α); (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α; sin α=tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)对任意角α,sin24α+cos24α=1都成立.(　　) (2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (3)对任意角α,=tan都成立.(　　) (4)若sin x=a,则cos x的值一定有两个.(　　) 当α=π+2kπ(k∈Z)时,=+kπ(k∈Z),此时cos=0,则tan无意义. 解析 当sin x=1时,由sin2x+cos2x=1得:cos x=0,即cos x有且仅有一个取值. 解析 2.(人A必一P194练习T2改编)(多选题)对于α∈R,下列等式恒成立的是 (　　) A.sin(2π+α)=sin α B.cos(-α)=cos α C.cos=cos α D.tan(π-α)=-tan α sin(2π+α)=sin α,所以A选项正确.cos(-α)=cos α,B选项正确. cos=-sin α≠cos α,C选项错误.tan(π-α)=-tan α,D选项正确.故选ABD. 解析 3.(人A必一P185T6改编)已知α为第四象限角,cos α=,则tan α=(　　) A. B.- C. D.- 解析 4.已知sin=,则cos(2 027π+α)=_____. 　 解析 5.已知sin α·cos α=,且<α<,则cos α-sin α=____. 解析 -　 考向❶公式的直接运用 【例1】　(1)已知α为第二象限角,tan α=-2,求sin α,cos α. 考点一 同角三角函数的基本关系 解 (2)已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 解 利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化. 考向❷弦切互化 【例2】　(2024·全国甲卷)已知=,则tan=(　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析 形如,asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切. 考向❸“和”“积”转换 【例3】　(多选题)已知α∈(0,π),sin α+cos α=m,则(　　) A.若m=1,则cos α=0 B.若m=,则cos α=- C.若m=,则sin α-cos α= D.m∈(-,) 解析 正弦、余弦“sin α±cos α,sin αcos α”的应用 sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起,即(sin α± cos α)2=1±2sin αcos α,sin αcos α=,sin αcos α= . 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❷ ❸ ❶ (1)若tan α=2,则=(　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析 (2)已知α∈,且sin α+cos α=,则tan α的值为(　　) A.2　　 B.-　　 C.-　　 D.-2 解析 解析 (3)(2023·全国乙卷)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=______. 解析 -　 【例4】　(1)已知sin α=,且α是第一象限角,则(　　) A.sin(2π+α)=- B.sin(π-α)=- C.cos(-α)=- D.tan(π+α)= 考点二 诱导公式的应用 解析 (2)(2026·沧州模拟)已知cos=,则sin等于(　　) A.- B. C. D.- 解析 解析 (3)已知函数f(x)=cos-+3,若f(m)=4,则f(-m)=____. 解析 2 1.诱导公式的两个应用方向与原则:(1)求值,化角的原则与方向:负化正,大化小,化到锐角为终了.(2)化简的原则与方向:统一角,统一名,同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用:由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α. 【训练】　(1)化简:=____. == ==-1. 解析 -1 (2)(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始 边,它们的终边关于原点对称.若α∈,则cos β的最大值为_______. 解析 -　 因为α为第四象限角,且cos α=,所以sin α<0,且sin α=-= -=-.所以tan α==-.故选D. 因为sin=sin=-cos α=,所以cos(2 027π+α)=cos(π+α)= -cos α=. 因为<α<,所以sin α>cos α,而(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,所以cos α-sin α=-. 由α为第二象限角,得sin α>0,cos α<0,由tan α=-2,得 所以sin α=,cos α=-. 由于cos α=-,所以sin α=±=±,当cos α=-,sin α=时,tan α==-;当cos α=-,sin α=-时,tan α==. 根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan= ==2-1,故选B. 因为sin α+cos α=m,两边平方整理可得sin αcos α=,且α∈(0,π),则sin α>0.对于选项A:若m=1,则sin αcos α=0,所以cos α=0,故A正确;对于选项B:若m=,则sin α+cos α=,sin αcos α=-,可知sin α,cos α为方程x2-x-=0的根,又因为x2-x-=0的根为,-,所以sin α=,cos α=-,故B正确;对于选项C:若m=,则sin αcos α=-,可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= 1+=,且sin α>0,cos α<0,可知sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=,故C正确;对于选项D:例如α=,则m=sin α+cos α=,故D错误;故选ABC. 因为tan α=2=,所以cos α≠0,则==3.故选A. 因为α∈,所以cos α>0.因为由①得 sin α=-cos α,代入②得:+cos2α=1.整理得:2cos2α-cos α- =0,结合cos α>0,所以cos α==,所以sin α= -cos α=-,所以tan α===-.故选B. 因为tan θ=,所以9sin2θ=cos2θ,即10sin2θ=1.又因为θ∈,所以sin θ= ,cos θ=,所以sin θ-cos θ=-. 已知sin α=,且α是第一象限角,则cos α==,tan α==,对 于A,sin(2π+α)=sin α=,故A错误;对于B,sin(π-α)=sin α=,故B错误;对于C,cos(-α)=cos α=,故C错误;对于D,tan(π+α)=tan α=,故D正确.故选D. 解法一:因为cos=,所以sin=sin=-sin=-sin=-cos=-. 解法二:令t=+x,则x=t-,所以sin=sin=sin =-cos t=-cos=-. 因为f(x)=cos-+3=sin x-+3,所以f(x)+f(-x)=sin x-+3+sin(-x)++3=6,所以f(m)+f(-m)=4+f(-m)=6,则f(-m)=2. 因为α与β的终边关于原点对称,所以β=2kπ+π+α(k∈Z),所以cos β= cos(2kπ+π+α)=-cos α.因为α∈,所以cos α∈,所以cos β∈,所以cos β的最大值为-. $