精品解析：甘肃兰州市学府致远学校2025-2026学年高二下学期期中数学试题

兰州市学府致远学校 2025—2026学年度第二学期高二年级期中测试 数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 空间直角坐标系中，已知，，则A，B两点间的距离为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件利用空间直角坐标系中两点间的距离公式直接计算即得. 【详解】因A，B两点的坐标分别是，，则， 所以A，B两点间的距离为. 故选：B 2. 下列四组函数中，导数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项中的函数，求得和，结合同一函数的判定方法，即可求解. 【详解】对于A中，由函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数和，可得和的对应法则不同，所以不是同一函数，所以C不符合题意； 对于D中，函数，可得的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数，所以D符合题意. 故选：D. 3. 已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 4. 在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据不共面的三个向量即可作为空间向量的一组基底，即可得到结果. 【详解】因为向量，，不共面，所以可以作为空间向量的一组基，而其它三组向量都共面， 故选：C. 5. 设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或在平面内 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 6. 若函数在时取得极值，则a=（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数极值点处的导数值为0的性质来求解 【详解】，函数时取得极值，则， 即．当时，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 函数时取得极大值．故符合题意． 7. 在四面体中，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 8. 已知，若关于x的方程在上有实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数构造新函数，将问题转换为求的值域即可. 【详解】若，则由题意方程在上有解， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 而， 所以当时，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对称性只需判断对应坐标轴上是否需要变号，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，点关于轴的对称点，纵坐标和竖坐标变号，横坐标不变，即为，故A正确； 对于B，点关于平面的对称点，只有竖坐标变号，其余不变，即为，所以B错误； 对于C，点关于轴的对称点，横坐标和纵坐标变号，竖坐标不变，即为，即可知C错误； 对于D，点关于原点的对称点，横坐标、纵坐标和竖坐标都要变号，即为，即D正确； 故选：AD 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量线性关系、数量积、模长的坐标运算判断各项正误. 【详解】由题设，，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC 11. 如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 函数在区间上单调递增 D. 的图象在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数图象和极值进行辨析即可. 【详解】对于A，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，. 所以在时，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递增，. 所以在时，函数没有极值，所以B错误； 对于C，根据图象可知，在上大于等于0，所以函数在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，因为，所以它的图象在处切线的斜率大于零，D错误. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则x的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量垂直关系的坐标表示求解 【详解】解：由题意可知，， 解得， 故答案为： 13. 函数的图象在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出及导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程. 【详解】因为，所以，， 则， 所以切线方程为，即. 故答案为： 14. 已知＝(0,－5,10)，＝(1,－2,－2)，＝4，＝12，则＝________. 【答案】120°## 【解析】 【分析】利用空间向量数量级的运算律可得，再由已知及空间向量数量积的定义求即可 【详解】由题设，， ∴，又＝(1,－2,－2)，＝12， ∴，又∈[0°,180°]， ∴＝120°. 故答案为：120° 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据如图的平行六面体，化简下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加、减法的几何意义求解即可； （2）由向量加、减法的几何意义求解即可； 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数. （1）求的导数与极值； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1），极大值，极小值 （2）最小值0，最大值4 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点 （2）求出函数在区间端点的函数值，与极值比较大小即可得解. 【小问1详解】 由得. 由解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以函数在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 由（1）函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以最小值0，最大值4. 17. 如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）由题意可得，建立空间直角坐标系，由异面直线的向量求法，求解即可. 【小问1详解】 因为F为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 所以， 所以， 故， 因此异面直线与所成角的大小为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出与平面夹角，即可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为四边形是矩形，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【小问2详解】 由题意得：以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取可得， 设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为． 19. 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】（1），定义域为 （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. 【小问2详解】 设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校 2025—2026学年度第二学期高二年级期中测试 数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 空间直角坐标系中，已知，，则A，B两点间的距离为（ ） A. 6 B. C. D. 2. 下列四组函数中，导数是同一函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ） A. B. 或在平面内 C. D. 或 6. 若函数在时取得极值，则a=（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 7. 在四面体中，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若关于x的方程在上有实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图是函数的导函数的图象，则（ ） A. 在时，函数取得极值 B. 在时，函数取得极值 C. 函数在区间上单调递增 D. 的图象在处切线的斜率小于零 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，且，则x的值为__________. 13. 函数的图象在处的切线方程为________． 14. 已知＝(0,－5,10)，＝(1,－2,－2)，＝4，＝12，则＝________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 根据如图的平行六面体，化简下列各式： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）求的导数与极值； （2）求在区间上的最值. 17. 如图，在棱长是2的正方体中，是底面的中心，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 19. 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） （1）求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $