第9章 二元一次方程组 单元卷 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组单元核心，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合《九章算术》、成都大运会等真实情境，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程（组）概念、解法条件、运算程序应用|第8题引用《九章算术》盈不足问题，渗透文化传承| |填空题|6/18|方程变形、解的应用、古代算诗（悟空风速）、图形拼接|第14题以《西游记》算诗设题，体现情境趣味性| |解答题|8/72|解方程组、整体思想（19题）、实际应用（接水、批发零售、营养配餐）|24题通过材料阅读考查整体思想，20题结合饮水机接水情境，强化模型意识|

第9章 二元一次方程组 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误； B．，属于三元一次方程，故此选项错误； C．，属于二元二次方程，故此选项错误； D．，属于二元一次方程，故选项正确． 2、 在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①③ 【答案】C 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次；可判断①②是二元一次方程组． 3、按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，运算程序即计算，即， A选项，当时，，符合题意； B选项，当时，，不符合题意； C选项，当时，，不符合题意； D选项，当时，，不符合题意 4、在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：①②得， ∵①②可直接消去未知数， ∴， 5、若关于的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ． 6、当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ） A. －7 B. －3 C. 7 D. 3 【答案】C 【详解】解：将代入代数式，得：，即①； 将代入代数式，得：，即②； 联立得方程组 由①-②得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， ∴ ， ∴， 7、李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【答案】A 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲． 8、《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设合伙人数为x人，金价y钱． ∵每人出钱400，会多出3400， ∴； ∵每人出钱300，会多出100， ∴． 联立两方程组成方程组得：， 9、若关于x、y方程组与有相同的解，则a+b的值为（　　） A. 2 B. 1 C.0 D. 【答案】C 【详解】解：由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得： ． a+b=1+(-1)=0 10、2023年成都大运会上，努力拼搏的不只有运动员们，在赛场外，到处都能看到志愿者们忙碌的身影，大批大学生报名参与志愿者服务工作，某大学计划组织本校学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：设计划调配30座客车辆，则只调配25座(不含司机)客车时，用车数量为辆， 由此列方程组． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 【答案】 【详解】解：原式为：， 把y移到等号的一边，其它项都移到等号另一边，得， 12、已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为_____________． 【答案】1 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 13、若方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程组的解满足， ， 得：， 把代入得：， 方程组的解为， 把代入得：， 解得：， 14、 有一首与《西游记》有关的算诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？大意：孙悟空顺风去查妖怪的行踪，就飞跃1000里（1里），逆风返回时走了600里，则风速是 里． 【答案】50 【详解】解：设孙悟空静风速度为里，风速为里，由题意，得： ，解得：， 故风速为里； 15、探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 【答案】1 【详解】解： ，得：， ，得：， ∴， 16、用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是_____． ① ② ③ ④ 【答案】④ 【详解】解：由题意得，2个长等于，一个长加上三个宽等于，2个长等于1个长加上3个宽，1个长加2个宽等于5个宽， ∴， ∴四个选项中只有④中的方程组不正确，符合题意， 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 18、解方程组（1）． （2） 【答案】（1） （2） 详解】（1）解：， ②①得， ， ， 把代入②得． ， ， 原方程组的解为． （2）解： ①×2－②×3得： 去括号得： 合并同类项，得： ∴， 把代入①得： ∴， ∴． 19、在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②， 得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 得：， ∴得：， 得：， 得：， 得：， ∴方程组的解为：． 20、如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； 21、经营户刘师傅在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元公斤） 零售价（元公斤） 刘师傅共用元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共公斤到菜市场去零售，请你根据表中的信息解答下列问题： （1）请计算刘师傅批发红辣椒和西红柿各多少公斤？ （2）若刘师傅当天卖完批发蔬菜，请问他能赚多少钱？ 【答案】（1）批发红辣椒和西红柿各，公斤； （2）刘师傅能赚元． 【小问1详解】 解：设批发红辣椒和西红柿各，公斤，根据题意得， ， 解这个方程组得， 答：批发红辣椒和西红柿各公斤，公斤； 【小问2详解】 （元）， 答：刘师傅能赚元． 22、2026年某食品股份有限公司始终坚持“用心塑品质，创新赢未来”的经营理念，以发展辣椒产业为主导，综合农副产品深加工等为一体的产品，其产品深受消费者喜欢．某商店计划购买一批产品作为年货出售，据了解1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元． （1）求每箱辣椒酱、油焖辣椒两种产品的进价分别为多少元？ （2）某商店需要购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱，现商家推出活动，优惠一：辣椒酱满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算． 【答案】（1）每箱辣椒酱进价为60元，每箱油焖辣椒的进价为48元 （2）该商店应该按照优惠一购买更划算 【小问1详解】 解：设每箱辣椒酱的进价为x元，每箱油焖辣椒的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每箱辣椒酱的进价为60元，每箱油焖辣椒的进价为48元； 【小问2详解】 解；购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱的原价为元， 按照优惠一进行购买的费用为元， 按照优惠二进行购买的费用为元， ∵， ∴该商店应该按照优惠一购买更划算． 23、某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下： 甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每） 热量 700 900 蛋白质 10 15 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？ (2)若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？ 【答案】(1)选用甲种食品包，乙种食品包 (2)选用甲种食品1包，乙种食品6包 【详解】（1）解：设选用甲种食品包，乙种食品包， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：选用甲种食品包，乙种食品包． （2）设选用甲种食品包，乙种食品包， 根据题意，得，整理得：， ∵，均为正整数， ∴只能取2，4，6， 当时，，则热量为； 当时，，则热量为； 当时，，则热量为； 故选用甲种食品1包，选用乙种食品6包． 24、【阅读材料】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知有理数x，y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如由可得，由，，可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【迁移运用】 （1）已知二元一次方程组，利用整体思想求和； 【解决问题】 （2）某班级组织活动购买小奖品，买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元，则购买1支铅笔，1块橡皮，1本日记本共需多少元？ 【答案】（1），；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元 【详解】解：（1） 得， ∴ 得， ∴； （2）设铅笔的单价为a元，橡皮的单价为b元，日记本的单价为c元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 二元一次方程组 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2、 在下列方程组：①，②，③，④中，是二元一次方程组的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ①③ 3、按如图所示的运算程序，使输出的结果为1的、的值可以是（   ） A． B． C． D． 4、在解二元一次方程组时，若①②可直接消去未知数，则和满足下列条件是（ ） A. B. C. D. 5、若关于的方程组的解满足，则k的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6、当时，代数式的值是3，当时，这个代数式的值是－2，则的值为（ ） A. －7 B. －3 C. 7 D. 3 7、李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 8、《九章算术》“盈不足”一章记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”大意是：今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400；每人出钱300，会多出100．问合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为，金价为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 9、若关于x、y方程组与有相同的解，则a+b的值为（　　） A. 2 B. 1 C.0 D. 10、2023年成都大运会上，努力拼搏的不只有运动员们，在赛场外，到处都能看到志愿者们忙碌的身影，大批大学生报名参与志愿者服务工作，某大学计划组织本校学生志愿者乘车去了解比赛场馆情况，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 12、已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为_____________． 13、若方程组的解满足，则的值为 ． 14、 有一首与《西游记》有关的算诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？大意：孙悟空顺风去查妖怪的行踪，就飞跃1000里（1里），逆风返回时走了600里，则风速是 里． 15、探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 16、用10块大小形状完全相同的长方形木板拼成如图所示的一个长方形，如果设每块长方形木板的长和宽分别是和，下列方程组错误的是_____． ① ② ③ ④ 三、解答题：本题共8小题，其中17-21题每题8分，22-23每题10分，24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 18、解方程组（1）． （2） 19、在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法． 【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是 【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是 根据上面方法，解决下列问题： (1)解方程组：； (2)解方程组：． 20、如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； 21、经营户刘师傅在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元公斤） 零售价（元公斤） 刘师傅共用元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共公斤到菜市场去零售，请你根据表中的信息解答下列问题： （1）请计算刘师傅批发红辣椒和西红柿各多少公斤？ （2）若刘师傅当天卖完批发蔬菜，请问他能赚多少钱？ 22、2026年某食品股份有限公司始终坚持“用心塑品质，创新赢未来”的经营理念，以发展辣椒产业为主导，综合农副产品深加工等为一体的产品，其产品深受消费者喜欢．某商店计划购买一批产品作为年货出售，据了解1箱辣椒酱、3箱油焖辣椒的进价共计204元；4箱辣椒酱、2箱油焖辣椒的进价共计336元． （1）求每箱辣椒酱、油焖辣椒两种产品的进价分别为多少元？ （2）某商店需要购买辣椒酱12箱，油焖辣椒10箱，现商家推出活动，优惠一：辣椒酱满10箱打8折；优惠二：总购物金额满1200元减100元（两种优惠不同时享受），问该商店如何购买更划算． 23、某校组织学生去参加研学活动，并准备了甲、乙两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分表如下： 甲营养成分表（每） 乙营养成分表（每） 热量 700 900 蛋白质 10 15 (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用甲、乙两种食品各多少包？ (2)若要使得每份午餐中的蛋白质含量正好是100克（两种食品均购买），并且热量最低，应如何选择这两种食品？ 24、【阅读材料】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知有理数x，y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如由可得，由，，可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【迁移运用】 （1）已知二元一次方程组，利用整体思想求和； 【解决问题】 （2）某班级组织活动购买小奖品，买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元，则购买1支铅笔，1块橡皮，1本日记本共需多少元？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $