精品解析：四川省乐山市第五中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

乐山五中2025-2026学年（下）期中数学学科试题 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理式，，，中，分式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 3个 2. 一种新型病毒的直径约为0.000 0053毫米，用科学记数法表示为（ ）毫米． A. 5.3×10－6 B. 0.53×10－5 C. 53×10－7 D. 5.3×10－7 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数是一次函数，则的值为（ ） A. ±1 B. 0 C. -1 D. 1 5. 函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. 任意数对 D. 不能确定 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数（为常数）的图象上有三点，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. “武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 10. 如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当分式的值为0时，的值为__________． 12. 若点在第二象限，则的取值范围是_____． 13. 如果关于x的分式方程无解，那么a的值是__________． 14. 已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为___________． 15. 对于正数，规定，例如，．则_______ 16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____． 三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 17. 计算、化简 （1）计算： （2）化简： 18. 先化简，再求值：，其中为的整数． 19. 解下列方程： （1） （2） 四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 20. 已知与成正比例，且时， （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在该函数的图象上，求的值． 21. 已知一次函数y＝－2x＋4，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； （2）观察图象，当0≤y≤4时，x的取值范围？ （3）平移一次函数－2x＋4的图象后经过点（－3，1），求平移后的函数表达式． 22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴） （1）求的值； （2）求一次函数的解析式； （3）在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由 六、（本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分） 25. 综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），求的值． 26. 已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点； （1）求点E的坐标和k的值； （2）如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； （3）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山五中2025-2026学年（下）期中数学学科试题 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 有理式，，，中，分式的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【详解】解：分式有，共1个． 2. 一种新型病毒的直径约为0.000 0053毫米，用科学记数法表示为（ ）毫米． A. 5.3×10－6 B. 0.53×10－5 C. 53×10－7 D. 5.3×10－7 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握科学记数法表示数的特征是解答本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，按照规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标规律为：纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵点的坐标为， ∴横坐标的相反数为，纵坐标仍为， 即点关于轴对称的点的坐标是． 4. 若函数是一次函数，则的值为（ ） A. ±1 B. 0 C. -1 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的定义即可求解． 【详解】依题意可得m-1≠0， 解得m=-1 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数的定义，解题的关键是熟知一次函数的特点． 5. 函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A. B. C. 任意数对 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标， 所以方程组的解是． 故选：B． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质、一次函数的图象性质等知识点，熟练掌握反比例、一次函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数和一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，选项B符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合． 故选：B． 7. 反比例函数（为常数）的图象上有三点，，，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数的图象分布在二、四象限，在每一个象限内，的值随的增大而增大，且时，时，据此判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在二、四象限，在每一个象限内，的值随的增大而增大，且时，时， ∵点，，在反比例函数图象上， ∴， 故选：． 8. “武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，找出等量关系列出方程是解题的关键． 设原来参加游览的人数有x人，根据“每个成员比原来少摊了3元钱车费”即可列出方程． 【详解】解：设原来参加游览的人数有x人，根据题意，得 ． 故选：D 9. 若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（ ） A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 10. 如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 当分式的值为0时，的值为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， ∴的值为3． 12. 若点在第二象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于， ，解得． 13. 如果关于x的分式方程无解，那么a的值是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 该分式方程无解， 若，方程无解； 若，， ， 故答案为：或． 14. 已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象不经过第二象限是解答此题的关键．由于一次函数的图象不过第二象限，则得到不等式组，然后解不等式即可得m的值． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第二象限， ∴， 解得：，而m是整数， 则或． 故答案为：或． 15. 对于正数，规定，例如，．则_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先确定，然后依次化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即． 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则的坐标是， 设直线的解析式是， 把代入得：， 即直线的解析式是， 组成方程组 解得： 点，， 故答案为：，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度． 三、（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 17. 计算、化简 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中为的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∵为的整数， ∴， ∴原式． 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 四、（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 20. 已知与成正比例，且时， （1）求与之间的函数关系式； （2）若点在该函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握正比例的关系是解决此题的关键， （1）根据题意设函数解析式，再把一组值代入求出k值即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式中，求出m即可． 【小问1详解】 解：根据题意可设：， 把时，代入得：， 解得：， ∴， 即． 【小问2详解】 解：把代入， 得：， 解得：． 21. 已知一次函数y＝－2x＋4，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象； （2）观察图象，当0≤y≤4时，x的取值范围？ （3）平移一次函数－2x＋4的图象后经过点（－3，1），求平移后的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2）0≤x≤2；（3）y＝－2x－5 【解析】 【分析】（1）分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）设平移后的函数表达式为，把代入求出的值即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， 函数的图象与轴的交点坐标为； 当时，，解得：， 函数的图象与轴的交点坐标． 其图象如下图： （2）函数图象如图所示． 观察图象，当时，的取值范围是． 故答案为：； （3）设平移后的函数表达式为，将代入得：， ， ． 答：平移后的直线函数表达式为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 22. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据，结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 所以； 故答案为：； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 故答案为：或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． （1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ （2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 （2）购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点和点，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点，且（点在轴负半轴） （1）求的值； （2）求一次函数的解析式； （3）在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】（1）1 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据点D的坐标求出的长，进而求出的长，据此得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据（1）（2）所求，求出点B和点E的坐标，则可求出，进而求出，再分两种情况：点P在x轴上和点P在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把点A的坐标代入得，解得； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴，， 当时，解得，此时， ∴， ∴， ∴； 当点P在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或； 当点P在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为或点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 六、（本大题共2小题，第25题12分，第26题13分，共25分） 25. 综合与探究 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则______，______； （2）若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值； （3）若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键． （1）类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字分式方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解； （3）将原方程变形为，结合运用“十字分式方程”得到，，代入即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，可化为， ，． 故答案为：； 【小问2详解】 解：由已知得，， ； 【小问3详解】 解：原方程变为， ， ∵，且， ，， ，， ． 26. 已知，如图1，直线，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点； （1）求点E的坐标和k的值； （2）如图2，点M是y轴上一动点，连接，将沿翻折，当A点对应点刚好落在x轴上时，求所在直线解析式； （3）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）点E的坐标为，k的值是2 （2）所在直线解析式为或 （3）存在，P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把代入得，即得，把代入得； （2）分两种情况：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，可解得，用待定系数法即得直线解析式为；②当的对应点在轴正半轴时，由，可知与重合，即，故的解析式为； （3）当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，证明，得，，设，有，从而可得，直线解析式为，解得；当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，同理可得． 【小问1详解】 解：把代入得： ， 解得， ， 把代入得： ， 解得， 点的坐标为，的值是2； 【小问2详解】 解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图： 由（1）知， 直线解析式为， 在中，令得， ，， ， ∴，，， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为； ②当的对应点在轴正半轴时，如图： ， ， 与重合，即， 此时的解析式为； 综上所述，所在直线解析式为或； 【小问3详解】 解：在直线上存在点，使得，理由如下： 当在右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 由，可得直线解析式为， 解得， ； 当在左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图： 同理可得， 由，可得解析式为， 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $