广东湛江市吴川市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试卷

**基本信息** 高一级期中数学试卷涵盖集合、复数、向量、立体几何等核心知识，解答题结合古井水量计算、旋转体体积等情境，突出数学应用与空间观念，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数象限、三角函数求值|基础概念辨析，如单位向量夹角计算| |多选|3/18|向量性质、复数共轭、正三棱柱与圆柱|命题辨析结合空间几何，如内切圆半径计算| |填空|3/15|复数运算、向量投影、球表面积|核心公式应用，如向量投影向量求解| |解答|5/77|复数几何意义、向量模长、斜二测画法还原、双球相切最值|综合考查运算推理与模型思想，如双球表面积之和最小化问题|

2025－2026学年度第二学期高一级期中测试数学试卷 考试时间：120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{ x |}，则A∩B＝（ ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4} 2．若，则复平面内复数之对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，那么cos α＝（ ） A. B. C. D. 4．若单位向量，的夹角为，则（ ） A． B． C． D．1 5．设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c的大小关系是（     ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 6. 若直线过点(1，1)，则的最小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在△ABC中，，是线段上的一点，若，则（     ） A． B． C． D． 8．一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为4m2，水深3m，丰水时节水面面积大约为9m2，水深5m，则枯水时节的水量大约为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题不正确的是（     ） A．单位向量都相等 B．若，则 C．零向量没有方向 D．模为0的向量与任意非零向量共线 10．已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A． B．的虚部为 C． D． 11．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（ ） A．△ABC内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数 . 13．向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 14．已知正三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知复数z1＝2－i，z2＝3＋2i． （1）若复数z1＋az2在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围． （2）若，求z的共轭复数及z的模． 16．(15分)已知向量满足． （1）设，求； （2）若，求实数k的值． 17．(15分)已知Rt△ABC按照斜二测画法画出的直观图A'B'C'如图所示，其中，B'C'＝4，A'B'＝2．x' C' O'(B') A' y' （1）画出Rt△ABC的原图并求其面积： （2）若以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周，求所得几何体的体积和表面积． 18．(17分)已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，且． （1）求角的大小； （2）若，求三角形周长的取值范围． 19．(17分)如图，在棱长为的正方体内，球O1与球O2的球心O1，O2均在线段AC上，这两个球外切并且球O1与该正方体的上底面相切，球O2与该正方体的下底面相切． （1）求这两个球的半径之和． （2）当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度第二学期高一级期中测试数学试卷 答案详解 【选择题】 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 答案 B C A D A C D B ABC AC BD 【填空题】 1,1 68 十一 12. 22 13. 25'25 14. 25π 【详解部分】 一、单项选择题： 1.B【解析】集合B={x-1<x<3,集合A中属于(-1,3)的元素为0,1,2 因此A∩B={0,1,2} 2.C【解析】因为z=-2+3i,所以复数z对应的点位于第三象限. 1 尽，A【解】s江+a)=m(元++a)=-sin(+a)=-cosa,则-c0a写 51 即cosa=5 3 4.D【解析】因为单位向量ā，万的夹角为君则 a6-6eosg1x1x9-g9 、22 5.A【解析】a0.205-与<，由ogV5<log3<log51得号<b1,c=502 >50=1,故c>b>a. 6.C【解析】：直线5+上=1(a>0,b>0)过点，：上+-1.则 a b a b a+b=o+后-+台号2+合君4，当且仅当a=6=2时取等号. a b 7.D【解析】设BE=元BD,2e0,1,由AD=4C得， AE=AB+BE=AB+元BD=AB+1AD-AB） =(1-2AB+元AD=1-入)AB+元AC, 又正=mB+名C,1-2=,吉子-名解得2=分m 1 6 2 8.B【解析】作正四棱台的中截面，如图所示， AB,DC,FE分别为丰水、枯水、井底的水面边长， 则4B=3,CD=2,GH=2,H=3.因为EF-JE,DC=C DC-JC AB-JB 所以1=1EF-所以箱水时节的木量为EF+c3-m, 二、多项选择题： 9.ABC【解析】对于A,向量具有大小及方向，单位向量只是大小相等，而方 向不一定相同，故A错误；对于B,若曰b1,只说明其模长相等，但方向不 一定相同，故B错误；对于C,零向量的方向是任意的，故C错误；对于D, 零向量与任意向量共线，故D正确： 10.AC【解析】z=4+6_4+601+0-1+5i,2=-1-5i在复平面中对应的 Γ1-i(1-i01+i) 点在第三象限，故A正确；z的虚部为5，故B错误； 26 26 2+ -1+5+-1年5-1+5+1-50=-2，故C正确： 虚数不能比较大小，故D错误。 11.BD【解析】边长为6的正三角形的内切圆半径为6x5x-5,A错误。 23 被挖掉的圆柱的侧面积为2π×√3×6=12√3π，B正确。 该几何体的表面积为2× +3×62-2×3π+2W3π×6=18V3+108+(12W3-6)m, 2 2 体积为9V3×6-3π×6=54V3-18π，C错误，D正确. 三、填空题： 12. 【解析】 ((1+1_1+i11 +-1 1-i(1-i01+i)1-i平22 68 13. 25'25 【解】5在a方向上的投影向最为a=务 68 -25’25 2 14.25元【解析】设正三角形ABC外接圆的圆心为O1,正三棱锥S-ABC的外接 球的半径为R,如图所示，连接AO1,SO1,OA,因为△ABC为正三角形，所以 401=5x2w5×2-2,易知S0,0平面ABC,可S01=5P-A0-25-2=4 又点0在301上，所以40=40+003，即R=2+4-R,解得R=3所 以球O的表面积S=4πR2=25π 四、解答题： 15.(13分) 解：(1)因为=2-i,z2=3+2i, 所以z1+az2=2-i+a(3+2i)=(2+3a)+(2a-1)i.…3分 [2+3a<0, 因为复数z+az,在复平面上对应的点在第三象限，所以 2a-1<0, …5分 解得a<-子即实数的取值范国为。，) …7分 (2)因为2=互=3+21_6+2i12+)4+7i4,7」 z12-i(2-i)(2+i)55 +i,…9分 5 所以2=47 55i.=v65 …13分 5 16.(15分) 解：(1)因为a=(3,2),b=(t,2),所以9a-5b=(27-5t,8). 2分 又(9a-5b)∥c,c=(4,1),所以27-51=8x4, …4分 解得t=-1,… …5分 所以d=2(a-C)+b=2(-1,1）+(-1,2)=(-3,4),7分 所以d上V-3)2+42=5.… 8分 (2)因为ā=(3,2)，b=(-1,2),c=(4,1), 3 所以+kb=(3-k,2+2k),2b-C=（-6,3),…10分 因为(a+kb)⊥(2b-C),所以-6(3-k)+3(2+2k)=0,…13分 解得k=1.15分 17.(15分) 解：(1)由斜二测画法，原图中AB=2A'B'=4,BC=B'C'=4, Rt△ABC的原图如下图所示： 5分 1 .SABC= 2×BAx BC=2X4X4=8: …7分 (2)以Rt△ABC的边BA为旋转轴旋转一周所得几何体为：底面圆半径为4， 高为4，母线长为4√2的圆锥， 9分 故所得几何体的体积为r=Sh=写不×4x4= 64 3 3兀之……12分 所得几何体的表面积为S=πr2+πl=π×42+π×4×42=16π1+V2)…15分 y个 A 1O(B) C 18.(17分) 解：(1)由已知m=(cosB,cosC),n=(2a+c,b),且m⊥n, .m…n=(2a+C）c0sB+bc0sC=0,…2分 由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sin B cos C=0, 4 2C0 s Bsin A-+C0 s Bsin C+sin Bc0sC=0,…4s分 B02cos B sin A=-sin(B+C)=-sin A 6分 :A∈0，π)，∴.sinA≠0，∴.cosB= :0<B<m,B=2 3 8分 (2)由余弦定理，得b2=3=a2+c2-2 ac cos 2π =a2+c2+aC…9分 -(a+c)'-acz(a+e)2_(atc)_ -(a+c)" …12分 4 当且仅当a=c=1时取等号. 13分 (a+c)≤4，故a+c≤2，又a+c>b=V5, …15分 .a十C的取值范围是3,2,16分 所以△ABC周长的取值范围是(2V5,2+V5. …17分 19.(17分) 解：(1)由题知ABCD为过球心O,O,和对棱AB,CD的截面，2分 则AC=V（3列}+(3}+(3)}=3.…4分 设球0，O,的半径分别为”，R, 则AC=A0,+O,02+0,C=V3r+(r+R)+V3R. 8分 由(5+1c+R)=3,解得r+R=3-35-D …10分 V3+12 D R (2)设这两个球的表面积之和为S,则S=4π2+R2）,12分 所以S=4π[(+R)）2-2rR].-13分 又因为R≤《+R心，当且仅当，=R时，等号成立， 4 所以-2R≥-+R) 15分 2 所以S=4rG+Ry-2R]≥2xr+R=2x94-2N5=92-5x, 4 当且仅当r=R=35-D时，等号成立. …17分 4 6