第10章 整式的乘法与除法 单元卷 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦整式的乘法与除法，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合文化传承（杨辉三角、贾宪三角形）与实际情境（纳米长度、几何面积），适配初中数学单元复习，有效培养抽象能力、几何直观与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、幂的运算、整式乘除|结合纳米长度情境，杨辉三角应用考查推理意识| |填空题|6/18|幂的运算、代数式求值|贾宪三角形规律探究，体现数学文化| |解答题|8/72|几何面积验证公式、材料阅读应用|数形结合证明代数公式，“神秘数”概念创新应用|

第10章 整式的乘法与除法 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 2、计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 【答案】D 【详解】 解： ， 3、下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】解： ①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确； ②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10, 故②的答案不正确； ③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确； ④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确； 所以正确的个数是1， 4、已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ， 5、若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 由结果中不含的一次项，得到， 即． 6、如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：甲图中阴影部分的面积为：， 图乙中阴影部分的面积为：， 所以． 7、若三角形的一边长为，该边上的高为，则此三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：由题意，三角形面积为： ， 8、如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：长为，宽为的大长方形， ∴大长方形的面积为， ∵类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， ∴需要类卡片张数为， 9、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【详解】解： ， 其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 10、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为整数)的规律， ， A、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； B、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”， 不符合题意； C、令，解得：，不是整数， ∴不是“神秘数”，不符合题意； D、令，解得：，是整数， ∴“神秘数”，符合题意； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是______． 【答案】2 【详解】解：∵am＝8，an＝2， ∴am﹣2n＝am÷a2n＝am÷（an）2＝8÷22＝2， 12、已知，，，则的大小关系是_______． 【答案】 【详解】解：根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． ，，， ∴， 13、已知a5，则a2的值是______. 【答案】23 【详解】解：a2． 14、在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值_______． 【答案】 【详解】解： 因为这个多项式不含一次项， 所以， 解得，． 所以． 15、如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是_______． 小长方形的较长边为； 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； 阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【答案】 【详解】解： ①大长方形的长为，小长方形的宽为， 小长方形的长为，说法①正确； ②大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， 阴影的较短边为，阴影的较短边为， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为，说法②错误； ③阴影的较长边为，较短边为， 阴影的较长边为，较短边为， 阴影的周长为， 阴影的周长为， 阴影和阴影的周长之和为， 阴影和阴影的周长之和与值无关，说法③正确； ④阴影的较长边为，较短边为， 阴影的较长边为，较短边为， 阴影的面积为， 阴影的面积为 ， 阴影和阴影的面积之和为， 当时，，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①③④． 16、我国北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”（如下图），这个“三角形”被称为贾宪三角形．通过观察“三角形”，发现第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应各项的系数．根据反映的规律计算：______． 【答案】 【详解】解：原式中的系数分布为， 由贾宪三角形可发现，原式中的系数为展开式中各项的系数， ， 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）-4；（2）；（3）；（4） 【详解】解： （1）原式； （2）原式 ； （3） ； （4） ． 18、小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题意，， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）由题意，得 ， 故答案为：； （3） ∴原式． 19、先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 原式 ． 把代入， 原式=． 20、如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】 （1）解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； （2）当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 21、若x+y=5，且（x+1）（y+1）=10． （1）求xy的值； （2）求的值． 【答案】（1） 4 （2）29 【小问1详解】 解：∵（x+1）（y+1）=xy+x+y+1=10;x+y=5 ∴xy+5+1=10 ∴xy=4； 【小问2详解】 解： ∵xy=4;x+y=5 ∴=x2 +2xy+y2+xy=(x+y)2 +xy=52 +4=29； 22、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 【答案】(1)B (2)3 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ． 故选：B． （2）解：根据（1），令，， 则， 当，时，， ． 23、【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式：______________________； (2)由图3可得等式：______________________； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)52 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积， 大长方形的面积个边长为小正方形的面积个小长方形的面积个边长为的正方形面积， ； 故答案为：； （2）解：由图3知，大正方形的面积， 大正方形的面积个边长分别为、、的正方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积个长和宽分别为、小长方形的面积， ； 故答案为：； （3）解：由（2）知：， ， ， 把代入得： ． 24、【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）②，①；（2）；（3） 【详解】（1）解：图1对应公式是； 图2对应公式是， 故答案为：②；①； （2）， ， ， ． （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则根据题意，得， ， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 整式的乘法与除法 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（   ） A． B． C． D． 2、计算的结果为（   ） A． B． C．1.5 D． 3、下列等式中正确的个数是（　　） ①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4、已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 5、若的结果中不含x的一次项，则（　　） A． B． C． D． 6、如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 7、若三角形的一边长为，该边上的高为，则此三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 8、如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9、我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 10、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此，，都是“神秘数”，则下面哪个数也是“神秘数”( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若am＝8，an＝2，则am﹣2n的值是______． 12、已知，，，则的大小关系是_______． 13、已知a5，则a2的值是______. 14、在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值_______． 15、如图，长为，宽为的大长方形被分割为小块，除阴影，外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是_______． 小长方形的较长边为； 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； 阴影和阴影的周长之和与值无关；当时，阴影和阴影的面积和为定值． 16、我国北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现了一个奇妙的“三角形”（如下图），这个“三角形”被称为贾宪三角形．通过观察“三角形”，发现第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应各项的系数．根据反映的规律计算：______． 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、计算： （1） （2） （3） （4） 18、小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； (3)若，，计算（2）中代数式的值． 19、先化简，再求值：，其中． 20、如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． (1)求剩余铁皮（阴影部分）的面积． (2)当时，求剩余铁皮的面积． 21、若x+y=5，且（x+1）（y+1）=10． （1）求xy的值； （2）求的值． 22、从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 23、【阅读材料】 “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】 根据以上材料提供的方法，回答下列问题： (1)由图2可得等式：______________________； (2)由图3可得等式：______________________； (3)利用图3得到的结论，解决问题：已知，求的值． 24、【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②： 图1对应公式_________；图2对应公式_________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 已知，求的值． 【能力拓展】 （3）如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形且对角线时，若，正方形和正方形的面积和为36，请求出阴影部分的面积．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $